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Polígonos engranajes en red N  (perteneciente a Decoración Geométrica Islámica)

Como veíamos en Polígonos estrellados en red N cualquier polígono regular cerrado y convexo en esta red tendrá un múltiplo de a en cada vértice. Y los posibles cumplen:

i₁ + i₂  =  N (1 – 2 / p)                 con ambos índices  0 <  i₁ , i₂  < N

Y haciendo N =  k p:

i₁ + i₂   =  N (1/2 – 1/ p) =  k p (1/2 – 1/ p) =  k p/ 2 – k =  k/2 ( p –2)

Se nos ocurre que esta fórmula y las figuras asociadas que la cumplen, puede generalizarse a estrellas que en lugar de 'puntas' tiene formas más complejas, como dientes, con mayor número de lados y ángulos, cuyo aspecto vendrá a ser similar a engranajes. La fórmula quedaría, para t tipos diferente de ángulo como:

p (p-2)= S a_i p_i =S a_i  p / t  = (p / t) S a_i   = (p / t) S 2p / N i_i  = ( 2p /N)  (p / t) S i_i 

de donde      S i_i  =  N t / 2p (p – 2 )             y

S i_i  =  N t (1/2 – 1/p )                 con todos los índices  0 <  i_i  < N

Probaremos pues qué conjunto de índices cumple con la fórmula, que engloba polígonos regulares (un índice) y estrellas (2 índices).

    N [n p i = i₁/\ i₂]   N (red)   p, número de ángulos   i₁ , i₂ , índices de los ángulos cóncavo y convexos alternados

 

 

ENGRANAJES de TRES ÍNDICES N [p1 k1 i11^i21^i31 ] ... 5 Total = 4 engranajes. mayor: 10 6 Total = 10 engranajes. mayor: 2 7 Total = 14 engranajes. mayor: 14 8 Total = 26 engranajes. mayor: 16 9 Total = 44 engranajes. mayor: 18 10 Total = 57 engranajes. mayor: 20 11 Total = 46 engranajes. mayor: 22 12 Total = 123 engranajes. mayor: 24 13 Total = 68 engranajes. mayor: 26 14 Total = 138 engranajes. mayor: 28 15 Total = 214 engranajes. mayor: 30 16 Total = 189 engranajes. mayor: 32 17 Total = 124 engranajes. mayor: 34 18 Total = 393 engranajes. mayor: 36 19 Total = 158 engranajes. mayor: 38 20 Total = 446 engranajes. mayor: 40 21 Total = 469 engranajes. mayor: 42

22 Total = 384 engranajes. mayor: 44 23 Total = 238 engranajes. mayor: 46 24 Total = 833 engranajes. mayor: 48 25 Total = 502 engranajes. mayor: 50 26 Total = 549 engranajes. mayor: 52 27 Total = 814 engranajes. mayor: 54 28 Total = 953 engranajes. mayor: 56 29 Total = 388 engranajes. mayor: 58 30 Total = 1707 engranajes. mayor: 60 31 Total = 446 engranajes. mayor: 62 32 Total = 1060 engranajes. mayor: 64 33 Total = 1014 engranajes. mayor: 66 34 Total = 963 engranajes. mayor: 68 35 Total = 1532 engranajes. mayor: 70 36 Total = 2554 engranajes. mayor: 72 37 Total = 644 engranajes. mayor: 74 38 Total = 1212 engranajes. mayor: 76 39 Total = 1774 engranajes. mayor: 78 40 Total = 2662 engranajes. mayor: 80

