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Pala: un diseño (forma parte de Arqueria) 

Se nos presenta la ocasión de aplicar nuestras Nuevas Consideraciones en Arquería al diseño concreto de una pala; es decir de dos, de arriba y de abajo. Se introduce el tema en Lamina multicapa.

El material del que partimos es una contrachapado muy flexible que actúa como soporte de dos capas de fibra de carbono, que conseguimos pegando entre sí final capas del material hasta conseguir el grosor deseado. Como ese espesor va a ser pequeño en relación al del contrachapado, podemos en primera aproximación considerar el carbono concentrado en una capa fina a distancia del centro del contrachapado (la llamada capa o fibra neutra en la flexión simple) igual a la mitad de su espesor. Es decir la capa de carbono tiene espesor nulo y se concentra a una distancia de la fibra neutra igual a la mitad del espesor del contrachapado. Y veremos si hay que ampliar ese cálculo; en todo caso vale este inicial como primera aproximación para sentar unas bases intuitivas de nuestra construcción.

Y sabemos que necesitamos conocer el momento de inercia de la pala (variable n cada punto para una pala variable como la que pretendemos). Tomamos las ecuaciones necesarias de Un modelo de arco mas detallado..

Como idea general de una pala de arco compuesto partimos de lo siguiente:

Una pala es una viga muy flexible, que trabaja a flexión hacia el mismo lado, y cuya resistencia a esta flexión /resiliencia) es grande en su inserción en el cuerpo, decrece enseguida (hacia un sexto de su longitud hasta un valor determinado, y luego decrece lentamente hasta un mínimo en el extremo, donde se coloca una ranura para el  se encordado. Como aditamentos mecánicos tenemos un sistema de enganche en el cuerpo, un agujero en su más simple sistema, y una ranura donde encordar, en el otro extremo.

Llamaremos a estas partes: enganche, transición, centro, extremo y encorde. Las dimensiones aproximadas (obtenidas a partir de una pala de poca calidad,) son 2, 3,7,3,1 Los grosores son (sin metal protector) al principio: 13 (a 80 mm), decrece a 5.5 ( a 200 mm), y llega hasta 4 a 600 mm, justo antes de la pieza que recibe la cuerda

Como la energía que almacena, o el momento que necesita para girar, depende inversamente del momento de inercia, que vale para un rectangulo de sección b.h^3/12, esto quiere decir que a igual anchura  los momentos de inercia valdrán al principio de la zona de trabajo normal (5.5) al extremo (4.5) están en relación de 91.5/166,37,  aproximadamente  1.82. Si  además introducimos la anchura variable la proporción en zona primera y punta es de 40/25 es 1.6. El producto de relaciones es 1.6-1.88,  es 2.7, casi de 1 a 3; pero no es tanto, porque  el grosor de la capa de carbono es constante, lo que hace la punta más rígida. De modo que pensemos en el doble.

Podemos aproximar las curvas de frente y perfil con sendas funciones potenciales del tipo

y = xn

con las constantes apropiadas. Reservaremos el símbolo n para el perfil de la anchura (simétrico respecto al eje, y m para el del grosor, único. Parece que ambas palas no son idénticas, por lo que llamaremos prima a las de abajo.

Para dibujarlas elegimos la forma apaisada para ambos tipos, por razones de anchura. En estas condiciones la ecuación es del tipo:

 

Por ejemplo para n=4, se obtiene la forma

que dividimos en 6 tramos de unos 10 cm. En el extremo izquierdo hay que añadir el enganche de la cuerda. De modo que lo que hemos llamado centro ocupa aquí tres sectores,  los marcados con los números 1,2 y 3. Las medidas sobre nuestro arco han sido, en milímetros:

anchura_extremo cuerpo = 40
anchura_punta_cuerda = 25
longitud (sin encorde)= 600

Otras medidas

en medio= 38. Como si fuera una recta debería medir solo 32,5, se demuestra que es una curva ¿Cual?

Pintando el punto medido, encontramos una valor de exponente próximo a 7,.de modo que la curva de la anchura

y = x7

y a estas dimensiones se ajusta proporcionalmente la curva presentada.

