Esta pgina est en construccin: perdonen los errores y temas inacabados.

This page is being developed: I am sorry for errors and unfinished subjects.

 

ENEGRAMAS

Este artculo trata sobre representaciones grficas sobre la circunferencia de los perodos de las fracciones peridicas obtenidas al dividir enteros en diferentes bases de numeracin. El trabajo est inspirado en el Eneagrama, un antiguo smbolo esotrico introducido en Occidente por el mstico georgiano Gurdieff, que representa el perodo de los cocientes sucesivos al dividir 1 entre 7, en base 10, y al que se atribuyen cualidades extraordinarias para reflejar y poner de manifiesto el funcionamiento ntimo de las cosas. Sin entrar en esas interpretaciones esotricas, aqu generalizamos esta representacin a otros denominadores y bases, encontrndonos con una  interesante familia de imgenes que plasman bellamente las propiedades de la divisin de enteros, especialmente la de sus periodos de cocientes y restos.

Basados en el Eneagrama, presentamos:

Los enegramas

Generalizando las representacin anterior a otros  denominadores y a otras Bases de numeracin,, encontramos una serie de figuras que muestran una gran similitud, cualesquiera que sean los tamaos de b y n, pero dependiendo especialmente de su diferencia, segn puede verse en las figuras contiguas. Estas figuras sern estudiadas ms adelante. y las llamamos en general Pseudocardioides 2.

Escribimos un programa,, ENEA, para realizar estos dibujos.

Enegrama para 137 en base 139. Restos.      Enegrama para 1137 en base 1139. Cocientes
 
Enegrama para 137 en base 140   Cocientes  
 

Perodos de Restos y de Cocientes

Tienen una estrecha relacin, no slo la obvia de mutua dependencia, sino que son casi iguales, y su desigualdad se produce de manera simtrica y regular. En efecto, cualquier cociente ci puede obtenerse de su correspondiente resto ri mediante la expresin 10* ri = ci * n + ri+1  que procede del algoritmo de la divisin.

     Equivalentemente podemos escribir:  10 * ri / n  = ci  + ri+1 / n, o bien ci =   10 / n * ri -  ri+1 / n. 

Si n < 10, escribimos ci = (1 +  (10-n)) / n * ri -  ri+1 / n. = (ri + ri* (10-n)) / n i -  ri+1 / n.

            Apliquemos esto al cociente 1/7: se nos producen las siguientes igualdades sucesivas: 

1 * 10 =  1 * 7 + 3

3 * 10 =  4 * 7 + 2

2 * 10 =  2 * 7 + 3

 

1 =  1 * 10 / 7  - 3 / 7

4 =  3 * 10 / 7  - 2 / 7

2  = 2 * 10 / 7  - 3 / 7 

 

1 =  1 + 1*  3 / 7  - 3 / 7

4 =  3 + 3 * 3 / 7  - 2 / 7

2  = 2 + 2 * 3 / 7  - 3 / 7 

 donde encontramos que el cociente es igual que el resto cuando ese resto multiplicado por la razn constante (10-7)/7=3/7 es menor que 1, siendo una unidad mayor cuando es igual (no en este caso) o mayor que 1, y menor que 2, o dos unidades mayor cuando es mayor que dos y menor que tres, y as sucesivamente; la relacin entre resto y cociente viene pues regulada por el valor del cociente entero (b-n)/n.

            Los propios restos dependen estrechamente de ese mismo valor: en efecto, podemos escribir las expresiones anteriores de otra manera:

 

           ri+1 = ci * n + b* r i = ci * n + b* r i + n* r i - n* r i  = ( ci +  r i ) * n +(b - n)* r i            (2)

 

es decir, que puede obtenerse un resto cualquiera multiplicando el anterior por el valor o mdulo (b-n). Este proceso se prolonga mientras el producto  (b - n)* r i es menor que n, ya que en ese momento el primer sumando de la expresin (2) admite una unidad ms, quedando:

           

       ri+1 = ( ci +  r i +1 ) * n + (b - n)* r i   - n = ( ci +  r i +1 ) * n + ((b - n-1)* r i )                      (3)

 

y sucesivamente:

 

        ri+1 = ( ci + r i+1 ) * n + (b - n)* r i - n = ( ci + r i +r i * mod n )* n + ((b - n)*r i ) mod n     (4)

 

Vase el caso anterior en que  b-n=3, y cmo los restos siguen la sucesin: 1, 3, 32, 33, 34, 35, 36, que queda, al aplicar el mdulo 7: 1, 3, 2, 6, 4, 5...