ENGRANAJES de TRES ÍNDICES N [p1 k1 i11^i21^i31 ] ... 5 [ 5 5 3= 1^ 1^ 1 1.0] [ 5 10 4= 1^ 2^ 1 0.5] [ 5 10 4= 1^ 1^ 2 0.5] [ 5 10 4= 2^ 1^ 1 0.5] Total = 4 engranajes. mayor: 10 6 [ 6 4 3= 1^ 1^ 1 1.5] [ 6 6 4= 1^ 2^ 1 1.0] [ 6 6 4= 1^ 1^ 2 1.0] [ 6 6 4= 2^ 1^ 1 1.0] [ 6 12 5= 1^ 3^ 1 0.5] [ 6 12 5= 1^ 2^ 2 0.5] [ 6 12 5= 1^ 1^ 3 0.5] [ 6 12 5= 2^ 2^ 1 0.5] [ 6 12 5= 2^ 1^ 2 0.5] [ 6 12 5= 3^ 1^ 1 0.5] Total = 10 engranajes. mayor: 12 7 [ 7 7 5= 1^ 3^ 1 1.0] [ 7 7 5= 1^ 2^ 2 1.0] [ 7 7 5= 1^ 1^ 3 1.0] [ 7 7 5= 2^ 2^ 1 1.0] [ 7 7 5= 2^ 1^ 2 1.0] [ 7 7 5= 3^ 1^ 1 1.0] [ 7 14 6= 1^ 4^ 1 0.5] [ 7 14 6= 1^ 3^ 2 0.5] [ 7 14 6= 1^ 2^ 3 0.5] [ 7 14 6= 2^ 3^ 1 0.5] [ 7 14 6= 2^ 2^ 2 0.5] [ 7 14 6= 2^ 1^ 3 0.5] [ 7 14 6= 3^ 2^ 1 0.5] [ 7 14 6= 3^ 1^ 2 0.5] Total = 14 engranajes. mayor: 14 8 [ 8 4 4= 1^ 2^ 1 2.0] [ 8 4 4= 1^ 1^ 2 2.0] [ 8 4 4= 2^ 1^ 1 2.0] [ 8 8 6= 1^ 4^ 1 1.0] [ 8 8 6= 1^ 3^ 2 1.0] [ 8 8 6= 1^ 2^ 3 1.0] [ 8 8 6= 1^ 1^ 4 1.0] [ 8 8 6= 2^ 3^ 1 1.0] [ 8 8 6= 2^ 2^ 2 1.0] [ 8 8 6= 2^ 1^ 3 1.0] [ 8 8 6= 3^ 2^ 1 1.0] [ 8 8 6= 3^ 1^ 2 1.0] [ 8 8 6= 4^ 1^ 1 1.0] [ 8 16 7= 1^ 5^ 1 0.5] [ 8 16 7= 1^ 4^ 2 0.5] [ 8 16 7= 1^ 3^ 3 0.5] [ 8 16 7= 1^ 2^ 4 0.5] [ 8 16 7= 2^ 4^ 1 0.5] [ 8 16 7= 2^ 3^ 2 0.5] [ 8 16 7= 2^ 2^ 3 0.5] [ 8 16 7= 2^ 1^ 4 0.5] [ 8 16 7= 3^ 3^ 1 0.5] [ 8 16 7= 3^ 2^ 2 0.5] [ 8 16 7= 3^ 1^ 3 0.5] [ 8 16 7= 4^ 2^ 1 0.5] [ 8 16 7= 4^ 1^ 2 0.5] Total = 26 engranajes. mayor: 16 9 [ 9 3 3= 1^ 1^ 1 3.0] [ 9 3 3= 1^ 4.44089209850063E-16^ 2 3.0] [ 9 3 3= 2^ 4.44089209850063E-16^ 1 3.0] [ 9 6 6= 1^ 4^ 1 1.5] [ 9 6 6= 1^ 3^ 2 1.5] [ 9 6 6= 1^ 2^ 3 1.5] [ 9 6 6= 1^ 1^ 4 1.5] [ 9 6 6= 2^ 3^ 1 1.5] [ 9 6 6= 2^ 2^ 2 1.5] [ 9 6 6= 2^ 1^ 3 1.5] [ 9 6 6= 2^ 8.88178419700125E-16^ 4 1.5] [ 9 6 6= 3^ 2^ 1 1.5] [ 9 6 6= 3^ 1^ 2 1.5] [ 9 6 6= 3^ 8.88178419700125E-16^ 3 1.5] [ 9 6 6= 4^ 1^ 1 1.5] [ 9 6 6= 4^ 8.88178419700125E-16^ 2 1.5] [ 9 9 7= 1^ 5^ 1 1.0] [ 9 9 7= 1^ 4^ 2 1.0] [ 9 9 7= 1^ 3^ 3 1.0] [ 9 9 7= 1^ 2^ 4 1.0] [ 9 9 7= 