En cuanto el perfil a grosor,  presentamos aquí una curva potencial similar, con exponente 6. Se ha girado algo para que el extremo derecho (el del cuerpo) comience horizontalmente

Dibujando los extremos rectificados, queda la figura de más abajo, donde se aprecia como el espesor se hace grande en las proximidades de la inserción en el cuerpo: de esta manera, varía gradualmente la rigidez desde valores operativos de la pala (punta) hasta una rigidez tan grande que asimila prácticamente ese extremo de la pala al cuerpo rígido. Se aprecia también la estructura de tres placas en sandwich, situándose la línea neutra en el centro geométrico de la pala en cada punto de su longitud.

Así que habría que delimitar una longitud de pala operativa. En nuestro caso vienen a ser unos 50 cm. solamente.. En ellos se almacena toda la energía del arco. El resto es un sólido indeformable.

 

Materiales

De Elasticidad y vibración y Laminas multicapa deducimos las constantes elásticas de los materiales que hemos adoptado para ella; son:

1. Arco Ouragan

1. Contrachapado como alma, de 5 mm de grosor. Adoptamos madera ligera:, E de unos 10 Gpa (1000 Kg/mm2)
2. Vidrio como cubierta a ambos lados, de 1 mm, constantemente; E de unos 90 Gpa (9000 Kg/mm2) (próximo a Vidrio-S).
Material
Elasticidad
 E (kg/mm2)
Anchura (mm)
b
Grosor (mm)
h
Distancia  centro capa
a fibra neutra (mm), r
madera  1000 35 3 0
vidrio  9000 35 1 2

Para una primera valoración y estimación bastan materiales y valores aproximados. Sigamos trabajando en estas unidades, ya que son bastantes usadas y son cómodas para nuestras dimensiones y esfuerzos en el arco.

Sabemos que el ángulo flexado por unidad de longitud vale alfa= M / (EI+E'I')

Como antes,

EI =  EImadera+ 2 EIvidrio =  Em b  hm (hm2 / 12 + rm2 ) + 2 Ev b h v (hv2/12 +  rv2 ) =

= 1000 *35 * 3 * (3 2 /12 + 0 ) + 9000 * 35 *1 * ( 12 /12 + 2 2 ) ] =  

 = 35000 * [  3 * ( 9 /12 ) + 9 * ( 1 /12 +  4)] =  35000 * (2.25 + 36.75)) =

EI   =  1,365,000 Kg*mm2, (millon y un tercio)

alfa / longitud = M / EI

Si el ángulo es constante, como M = F.d,  si la longitud efectiva es de 50 cm,, 500 mm.

F = alfa*EI / (d L)

d varía desde extremo de encorde a cada elemento: son cuerdas que varían desde 0 a alfa, a la que tomamos como 60º.

La cuerda máxima vale 2 R. cos (alfa/2), aprox.  1.73.R La media es la mitad,  .86:

alfa=60º, R= 850 mm. Cuerda = R

F = (PI / 3 )* EI / (.250*500) = (3.1416 / 3 )* 1,375,000 / (250*500) = 11.4 kg. en en extremo de cada pala.

Ahora bien la fuerza ejercida es menor si la proyectamos sobre la línea sagital, multiplicamos por cos (60º).= .5  aprox. de modo que la fuerza que aplica el arquero es la mitad; pero como son dos palas, la fuerza necesaria es el doble de la mitad, o sea la mima cantidad, y quedan los 11.4  Kg que equivalen a

 25 libras.  NO muy bien, porque son 36 libras nominales.

Así que el cálculo mediante la flexión simple se queda bajo.

. El calculo aproximado es bueno.

Si simulamos el tiro con nuestro programa Arco7, obtenemos un asimismo divergente.:  13.7 lib