 

Esta propiedad permite predecir el valor de un resto cualquiera sin efectuar la divisin; en efecto:

 

                                                            ri+1 =(b - n)i  mod  n                                                                  (5)

 

interesante expresin cuyo inters no mengua aunque el clculo de ese resto sea quiz ms sencillo dividiendo. Ntese que los restos y por tanto los cocientes no siguen una sucesin errtica o misteriosa, como el escolar ingenuo pudiera creer, sino que ambos estn perfectamente determinados esto es obvio y son predecibles sin calcular los anteriores no tan obvio.

            Los restos siguen as un camino sobre la circunferencia segn las potencias del valor c = (b-n) hasta que se cierra una vuelta completa o aplicacin del mdulo n, comenzando una subsucesin cuyos trminos cumplen la expresin, pero tomando un valor inicial diferente, precisamente el dado por (4).

 

Longitud de la serie de cocientes

 

Volveremos al principio cuando lleguemos a un resto igual al primero; en ese momento obtenemos una secuencia cuya longitud vamos a investigar. Se trata de ver cundo la suma de potencias de d = b-n alcanza el primer valor, es decir, cundo

 

                                                            ri+1 = (b - n)i  mod  n                                        (6)

o sea,

                                                            ri+1 = d i  + N n                                                (6')

 

o sea, se trata de calcular la suma de los k trminos de una progresin geomtrica de razn d, y primer trmino 1 (???).

 

Sn= a1 (d k - 1) / (d -1 )

 

y esta suma vuelve a 'cerrar' la curva cuando vuelve a coincidir un cociente, al cabo de un nmero de vueltas N, desconocido.. De modo que:

 

  (d k - 1) / (d -1 ) = N n         o sea          d k  = 1 + N n ( d-1)           con  lo que

 

            k = ln (1 + N n ( d-1) ) / ln (d)                                                                  (6'')

 

donde ln es el logaritmo neperiano (aunque cualquier otro vale igualmente).  Es decir, k es la longitud de la sucesin de cocientes tras un nmero de vueltas N. A su vez, N es el nmero mnimo que hace k entero (naturalmente lo es porque es un nmero de cocientes, un cardinal). De modo que en cada caso de d y b hay que probar uno a uno comenzando en 1. A su vez:

 

       N  = ( d k - 1 )  / b ( d-1)) 

 

es decir, podemos buscar el k que hace N entero, pero es mucho ms corto probar con la frmula anterior.

 

Refinamiento del clculo de la longitud

 

Por ejemplo en la sucesin de restos de 1/17 en base 20, tenemos igualmente que c = b-n = 3, con lo que la sucesin ser: 1, 3, 9, (27<>)10, (30<>) 13, (39<>) 5, 15, (45<>) 11, ... hasta llegar otra vez al primero, cerrndose el ciclo de restos o perodo, con una longitud de 16 cifras en este caso.

            Es decir (siempre en este caso), que cuando d elevado a la longitud del perodo es 1, es decir, un nmero congruente con 1 ( n::1 ), se cierra el perodo. Este hecho nos proporciona una sencilla regla de encontrar esa longitud L(pn):

              La longitud del perodo de restos es el menor exponente (mayor que 0) que verifica

 

                                                 (b - n) L(pn)  :: 1                                                                             (7)

 

 regla ms sencilla con frecuencia que la usual:

 

                                                 b  L(pn) :: 1                                                                                    (8)

 

 (comprense las potencias  3 16 con 20 16) para comprobarlo.

 

Si b y n son muy diferentes, pueden emplearse otras expresiones similares an ms sencillas; es decir, a partir de (6): 

                                    (b - n) L ( pn ) = 1 + k . n                                                                               (9)

 

                                     L(pn ) = ln (1 + kn ) / ln(b-n )                                                                      (10)

            

Siendo k el menor entero que proporciona L entero.

 

Por ejemplo el perodo de 1/1137 en base 1140; k es el menor entero que hace L entero, con c=1140-1137=3:   L = ln (1+k.1137) / ln(3):  vamos probando:

k            1           2          3          4          5          6          7          8          9

L          6.4       7.03     7.4 ....

Series de Cocientes

 

La expresin (4) nos permite deducir igualmente la sucesin de cocientes a partir de la restos:

En efecto, esta nueva sucesin es igual a la de restos excepto que el cociente homlogo de un resto aumenta en tantas unidades como se aplica el modulo n al resto correspondiente: es decir:

 

(contina)

 

Informacin emprica

Para 17 en base 20 y para 137 en base 139, y para numeradores sucesivos empezando en 1, reproducimos la informacin proporcionada por nuestro programa Wenea04, que consiste en los siguientes tems:

1. El cociente m/n  (base), con los numeradores creciendo de 1 a n-1.
2. Serie de cocientes, codificando cada uno con una cifra, un carcter alfanumrico ASCII, en la cual puede verse la reaparicin del perodo. Se separa la serie en grupos de 10, separados por comas.
3. La misma serie de cocientes, pero codificados en base 10: se escribe cada cociente en columna, unidades abajo, decenas encima y as sucesivamente. Todos esos nmeros son naturalmente menores que el denominador.
4. Cifras que no aparecen en esa serie.
5. Perodo de la serie de cocientes, encontrado empricamente por comparacin.
6. Longitud de ese perodo (nmero de cifras). Longitud terica, aplicando la frmula:
7. Primeras diferencias entre cifras continuas.
8. Las mismas diferencias, codificados en columna.
En las tablas siguientes pueden verse los casos 17//20 y 137//140

 

PRIMEROS COCIENTES Y RESTOS DEL DIVISOR 17 EN BASE 20 Y SU ENEGRAMA
1 / 17  (20) 
 COCIENTES:     .13ABF5HCIG,984E27.13
       10^1        111 1111,   1  
       10^0      1301557286,984427
 VACO PARCIAL:  6DJ   
 PERIODO:       
 LONGITUD:    ( 16 )  TEO: ( 13 ) 
 SUMA MITAD C:  19 )  JJJJJJJJ  ( 19)     
 DIFERENCIAS:    127147CC6F,AGDA55
       10^1            11 1,1111  
       10^0      1271472265,063055
 RESTOS:        .139AD5FBGE,874C26.13     
       10^1         11 1111,   1  
       10^0      1390355164,874226
 SUMA MITAD R:    ( 17 )HHHHHHHH (17)     
 NORMALIZO  
       10^1       155728698,442713
       10^0      6839698542,714125
 2 / 17  (20) 
 COCIENTES:     .2713ABF5HC,IG984E.27
       10^1          111 11,11   1
       10^0      2713015572,869844
 VACO PARCIAL:  6DJ   
 PERIODO:       
 LONGITUD:      ( 16 ) TEO:    ( 13) 
 SUMA MITAD C:    ( 19 )JJJJJJJJ (19)     
 DIFERENCIAS:    25B27147CC,6FAGDA
       10^1        1     11, 11111
       10^0      2512714722,650630
     
 RESTOS:        .26139AD5FB,GE874C.26     
       10^1           11 11,11   1
       10^0      2613903551,648742
 SUMA MITAD R:    ( 17 )HHHHHHHH ( 17)     
 NORMALIZO  
       10^1      13 1557286,984427
       10^0      2568396985,427141 
 3 / 17  (20) 
 COCIENTES:     .3ABF5HCIG9,84E271.3A
       10^1       111 1111 ,  1   
       10^0      3015572869,844271
  VACO PARCIAL:  6DJ   
 PERIODO:       
 LONGITUD:      ( 16 )  TEO:( 13 ) 
 SUMA MITAD C:    ( 19 )JJJJJJJJ (19)     
 DIFERENCIAS:    37147CC6FA,GDA55B
       10^1           11 11,111  1
       10^0      3714722650,630551     
 RESTOS:        .39AD5FBGE8,74C261.39     
       10^1        11 1111 ,  1   
       10^0      3903551648,742261
 SUMA MITAD R:    ( 17 )HHHHHHHH (17)     
 NORMALIZO  
       10^1       1    111 ,1111  
       10^0      4427130155,728698