2^ 4^ 1 1.0] [ 9 9 7= 2^ 3^ 2 1.0] [ 9 9 7= 2^ 2^ 3 1.0] [ 9 9 7= 2^ 1^ 4 1.0] [ 9 9 7= 3^ 3^ 1 1.0] [ 9 9 7= 3^ 2^ 2 1.0] [ 9 9 7= 3^ 1^ 3 1.0] [ 9 9 7= 4^ 2^ 1 1.0] [ 9 9 7= 4^ 1^ 2 1.0] [ 9 18 8= 1^ 6^ 1 0.5] [ 9 18 8= 1^ 5^ 2 0.5] [ 9 18 8= 1^ 4^ 3 0.5] [ 9 18 8= 1^ 3^ 4 0.5] [ 9 18 8= 2^ 5^ 1 0.5] [ 9 18 8= 2^ 4^ 2 0.5] [ 9 18 8= 2^ 3^ 3 0.5] [ 9 18 8= 2^ 2^ 4 0.5] [ 9 18 8= 3^ 4^ 1 0.5] [ 9 18 8= 3^ 3^ 2 0.5] [ 9 18 8= 3^ 2^ 3 0.5] [ 9 18 8= 3^ 1^ 4 0.5] [ 9 18 8= 4^ 3^ 1 0.5] [ 9 18 8= 4^ 2^ 2 0.5] [ 9 18 8= 4^ 1^ 3 0.5] Total = 44 engranajes. mayor: 18 10 [ 10 4 5= 1^ 3^ 1 2.5] [ 10 4 5= 1^ 2^ 2 2.5] [ 10 4 5= 1^ 1^ 3 2.5] [ 10 4 5= 2^ 2^ 1 2.5] [ 10 4 5= 2^ 1^ 2 2.5] [ 10 4 5= 3^ 1^ 1 2.5] [ 10 5 6= 1^ 4^ 1 2.0] [ 10 5 6= 1^ 3^ 2 2.0] [ 10 5 6= 1^ 2^ 3 2.0] [ 10 5 6= 1^ 1^ 4 2.0] [ 10 5 6= 2^ 3^ 1 2.0] [ 10 5 6= 2^ 2^ 2 2.0] [ 10 5 6= 2^ 1^ 3 2.0] [ 10 5 6= 3^ 2^ 1 2.0] [ 10 5 6= 3^ 1^ 2 2.0] [ 10 5 6= 4^ 1^ 1 2.0] [ 10 10 8= 1^ 6^ 1 1.0] [ 10 10 8= 1^ 5^ 2 1.0] [ 10 10 8= 1^ 4^ 3 1.0] [ 10 10 8= 1^ 3^ 4 1.0] [ 10 10 8= 1^ 2^ 5 1.0] [ 10 10 8= 2^ 5^ 1 1.0] [ 10 10 8= 2^ 4^ 2 1.0] [ 10 10 8= 2^ 3^ 3 1.0] [ 10 10 8= 2^ 2^ 4 1.0] [ 10 10 8= 2^ 1^ 5 1.0] [ 10 10 8= 3^ 4^ 1 1.0] [ 10 10 8= 3^ 3^ 2 1.0] [ 10 10 8= 3^ 2^ 3 1.0] [ 10 10 8= 3^ 1^ 4 1.0] [ 10 10 8= 4^ 3^ 1 1.0] [ 10 10 8= 4^ 2^ 2 1.0] [ 10 10 8= 4^ 1^ 3 1.0] [ 10 10 8= 5^ 2^ 1 1.0] [ 10 10 8= 5^ 1^ 2 1.0] [ 10 20 9= 1^ 7^ 1 0.5] [ 10 20 9= 1^ 6^ 2 0.5] [ 10 20 9= 1^ 5^ 3 0.5] [ 10 20 9= 1^ 4^ 4 0.5] [ 10 20 9= 1^ 3^ 5 0.5] [ 10 20 9= 2^ 6^ 1 0.5] [ 10 20 9= 2^ 5^ 2 0.5] [ 10 20 9= 2^ 4^ 3 0.5] [ 10 20 9= 2^ 3^ 4 0.5] [ 10 20 9= 2^ 2^ 5 0.5] [ 10 20 9= 3^ 5^ 1 0.5] [ 10 20 9= 3^ 4^ 2 0.5] [ 10 20 9= 3^ 3^ 3 0.5] [ 10 20 9= 3^ 2^ 4 0.5] [ 10 20 9= 3^ 1^ 5 0.5] [ 10 20 9= 4^ 4^ 1 0.5] [ 10 20 9= 4^ 3^ 2 0.5] [ 10 20 9= 4^ 2^ 3 0.5] [ 10 20 9= 4^ 1^ 4 0.5] [ 10 20 9= 5^ 3^ 1 0.5] [ 10 20 9= 5^ 2^ 2 0.5] [ 10 20 9= 5^ 1^ 3 0.5] Total = 57 engranajes. mayor: 20