 TENSADO ARCO nº 4 Tipo arco: Vidrio. Tipo tensado 3 Arco7.Vers.Mar.2009 (corr)
___________________________________________________
-------- Situacion final -------------
fuerza_sagital(brazos): 06.2 kgf = 13.7 lib
fuerza (cuerda): 07.3 kgf = 16.1 lib
energia_arco estimada final: 1068 kgf.mm = 92.6 lib.pulgada
energia_arco gradual: 1131 kgf.mm = 98.1 lib.pulgada
Incremento fuerza al estirar: 0.1 Kg por cm = 0.3 lb por pulg
Rendimiento_log_fue_cuerda: 1.0 (= ln(energia_arco) / fuerzaangular)
Rendimiento_log_sagital: 2.2 (= ln(energia_arco) / fuerza_sagital)
Rendimiento_lin_sagital: 3.4 (= 0.01 * energia_arco / fuerza_sagital)
-------- Arco, cuerda, flecha -------------
Longitud arco: 175 cm = 68.9 pulgadas
Longitud cuerda: 168 cm = 66.2 pulgadas
Longitud flecha:71.1 cm 28.00 pulgadas
Longitud flecha efectiva:71.5 cm =28.2 pulgadas
Fistmele: 18.2 cm = 7.18 pulgadas
Módulo Elastici: 09000 kg/mm2
Arco de 60 tramos. Longitud tramo: 02.9 cm = 01.1 pulgadas
Factor_anchura: 20% Factor_grosor: 20%
tramo dist-sagi(cm) anchura(mm) grosor(mm) rigidez(Kg*mm2) ang_tra(º) tot(º)
01 02.2 02.5% 36.9 100.0% 05.0 100.0 9999999 0.00
04 06.6 07.5% 36.6 99.0% 04.9 99.0 9999999 0.00
07 10.9 12.5% 36.2 97.9% 04.9 97.9 9999999 0.00
10 15.3 17.5% 35.7 96.8% 04.8 96.8 9999999 0.00
13 19.7 22.5% 35.3 95.6% 04.8 95.6 9999999 0.00
16 24.1 27.5% 34.9 94.4% 04.7 94.4 2286061 1.43
19 28.4 32.5% 34.4 93.0% 04.6 93.0 2174877 1.42
22 32.8 37.5% 33.9 91.7% 04.6 91.7 2061193 1.41
25 37.2 42.5% 33.3 90.2% 04.5 90.2 1944755 1.39
28 41.6 47.5% 32.7 88.6% 04.4 88.6 1825266 1.37
31 45.9 52.5% 32.1 86.9% 04.3 86.9 1702360 1.34
34 50.3 57.5% 31.4 85.1% 04.2 85.1 1575591 1.29
37 54.7 62.5% 30.7 83.0% 04.1 83.0 1444394 1.24
40 59.1 67.5% 29.8 80.8% 04.0 80.8 1308043 1.18
43 63.4 72.5% 28.9 78.3% 03.9 78.3 1165563 1.11
46 67.8 77.5% 27.9 75.4% 03.8 75.4 1015601 1.03
49 72.2 82.5% 26.6 72.0% 03.6 72.0 856151 0.92
52 76.6 87.5% 25.0 67.8% 03.4 67.8 683991 0.80
55 80.9 92.5% 22.9 62.1% 03.1 62.1 493179 0.64
58 85.3 97.5% 19.6 53.0% 02.6 53.0 269478 0.44
___________________________________________________
 
 
   

_

Si ahora usamos carbono. con un módulo de unos 300 gpa, deberemos utilizar un espesor de 1/3 de milímetro para esa fuerza.

Si queremos más fuerza, será

.5 mm. de carbono.

en el sándwich.

Comprobando una pala de calidad que usa en efecto carbono, se encuentran en efecto capas a ambos lados de .5 mm.

Esto vuelve a revalidar el cálculo aproximado, que repetimos aquí:

La fuerza nominal de un arco compuesto, de dos palas es aproximadamente:

F = J /119366

cuando, la rigidez media de la pala se mide en Kg . mm2

Tiller

Ambas palas se construyen iguales. Pero la de arriba, para hacerla más débil se rebaja en su parte media medio milímetro aproximadamente. Para una pala de unos 600 mm desde cuerda al final, se rebaja desde 240 a 340 mm esa cantidad, aunque gradualmente. Así se comprobó en una pala Hoyt de calidad buena.

Ya se sabe que el tilling del arco controla un movimiento regular directo del encoque de la flecha hacia el reposaflechas, es decir, una marcha recta de la flecha antes y después de abandonar el arco. Se ajusta comprobando un movimiento similar en ambas palas, pero es influido por el agarre de la cuerda (3 dedos, o dos, u otro método).

Pegamento

Resina epoxi de estratificado, Epove 416...Revestimiento Gel coat

Cuerda

Dacron se alarga un 5%  por fibra. con Fuerza.
Kevlar se larga poco pero parte.
Fast fly: elonga poco pero no parte.
Dinema elonga menos

Excelente porque nominal de e el  arco tomado como referencia tiene fuerza nominal de 36 libras, unas 17 Kg.

Estamos sobre bases realistas.

Vea otros casos simulados en Simulaciones de tiros concretos.

 


Vuelta al Principio    Última actualización: Thursday, 21 de February de 2013    Visitantes: contador de visitas