 

        E N E A G R A M A S   G E N E R A L I Z A D O S

 

 1 / 137  (139)

  COCIENTES:     .1248GWw,x؉Piv,ޕhrt,HY{,9I[7ESo,

 Coc:           \BMc^J,]FUs}12,48GWwx,؉Pivޕ,hrtօH,

 Coc:           Y{9,I[7ESo\,BMc^J],FUs}.12

       10^2             111, 111   1 1,1    11 11,    111111,         1,

       10^1          136220,6321825062,1949510620,7136333320,7 137 1251,8

       10^0      1248624902,5140250137,6499990138,8748764026,4986374863,8

 

       10^2      0         ,     11   ,     111 1,11   1 11 ,   11 11  ,

       10^1      8371248371,37136207  ,  13622063,2182506219,4951062071,3

       10^0      8751249999,8750014012,4862490251,4025013764,9999013887,4

 

       10^2      0 111111  ,       1  ,          ,   11

       10^1      363333207 ,137 125183,7124837137,136207

       10^0      4876402649,8637486387,5124999987,500140

 

 VACO PARCIAL:  356A,CDK,LNOQRTVXZ_,`abdefgjklmnpquyz|~,,   

 PERIODO:       1248GWw,x؉Piv,ޕhrt,HY{,9I[7ESo,

 Par:           \BMc^J,]FUs}

 LONGITUD:      ( 68 )  LONGITU TEO:    ( 9 )

 SUMA MITAD C:    ( 138 ),,,  ( 138 )    

 DIFERENCIAS:    11248GWx,yׇPjw,ݓisu,ՃHY|, 9I\~7ESp,

 dif:           ]BMd_,J^FUt{1,248GWxy,ׇPjw,isuՃ,

 dif:           HY| ,9I\~7ESp,]BMd_J^,FUt

       10^2              11,1 111     ,11    1  1,1    11111,1         ,1

       10^1           13621,0632082596,2195961962,0713633322,07 137 125,1

       10^0      1124862589,0603905194,6520708822,7674965391,5298717487,2

 

       10^2      1         ,      11  ,      111 ,111     11,    1  11 ,

       10^1      1837124847,137136206 ,   1362106,3208259621,9596196207,1

       10^0      2683125707,9955010381,2486258906,0390519465,2070882276,7

 

       10^2      0  111111 ,        1 ,          ,    11

       10^1      1363332207, 137 12518,3712484713,713620

       10^0      7496539152,9871748726,8312570799,550103

    

 RESTOS:        .1248GWw,x׈Piv,ݔhrt,HY{ ,9I[7ESo,

 Res:           \BMc^J,]FUs|12,48GWwx,׈Pivݔ,hrtՄH,

 Res:           Y{ 9,I[7ESoڎ\,BMc^J],FUs|.12    

       10^2             111, 111   1 1,1    1  11,    111111,         1,

       10^1          136210,6320825062,1949519620,7136333220,7 137 1251,8

       10^0      1248624891,5039150036,5398989127,7748653915,3986274862,7

 

       10^2      0         ,     11   ,     111 1,11   1 11 ,   1  11  ,

       10^1      8371248371,37136206  ,  13621063,2082506219,4951962071,3

       10^0      7741248989,8650003912,4862489150,3915003653,9898912777,4

 

       10^2      0 111111  ,       1  ,          ,   11

       10^1      363332207 ,137 125183,7124837137,136206

       10^0      4865391539,8627486277,4124898986,500039

 

 SUMA MITAD R:    ( 137 ),,, ( 137 )    

 NORMALIZO 

       10^1          124987,4998513749,8637487487,5125999987,5 125 1248,6

       10^0      1136237374,7500986362,4862362598,6250997487,3736350012,4

 

       10^1      625 136251,25124875  ,  12498749,9851374986,3748748751,2

       10^0      4748624874,8512485011,3623737475,0098636248,6236259862,5

 

       10^1      2599998750,1250124862,5013625125,124875

       10^0      5099748737,3635001247,4862487485,124850

 

       10^0      0997487373,6350012474,8624874851,248501

 

 2 / 137  (139)

 COCIENTES:     .248GWwx,؉Piv,hrtօ,HY{,9I[7ESo,

 Coc:           \BMc^J],FUs}124,8GWwx,؉Pivޕh,rtօHY,

 Coc:           {9I,[7ESo\,BMc^J]F,Us}1.24

       10^2            111 ,111   1 11,    11 11 ,   111111 ,        1 ,

       10^1         1362206,3218250621,9495106207,1363333207, 137 12518,3

       10^0      2486249025,1402501376,4999901388,7487640264,9863748638,7

 

       10^2      0         ,    11    ,    111 11,1   1 11  ,  11 11   ,

       10^1      3712483713,7136207   , 136220632,1825062194,9510620713,6

       10^0      7512499998,7500140124,8624902514,0250137649,9990138874,8

 

       10^2      0111111   ,      1   ,          ,  11 

       10^1      63333207 1,37 1251837,1248371371,36207

       10^0      8764026498,6374863875,1249999875,001401

 

 VACO PARCIAL:  356A,CDK,LNOQRTVXZ_,`abdefgjklmnpquyz|~,,

                                             

 PERIODO:       248GWwx,؉Piv,hrtօ,HY{,9I[7ESo,

 Par:           \BMc^J],FUs}1

 LONGITUD:      ( 68 )  LONGITU TEO:    ( 9 )

 SUMA MITAD C:    ( 138 ),,,  ( 138 )    

 DIFERENCIAS:    2248GWx,yׇPjw,ݓisu,HY| ,9I\~7ESp,

 dif:           ]BMd_J,^FUt{12,48GWxy,ׇPjwݓ,isuՃH,

 dif:           Y| 9,I\~7ESp],BMd_J^,FUt{

       10^2             111, 111     1,1    1  11,    111111,         1,

       10^1          136210,6320825962,1959619620,7136333220,7 137 1251,8

       10^0      2248625890,6039051946,5207088227,6749653915,2987174872,6

 

       10^2      0         ,     11   ,     111 1,11     11 ,   1  11  ,

       10^1      8371248471,37136206  ,  13621063,2082596219,5961962071,3

       10^0      6831257079,9550103812,4862589060,3905194652,0708822767,4

 

       10^2      0 111111  ,       1  ,          ,   11

       10^1      363332207 ,137 125183,7124847137,136206

       10^0      4965391529,8717487268,3125707995,501038

    

 RESTOS:        .248GWwx,׈Piv,hrtՄ,HY{ ,9I[7ESoڎ,

 Res:           \BMc^J],FUs|124,8GWwx,׈Pivݔh,rtՄHY,

 Res:           { 9I,[7ESoڎ\,BMc^J]F,Us|1.24    

       10^2            111 ,111   1 11,    1  11 ,   111111 ,        1 ,

       10^1         1362106,3208250621,9495196207,1363332207, 137 12518,3

       10^0      2486248915,0391500365,3989891277,7486539153,9862748627,7

 

       10^2      0         ,    11    ,    111 11,1   1 11  ,  1  11   ,

       10^1      3712483713,7136206   , 136210632,0825062194,9519620713,6

       10^0      7412489898,6500039124,8624891503,9150036539,8989127774,8

 

       10^2      0111111   ,      1   ,          ,  11 

       10^1      63332207 1,37 1251837,1248371371,36206

       10^0      8653915398,6274862774,1248989865,000391

 

 SUMA MITAD R:    ( 137 ),,, ( 137 )    

 NORMALIZO 

       10^1         1249874,9985137498,6374874875,1259999875, 125 12486,2

       10^0      1362373747,5009863624,8623625986,2509974873,7363500124,7

 

       10^1      25 1362512,5124875   , 124987499,8513749863,7487487512,5

       10^0      7486248748,5124850113,6237374750,0986362486,2362598625,0

 

       10^1      5999987501,2501248625,0136251251,248750

       10^0      0997487373,6350012474,8624874851,248501

 

 

 

Pseudocardioide

 

Otros diseos

 

Prolongaciones

 

 


Vuelta al Principio    ltima actualizacin: sbado, 14 de septiembre de 2013     Visitantes: contador de visitas