Nótese que:

1. Aparecen rombos y cruces, estrellas de 2 y 4 puntas.

2. Aparecen heptágonos (7 primo con 8) , tres en este caso.

3. Aparecen polígonos regulares, cuando ambos índices (ángulos) son iguales. Ello sólo es posible cuando ++++++++++++p es par

Tomemos ahora un N primo, N=5, con sus cuatro estrella,  N=5 [ 5 5 3= 1/\ 2] [ 5 5 3= 2/\ 1] [ 5 10 4= 1/\ 3] [ 5 10 4= 2/\ 2]: Pese al código, generado por el algoriemo de búsqueda, comprobamos que para que la estrella se cierre ha de dar varias vueltas, 2 si p es impar, 1 si par.

N=5 [ 5 5 3= 1/\ 2] [ 5 5 3= 2/\ 1] [ 5 10 4= 1/\ 3] [ 5 10 4= 2/\ 2]

He aquí una lista de todas las estrellas desde p=3 hasta p=40. Se observa que:

1. Los N primos tienen exactamente un número de estrellas N-1.

1. Los N de forma 2*primo tienen exactamente un número de estrellas 2N-1.

2. La estrella mayor para cada N tiene exactamente 2N lados.

Cuadro 1. Estrellas Regulares En Red N.

 

Adaptar)))

En el cuadro se observa que

0. Los valores muy divisibles de N admiten muchos polígonos regulares diferentes, ligados a sus divisores:

12   [ 3  2  4 ][ 4  3  3 ][ 6  4  2 ][ 12  5  1 ].

1. Solo los impares admiten k no entero (de la forma k = s / 2; s entero). Los ángulos interiores miden un número entero de mitades de a (ángulos de red), para un p necesariamente par, por ejemplo:

25   [ 10  10  2.5 ]    ||[ 50  12  0.5 ]

2. Los primos sólo admiten un p=2N (k=1/2)

37   [ 74  18  0.5 ]

3. Si i no divide a n, q es fraccionario.

Veamos algunos ejemplos gráficos:

tipo   \    N	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
regulares	3 ?	1	1	2	1	2	2	2	1	4	1	2	3	3	1	4
estrellados
																			30	137	37	178	43	238
																			45	164	58	220	74	304

adaptar El logaritmo del  número de simétricos en función de N dibuja una curva muy regular, dentada con las crestas en los pares y valles los impares. La envolvente es decrecientemente creciente, como una piedra lanzada arriba y adelante:

Véanse también:

Poligonos estrellados en red N

Poligonos regulares en red N

Poligonos simétricos en red N

Polígonos central simétricos en red N

 

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Vuelta al Principio     Última actualización:   Thursday, 18 de April de 2013   Visitantes: