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Polígonos estrellados en red N  (perteneciente a Decoración Geométrica Islámica)

Como veíamos en Polígonos regulares en red N cualquier polígono regular cerrado y convexo en esta red tendrá un múltiplo de a en cada vértice. Pero en los estrellados hay una alternancia de dos ángulos interiores, uno menor que un llano (180º, p radianes) y otro mayor, ambos tipos en igual número, o sea, p/2. Para que la estrella se vaya cerrando la suma de ambos ángulos debe ser menor que un 360º. Pero apliquemos la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera.

p (p-2)= a N/2(p-2) = a₁ p₁+a₂ p₂ = (a₁ + a₂ ) p /2  = a (i₁ + i₂ ) p/2 = 2p / N (i₁ + i₂ ) p/2

p - 2 =  (i₁ + i₂ ) p / N

i₁ + i₂  = N (p-2)/ p = N (1-2 / p)

que es un entero (positivo, claro) por serlo la suma de los dos índices. Si ambos índices son iguales, ángulos iguales, volvemos a la fórmula del polígono convexo regular.

i₁ + i₂  =  N (1 – 2 / p)                 con ambos índices  0 <  i₁ , i₂  < N

valor que no siempre es entero, lo que quiere decir que no en todas las redes hay estrellas. En particular p debe ser par para que haya p/2 parejas de índices (lo que forma un 'pico' de la estrella). esto ocurre sólo si N es múltiplo del paréntesis. Haciendo N =  k p:

i₁ + i₂   =  N (1/2 – 1/ p) =  k p (1/2 – 1/ p) =  k p/ 2 – k =  k/2 ( p –2)

con lo que i₁ + i₂  (números de a  de la red en cada pareja contigua de vértices interiores) es entero si 1º. k es entero par, o 2º. si lo es (p-2), es decir, p, que es siempre entero pero impar a veces. Incluso pudiera admitirse k no entero (p no divisor de N) si es par k (p-2). Hemos determinado pues hasta ahora la posibilidad de existencia de un estrella-p regular con sus lados sobre la red N.

Si probamos cuáles polígonos cumplen esta condición se nos aparecen muchas más estrellas que polígonos regulares, aunque no infinitas, porque la estrella va cerrándose (girando sus puntos alrededor de un centro), lo que disminuye los ángulos cóncavos (se mantiene el pico) o los convexos (se aguza el pico, o ambos);  con lo que el número de puntas -y de lados‒ es necesariamente limitado. Tomemos un N típico muy divisible, como 8. Encontramos muchas estrellas, de las cuales mostramos solo las primeras, en tamaños crecientes, sobre su red, con el código:

    N [n p i = i₁/\ i₂]   N (red)   p, número de ángulos   i₁ , i₂ , índices de los ángulos cóncavo y convexos alternados

 

 

Nótese que:

1. Aparecen rombos y cruces, estrellas de 2 y 4 puntas.

2. Aparecen heptágonos (7 primo con 8) , tres en este caso.

3. Aparecen polígonos regulares, cuando ambos índices (ángulos) son iguales. Ello sólo es posible cuando ++++++++++++p es par

Tomemos ahora un N primo, N=5, con sus cuatro estrella,  N=5 [ 5 5 3= 1/\ 2] [ 5 5 3= 2/\ 1] [ 5 10 4= 1/\ 3] [ 5 10 4= 2/\ 2]: Pese al código, generado por el algoritmo de búsqueda, comprobamos que para que la estrella se cierre ha de dar varias vueltas, 2 si p es impar, 1 si par.

N=5 [ 5 5 3= 1/\ 2] [ 5 5 3= 2/\ 1] [ 5 10 4= 1/\ 3] [ 5 10 4= 2/\ 2]

He aquí una lista de todas las estrellas desde p=3 hasta p=40. Se observa que:

1. Los N primos tienen exactamente un número de estrellas N-1.

1. Los N de forma 2*primo tienen exactamente un número de estrellas 2N-1.

2. La estrella mayor para cada N tiene exactamente 2N lados.

ESTRELLADOS      N [p1 k1 i11/\i21 q1 si1][p2 k2 i21/\i22 q2 s12] ...
5 Total = 4 estrellas. mayor: 10 6 Total = 9 estrellas. mayor: 12 7 Total = 6 estrellas. mayor: 14 8 Total = 11 estrellas. mayor: 16 9 Total = 15 estrellas. mayor: 18 10 Total = 19 estrellas. mayor: 20 11 Total = 10 estrellas. mayor: 22 12 Total = 32 estrellas. mayor: 24 13 Total = 12 estrellas. mayor: 26 14 Total = 27 estrellas. mayor: 28 15 Total = 40 estrellas. mayor: 30 16 Total = 31 estrellas. mayor: 32 17 Total = 16 estrellas. mayor: 34 18 Total = 59 estrellas. mayor: 36 19 Total = 18 estrellas. mayor: 38 20 Total = 59 estrellas. mayor: 40 21 Total = 57 estrellas. mayor: 42 22 Total = 43 estrellas. mayor: 44	23 Total = 22 estrellas. mayor: 46 24 Total = 90 estrellas. mayor: 48 25 Total = 48 estrellas. mayor: 50 26 Total = 51 estrellas. mayor: 52 27 Total = 74 estrellas. mayor: 54 28 Total = 83 estrellas. mayor: 56 29 Total = 28 estrellas. mayor: 58 30 Total = 144 estrellas. mayor: 60 31 Total = 30 estrellas. mayor: 62 32 Total = 79 estrellas. mayor: 64 33 Total = 75 estrellas. mayor: 66 34 Total = 67 estrellas. mayor: 68 35 Total = 102 estrellas. mayor: 70 36 Total = 173 estrellas. mayor: 72 37 Total = 36 estrellas. mayor: 74 38 Total = 75 estrellas. mayor: 76 39 Total = 108 estrellas. mayor: 78 40 Total = 159 estrellas. mayor: 80
ACABADO N [n p i = i1/\ i2]  5 [ 5 5 3= 1/\ 2] [ 5 5 3= 2/\ 1] [ 5 10 4= 1/\ 3] [ 5 10 4= 2/\ 2] [ 5 10 4= 3/\ 1] 5 poli 6 [ 6 3 2= 1/\ 1] [ 6 4 3= 1/\ 2] [ 6 4 3= 2/\ 1] [ 6 6 4= 1/\ 3] [ 6 6 4= 2/\ 2] [ 6 6 4= 3/\ 1] [ 6 12 5= 1/\ 4] [ 6 12 5= 2/\ 3] [ 6 12 5= 3/\ 2] [ 6 12 5= 4/\ 1] 9 poli 7 [ 7 7 5= 1/\ 4] [ 7 7 5= 2/\ 3] [ 7 7 5= 3/\ 2] [ 7 7 5= 4/\ 1] [ 7 14 6= 1/\ 5] [ 7 14 6= 2/\ 4] [ 7 14 6= 3/\ 3] [ 7 14 6= 4/\ 2] [ 7 14 6= 5/\ 1] 8 poli 8 [ 8 4 4= 1/\ 3] [ 8 4 4= 2/\ 2] [ 8 4 4= 3/\ 1] [ 8 8 6= 1/\ 5] [ 8 8 6= 2/\ 4] [ 8 8 6= 3/\ 3] [ 8 8 6= 4/\ 2] [ 8 16 7= 1/\ 6] [ 8 16 7= 2/\ 5] [ 8 16 7= 3/\ 4] [ 8 16 7= 4/\ 3] 10 poli 9 [ 9 3 3= 1/\ 2] [ 9 3 3= 2/\ 1] [ 9 3 3= 3/\ 4.44089209850063E-16] [ 9 6 6= 1/\ 5] [ 9 6 6= 2/\ 4] [ 9 6 6= 3/\ 3] [ 9 6 6= 4/\ 2] [ 9 9 7= 1/\ 6] [ 9 9 7= 2/\ 5] [ 9 9 7= 3/\ 4] [ 9 9 7= 4/\ 3] [ 9 18 8= 1/\ 7] [ 9 18 8= 2/\ 6] [ 9 18 8= 3/\ 5] [ 9 18 8= 4/\ 4] 15 poli 10 [ 10 4 5= 1/\ 4] [ 10 4 5= 2/\ 3] [ 10 4 5= 3/\ 2] [ 10 4 5= 4/\ 1] [ 10 5 6= 1/\ 5] [ 10 5 6= 2/\ 4] [ 10 5 6= 3/\ 3] [ 10 5 6= 4/\ 2] [ 10 5 6= 5/\ 1] [ 10 10 8= 1/\ 7] [ 10 10 8= 2/\ 6] [ 10 10 8= 3/\ 5] [ 10 10 8= 4/\ 4] [ 10 10 8= 5/\ 3] [ 10 20 9= 1/\ 8] [ 10 20 9= 2/\ 7] [ 10 20 9= 3/\ 6] [ 10 20 9= 4/\ 5] [ 10 20 9= 5/\ 4] 19 poli 11 [ 11 11 9= 1/\ 8] [ 11 11 9= 2/\ 7] [ 11 11 9= 3/\ 6] [ 11 11 9= 4/\ 5] [ 11 11 9= 5/\ 4] [ 11 22 10= 1/\ 9] [ 11 22 10= 2/\ 8] [ 11 22 10= 3/\ 7] [ 11 22 10= 4/\ 6] [ 11 22 10= 5/\ 5] 10 poli 12 [ 12 3 4= 1/\ 3] [ 12 3 4= 2/\ 2] [ 12 3 4= 3/\ 1] [ 12 4 6= 1/\ 5] [ 12 4 6= 2/\ 4] [ 12 4 6= 3/\ 3] [ 12 4 6= 4/\ 2] [ 12 4 6= 5/\ 1] [ 12 6 8= 1/\ 7] [ 12 6 8= 2/\ 6] [ 12 6 8= 3/\ 5] [ 12 6 8= 4/\ 4] [ 12 6 8= 5/\ 3] [ 12 6 8= 6/\ 2] [ 12 8 9= 1/\ 8] [ 12 8 9= 2/\ 7] [ 12 8 9= 3/\ 6] [ 12 8 9= 4/\ 5] [ 12 8 9= 5/\ 4] [ 12 8 9= 6/\ 3] [ 12 12 10= 1/\ 9] [ 12 12 10= 2/\ 8] [ 12 12 10= 3/\ 7] [ 12 12 10= 4/\ 6] [ 12 12 10= 5/\ 5] [ 12 12 10= 6/\ 4] [ 12 24 11= 1/\ 10] [ 12 24 11= 2/\ 9] [ 12 24 11= 3/\ 8] [ 12 24 11= 4/\ 7] [ 12 24 11= 5/\ 6] [ 12 24 11= 6/\ 5] 32 poli 13 [ 13 13 11= 1/\ 10] [ 13 13 11= 2/\ 9] [ 13 13 11= 3/\ 8] [ 13 13 11= 4/\ 7] [ 13 13 11= 5/\ 6] [ 13 13 11= 6/\ 5] [ 13 26 12= 1/\ 11] [ 13 26 12= 2/\ 10] [ 13 26 12= 3/\ 9] [ 13 26 12= 4/\ 8] [ 13 26 12= 5/\ 7] [ 13 26 12= 6/\ 6] 12 poli 14 [ 14 4 7= 1/\ 6] [ 14 4 7= 2/\ 5] [ 14 4 7= 3/\ 4] [ 14 4 7= 4/\ 3] [ 14 4 7= 5/\ 2] [ 14 4 7= 6/\ 1] [ 14 7 10= 1/\ 9] [ 14 7 10= 2/\ 8] [ 14 7 10= 3/\ 7] [ 14 7 10= 4/\ 6] [ 14 7 10= 5/\ 5] [ 14 7 10= 6/\ 4] [ 14 7 10= 7/\ 3] [ 14 14 12= 1/\ 11] [ 14 14 12= 2/\ 10] [ 14 14 12= 3/\ 9] [ 14 14 12= 4/\ 8] [ 14 14 12= 5/\ 7] [ 14 14 12= 6/\ 6] [ 14 14 12= 7/\ 5] [ 14 28 13= 1/\ 12] [ 14 28 13= 2/\ 11] [ 14 28 13= 3/\ 10] [ 14 28 13= 4/\ 9] [ 14 28 13= 5/\ 8] [ 14 28 13= 6/\ 7] [ 14 28 13= 7/\ 6] 27 poli 15 [ 15 3 5= 1/\ 4] [ 15 3 5= 2/\ 3] [ 15 3 5= 3/\ 2] [ 15 3 5= 4/\ 1] [ 15 3 5= 5/\ 8.88178419700125E-16] [ 15 5 9= 1/\ 8] [ 15 5 9= 2/\ 7] [ 15 5 9= 3/\ 6] [ 15 5 9= 4/\ 5] [ 15 5 9= 5/\ 4] [ 15 5 9= 6/\ 3] [ 15 5 9= 7/\ 2] [ 15 6 10= 1/\ 9] [ 15 6 10= 2/\ 8] [ 15 6 10= 3/\ 7] [ 15 6 10= 4/\ 6] [ 15 6 10= 5/\ 5] [ 15 6 10= 6/\ 4] [ 15 6 10= 7/\ 3] [ 15 10 12= 1/\ 11] [ 15 10 12= 2/\ 10] [ 15 10 12= 3/\ 9] [ 15 10 12= 4/\ 8] [ 15 10 12= 5/\ 7] [ 15 10 12= 6/\ 6] [ 15 10 12= 7/\ 5] [ 15 15 13= 1/\ 12] [ 15 15 13= 2/\ 11] [ 15 15 13= 3/\ 10] [ 15 15 13= 4/\ 9] [ 15 15 13= 5/\ 8] [ 15 15 13= 6/\ 7] [ 15 15 13= 7/\ 6] [ 15 30 14= 1/\ 13] [ 15 30 14= 2/\ 12] [ 15 30 14= 3/\ 11] [ 15 30 14= 4/\ 10] [ 15 30 14= 5/\ 9] [ 15 30 14= 6/\ 8] [ 15 30 14= 7/\ 7] 40 poli 16 [ 16 4 8= 1/\ 7] [ 16 4 8= 2/\ 6] [ 16 4 8= 3/\ 5] [ 16 4 8= 4/\ 4] [ 16 4 8= 5/\ 3] [ 16 4 8= 6/\ 2] [ 16 4 8= 7/\ 1] [ 16 8 12= 1/\ 11] [ 16 8 12= 2/\ 10] [ 16 8 12= 3/\ 9] [ 16 8 12= 4/\ 8] [ 16 8 12= 5/\ 7] [ 16 8 12= 6/\ 6] [ 16 8 12= 7/\ 5] [ 16 8 12= 8/\ 4] [ 16 16 14= 1/\ 13] [ 16 16 14= 2/\ 12] [ 16 16 14= 3/\ 11] [ 16 16 14= 4/\ 10] [ 16 16 14= 5/\ 9] [ 16 16 14= 6/\ 8] [ 16 16 14= 7/\ 7] [ 16 16 14= 8/\ 6] [ 16 32 15= 1/\ 14] [ 16 32 15= 2/\ 13] [ 16 32 15= 3/\ 12] [ 16 32 15= 4/\ 11] [ 16 32 15= 5/\ 10] [ 16 32 15= 6/\ 9] [ 16 32 15= 7/\ 8] [ 16 32 15= 8/\ 7] 31 poli 17 [ 17 17 15= 1/\ 14] [ 17 17 15= 2/\ 13] [ 17 17 15= 3/\ 12] [ 17 17 15= 4/\ 11] [ 17 17 15= 5/\ 10] [ 17 17 15= 6/\ 9] [ 17 17 15= 7/\ 8] [ 17 17 15= 8/\ 7] [ 17 34 16= 1/\ 15] [ 17 34 16= 2/\ 14] [ 17 34 16= 3/\ 13] [ 17 34 16= 4/\ 12] [ 17 34 16= 5/\ 11] [ 17 34 16= 6/\ 10] [ 17 34 16= 7/\ 9] [ 17 34 16= 8/\ 8] 16 poli 18 [ 18 3 6= 1/\ 5] [ 18 3 6= 2/\ 4] [ 18 3 6= 3/\ 3] [ 18 3 6= 4/\ 2] [ 18 3 6= 5/\ 1] [ 18 3 6= 6/\ 8.88178419700125E-16] [ 18 4 9= 1/\ 8] [ 18 4 9= 2/\ 7] [ 18 4 9= 3/\ 6] [ 18 4 9= 4/\ 5] [ 18 4 9= 5/\ 4] [ 18 4 9= 6/\ 3] [ 18 4 9= 7/\ 2] [ 18 4 9= 8/\ 1] [ 18 6 12= 1/\ 11] [ 18 6 12= 2/\ 10] [ 18 6 12= 3/\ 9] [ 18 6 12= 4/\ 8] [ 18 6 12= 5/\ 7] [ 18 6 12= 6/\ 6] [ 18 6 12= 7/\ 5] [ 18 6 12= 8/\ 4] [ 18 6 12= 9/\ 3] [ 18 9 14= 1/\ 13] [ 18 9 14= 2/\ 12] [ 18 9 14= 3/\ 11] [ 18 9 14= 4/\ 10] [ 18 9 14= 5/\ 9] [ 18 9 14= 6/\ 8] [ 18 9 14= 7/\ 7] [ 18 9 14= 8/\ 6] [ 18 9 14= 9/\ 5] [ 18 12 15= 1/\ 14] [ 18 12 15= 2/\ 13] [ 18 12 15= 3/\ 12] [ 18 12 15= 4/\ 11] [ 18 12 15= 5/\ 10] [ 18 12 15= 6/\ 9] [ 18 12 15= 7/\ 8] [ 18 12 15= 8/\ 7] [ 18 12 15= 9/\ 6] [ 18 18 16= 1/\ 15] [ 18 18 16= 2/\ 14] [ 18 18 16= 3/\ 13] [ 18 18 16= 4/\ 12] [ 18 18 16= 5/\ 11] [ 18 18 16= 6/\ 10] [ 18 18 16= 7/\ 9] [ 18 18 16= 8/\ 8] [ 18 18 16= 9/\ 7] [ 18 36 17= 1/\ 16] [ 18 36 17= 2/\ 15] [ 18 36 17= 3/\ 14] [ 18 36 17= 4/\ 13] [ 18 36 17= 5/\ 12] [ 18 36 17= 6/\ 11] [ 18 36 17= 7/\ 10] [ 18 36 17= 8/\ 9] [ 18 36 17= 9/\ 8] 59 poli 19 [ 19 19 17= 1/\ 16] [ 19 19 17= 2/\ 15] [ 19 19 17= 3/\ 14] [ 19 19 17= 4/\ 13] [ 19 19 17= 5/\ 12] [ 19 19 17= 6/\ 11] [ 19 19 17= 7/\ 10] [ 19 19 17= 8/\ 9] [ 19 19 17= 9/\ 8] [ 19 38 18= 1/\ 17] [ 19 38 18= 2/\ 16] [ 19 38 18= 3/\ 15] [ 19 38 18= 4/\ 14] [ 19 38 18= 5/\ 13] [ 19 38 18= 6/\ 12] [ 19 38 18= 7/\ 11] [ 19 38 18= 8/\ 10] [ 19 38 18= 9/\ 9] 18 poli 20 [ 20 4 10= 1/\ 9] [ 20 4 10= 2/\ 8] [ 20 4 10= 3/\ 7] [ 20 4 10= 4/\ 6] [ 20 4 10= 5/\ 5] [ 20 4 10= 6/\ 4] [ 20 4 10= 7/\ 3] [ 20 4 10= 8/\ 2] [ 20 4 10= 9/\ 1] [ 20 5 12= 1/\ 11] [ 20 5 12= 2/\ 10] [ 20 5 12= 3/\ 9] [ 20 5 12= 4/\ 8] [ 20 5 12= 5/\ 7] [ 20 5 12= 6/\ 6] [ 20 5 12= 7/\ 5] [ 20 5 12= 8/\ 4] [ 20 5 12= 9/\ 3] [ 20 5 12= 10/\ 2] [ 20 8 15= 1/\ 14] [ 20 8 15= 2/\ 13] [ 20 8 15= 3/\ 12] [ 20 8 15= 4/\ 11] [ 20 8 15= 5/\ 10] [ 20 8 15= 6/\ 9] [ 20 8 15= 7/\ 8] [ 20 8 15= 8/\ 7] [ 20 8 15= 9/\ 6] [ 20 8 15= 10/\ 5] [ 20 10 16= 1/\ 15] [ 20 10 16= 2/\ 14] [ 20 10 16= 3/\ 13] [ 20 10 16= 4/\ 12] [ 20 10 16= 5/\ 11] [ 20 10 16= 6/\ 10] [ 20 10 16= 7/\ 9] [ 20 10 16= 8/\ 8] [ 20 10 16= 9/\ 7] [ 20 10 16= 10/\ 6] [ 20 20 18= 1/\ 17] [ 20 20 18= 2/\ 16] [ 20 20 18= 3/\ 15] [ 20 20 18= 4/\ 14] [ 20 20 18= 5/\ 13] [ 20 20 18= 6/\ 12] [ 20 20 18= 7/\ 11] [ 20 20 18= 8/\ 10] [ 20 20 18= 9/\ 9] [ 20 20 18= 10/\ 8] [ 20 40 19= 1/\ 18] [ 20 40 19= 2/\ 17] [ 20 40 19= 3/\ 16] [ 20 40 19= 4/\ 15] [ 20 40 19= 5/\ 14] [ 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[ 35 14 30= 4/\ 26] [ 35 14 30= 5/\ 25] [ 35 14 30= 6/\ 24] [ 35 14 30= 7/\ 23] [ 35 14 30= 8/\ 22] [ 35 14 30= 9/\ 21] [ 35 14 30= 10/\ 20] [ 35 14 30= 11/\ 19] [ 35 14 30= 12/\ 18] [ 35 14 30= 13/\ 17] [ 35 14 30= 14/\ 16] [ 35 14 30= 15/\ 15] [ 35 14 30= 16/\ 14] [ 35 14 30= 17/\ 13] [ 35 35 33= 1/\ 32] [ 35 35 33= 2/\ 31] [ 35 35 33= 3/\ 30] [ 35 35 33= 4/\ 29] [ 35 35 33= 5/\ 28] [ 35 35 33= 6/\ 27] [ 35 35 33= 7/\ 26] [ 35 35 33= 8/\ 25] [ 35 35 33= 9/\ 24] [ 35 35 33= 10/\ 23] [ 35 35 33= 11/\ 22] [ 35 35 33= 12/\ 21] [ 35 35 33= 13/\ 20] [ 35 35 33= 14/\ 19] [ 35 35 33= 15/\ 18] [ 35 35 33= 16/\ 17] [ 35 35 33= 17/\ 16] [ 35 70 34= 1/\ 33] [ 35 70 34= 2/\ 32] [ 35 70 34= 3/\ 31] [ 35 70 34= 4/\ 30] [ 35 70 34= 5/\ 29] [ 35 70 34= 6/\ 28] [ 35 70 34= 7/\ 27] [ 35 70 34= 8/\ 26] [ 35 70 34= 9/\ 25] [ 35 70 34= 10/\ 24] [ 35 70 34= 11/\ 23] [ 35 70 34= 12/\ 22] [ 35 70 34= 13/\ 21] [ 35 70 34= 14/\ 20] [ 35 70 34= 15/\ 19] [ 35 70 34= 16/\ 18] [ 35 70 34= 17/\ 17] 102 poli 36 [ 36 3 12= 1/\ 11] [ 36 3 12= 2/\ 10] [ 36 3 12= 3/\ 9] [ 36 3 12= 4/\ 8] [ 36 3 12= 5/\ 7] [ 36 3 12= 6/\ 6] [ 36 3 12= 7/\ 5] [ 36 3 12= 8/\ 4] [ 36 3 12= 9/\ 3] [ 36 3 12= 10/\ 2] [ 36 3 12= 11/\ 1] [ 36 3 12= 12/\ 1.77635683940025E-15] [ 36 4 18= 1/\ 17] [ 36 4 18= 2/\ 16] [ 36 4 18= 3/\ 15] [ 36 4 18= 4/\ 14] [ 36 4 18= 5/\ 13] [ 36 4 18= 6/\ 12] [ 36 4 18= 7/\ 11] [ 36 4 18= 8/\ 10] [ 36 4 18= 9/\ 9] [ 36 4 18= 10/\ 8] [ 36 4 18= 11/\ 7] [ 36 4 18= 12/\ 6] [ 36 4 18= 13/\ 5] [ 36 4 18= 14/\ 4] [ 36 4 18= 15/\ 3] [ 36 4 18= 16/\ 2] [ 36 4 18= 17/\ 1] [ 36 6 24= 1/\ 23] [ 36 6 24= 2/\ 22] [ 36 6 24= 3/\ 21] [ 36 6 24= 4/\ 20] [ 36 6 24= 5/\ 19] [ 36 6 24= 6/\ 18] [ 36 6 24= 7/\ 17] [ 36 6 24= 8/\ 16] [ 36 6 24= 9/\ 15] [ 36 6 24= 10/\ 14] [ 36 6 24= 11/\ 13] [ 36 6 24= 12/\ 12] [ 36 6 24= 13/\ 11] [ 36 6 24= 14/\ 10] [ 36 6 24= 15/\ 9] [ 36 6 24= 16/\ 8] [ 36 6 24= 17/\ 7] [ 36 6 24= 18/\ 6] [ 36 8 27= 1/\ 26] [ 36 8 27= 2/\ 25] [ 36 8 27= 3/\ 24] [ 36 8 27= 4/\ 23] [ 36 8 27= 5/\ 22] [ 36 8 27= 6/\ 21] [ 36 8 27= 7/\ 20] [ 36 8 27= 8/\ 19] [ 36 8 27= 9/\ 18] [ 36 8 27= 10/\ 17] [ 36 8 27= 11/\ 16] [ 36 8 27= 12/\ 15] [ 36 8 27= 13/\ 14] [ 36 8 27= 14/\ 13] [ 36 8 27= 15/\ 12] [ 36 8 27= 16/\ 11] [ 36 8 27= 17/\ 10] [ 36 8 27= 18/\ 9] [ 36 9 28= 1/\ 27] [ 36 9 28= 2/\ 26] [ 36 9 28= 3/\ 25] [ 36 9 28= 4/\ 24] [ 36 9 28= 5/\ 23] [ 36 9 28= 6/\ 22] [ 36 9 28= 7/\ 21] [ 36 9 28= 8/\ 20] [ 36 9 28= 9/\ 19] [ 36 9 28= 10/\ 18] [ 36 9 28= 11/\ 17] [ 36 9 28= 12/\ 16] [ 36 9 28= 13/\ 15] [ 36 9 28= 14/\ 14] [ 36 9 28= 15/\ 13] [ 36 9 28= 16/\ 12] [ 36 9 28= 17/\ 11] [ 36 9 28= 18/\ 10] [ 36 12 30= 1/\ 29] [ 36 12 30= 2/\ 28] [ 36 12 30= 3/\ 27] [ 36 12 30= 4/\ 26] [ 36 12 30= 5/\ 25] [ 36 12 30= 6/\ 24] [ 36 12 30= 7/\ 23] [ 36 12 30= 8/\ 22] [ 36 12 30= 9/\ 21] [ 36 12 30= 10/\ 20] [ 36 12 30= 11/\ 19] [ 36 12 30= 12/\ 18] [ 36 12 30= 13/\ 17] [ 36 12 30= 14/\ 16] [ 36 12 30= 15/\ 15] [ 36 12 30= 16/\ 14] [ 36 12 30= 17/\ 13] [ 36 12 30= 18/\ 12] [ 36 18 32= 1/\ 31] [ 36 18 32= 2/\ 30] [ 36 18 32= 3/\ 29] [ 36 18 32= 4/\ 28] [ 36 18 32= 5/\ 27] [ 36 18 32= 6/\ 26] [ 36 18 32= 7/\ 25] [ 36 18 32= 8/\ 24] [ 36 18 32= 9/\ 23] [ 36 18 32= 10/\ 22] [ 36 18 32= 11/\ 21] [ 36 18 32= 12/\ 20] [ 36 18 32= 13/\ 19] [ 36 18 32= 14/\ 18] [ 36 18 32= 15/\ 17] [ 36 18 32= 16/\ 16] [ 36 18 32= 17/\ 15] [ 36 18 32= 18/\ 14] [ 36 24 33= 1/\ 32] [ 36 24 33= 2/\ 31] [ 36 24 33= 3/\ 30] [ 36 24 33= 4/\ 29] [ 36 24 33= 5/\ 28] [ 36 24 33= 6/\ 27] [ 36 24 33= 7/\ 26] [ 36 24 33= 8/\ 25] [ 36 24 33= 9/\ 24] [ 36 24 33= 10/\ 23] [ 36 24 33= 11/\ 22] [ 36 24 33= 12/\ 21] [ 36 24 33= 13/\ 20] [ 36 24 33= 14/\ 19] [ 36 24 33= 15/\ 18] [ 36 24 33= 16/\ 17] [ 36 24 33= 17/\ 16] [ 36 24 33= 18/\ 15] [ 36 36 34= 1/\ 33] [ 36 36 34= 2/\ 32] [ 36 36 34= 3/\ 31] [ 36 36 34= 4/\ 30] [ 36 36 34= 5/\ 29] [ 36 36 34= 6/\ 28] [ 36 36 34= 7/\ 27] [ 36 36 34= 8/\ 26] [ 36 36 34= 9/\ 25] [ 36 36 34= 10/\ 24] [ 36 36 34= 11/\ 23] [ 36 36 34= 12/\ 22] [ 36 36 34= 13/\ 21] [ 36 36 34= 14/\ 20] [ 36 36 34= 15/\ 19] [ 36 36 34= 16/\ 18] [ 36 36 34= 17/\ 17] [ 36 36 34= 18/\ 16] [ 36 72 35= 1/\ 34] [ 36 72 35= 2/\ 33] [ 36 72 35= 3/\ 32] [ 36 72 35= 4/\ 31] [ 36 72 35= 5/\ 30] [ 36 72 35= 6/\ 29] [ 36 72 35= 7/\ 28] [ 36 72 35= 8/\ 27] [ 36 72 35= 9/\ 26] [ 36 72 35= 10/\ 25] [ 36 72 35= 11/\ 24] [ 36 72 35= 12/\ 23] [ 36 72 35= 13/\ 22] [ 36 72 35= 14/\ 21] [ 36 72 35= 15/\ 20] [ 36 72 35= 16/\ 19] [ 36 72 35= 17/\ 18] [ 36 72 35= 18/\ 17] 173 poli 37 [ 37 37 35= 1/\ 34] [ 37 37 35= 2/\ 33] [ 37 37 35= 3/\ 32] [ 37 37 35= 4/\ 31] [ 37 37 35= 5/\ 30] [ 37 37 35= 6/\ 29] [ 37 37 35= 7/\ 28] [ 37 37 35= 8/\ 27] [ 37 37 35= 9/\ 26] [ 37 37 35= 10/\ 25] [ 37 37 35= 11/\ 24] [ 37 37 35= 12/\ 23] [ 37 37 35= 13/\ 22] [ 37 37 35= 14/\ 21] [ 37 37 35= 15/\ 20] [ 37 37 35= 16/\ 19] [ 37 37 35= 17/\ 18] [ 37 37 35= 18/\ 17] [ 37 74 36= 1/\ 35] [ 37 74 36= 2/\ 34] [ 37 74 36= 3/\ 33] [ 37 74 36= 4/\ 32] [ 37 74 36= 5/\ 31] [ 37 74 36= 6/\ 30] [ 37 74 36= 7/\ 29] [ 37 74 36= 8/\ 28] [ 37 74 36= 9/\ 27] [ 37 74 36= 10/\ 26] [ 37 74 36= 11/\ 25] [ 37 74 36= 12/\ 24] [ 37 74 36= 13/\ 23] [ 37 74 36= 14/\ 22] [ 37 74 36= 15/\ 21] [ 37 74 36= 16/\ 20] [ 37 74 36= 17/\ 19] [ 37 74 36= 18/\ 18] 36 poli 38 [ 38 4 19= 1/\ 18] [ 38 4 19= 2/\ 17] [ 38 4 19= 3/\ 16] [ 38 4 19= 4/\ 15] [ 38 4 19= 5/\ 14] [ 38 4 19= 6/\ 13] [ 38 4 19= 7/\ 12] [ 38 4 19= 8/\ 11] [ 38 4 19= 9/\ 10] [ 38 4 19= 10/\ 9] [ 38 4 19= 11/\ 8] [ 38 4 19= 12/\ 7] [ 38 4 19= 13/\ 6] [ 38 4 19= 14/\ 5] [ 38 4 19= 15/\ 4] [ 38 4 19= 16/\ 3] [ 38 4 19= 17/\ 2] [ 38 4 19= 18/\ 1] [ 38 19 34= 1/\ 33] [ 38 19 34= 2/\ 32] [ 38 19 34= 3/\ 31] [ 38 19 34= 4/\ 30] [ 38 19 34= 5/\ 29] [ 38 19 34= 6/\ 28] [ 38 19 34= 7/\ 27] [ 38 19 34= 8/\ 26] [ 38 19 34= 9/\ 25] [ 38 19 34= 10/\ 24] [ 38 19 34= 11/\ 23] [ 38 19 34= 12/\ 22] [ 38 19 34= 13/\ 21] [ 38 19 34= 14/\ 20] [ 38 19 34= 15/\ 19] [ 38 19 34= 16/\ 18] [ 38 19 34= 17/\ 17] [ 38 19 34= 18/\ 16] [ 38 19 34= 19/\ 15] [ 38 38 36= 1/\ 35] [ 38 38 36= 2/\ 34] [ 38 38 36= 3/\ 33] [ 38 38 36= 4/\ 32] [ 38 38 36= 5/\ 31] [ 38 38 36= 6/\ 30] [ 38 38 36= 7/\ 29] [ 38 38 36= 8/\ 28] [ 38 38 36= 9/\ 27] [ 38 38 36= 10/\ 26] [ 38 38 36= 11/\ 25] [ 38 38 36= 12/\ 24] [ 38 38 36= 13/\ 23] [ 38 38 36= 14/\ 22] [ 38 38 36= 15/\ 21] [ 38 38 36= 16/\ 20] [ 38 38 36= 17/\ 19] [ 38 38 36= 18/\ 18] [ 38 38 36= 19/\ 17] [ 38 76 37= 1/\ 36] [ 38 76 37= 2/\ 35] [ 38 76 37= 3/\ 34] [ 38 76 37= 4/\ 33] [ 38 76 37= 5/\ 32] [ 38 76 37= 6/\ 31] [ 38 76 37= 7/\ 30] [ 38 76 37= 8/\ 29] [ 38 76 37= 9/\ 28] [ 38 76 37= 10/\ 27] [ 38 76 37= 11/\ 26] [ 38 76 37= 12/\ 25] [ 38 76 37= 13/\ 24] [ 38 76 37= 14/\ 23] [ 38 76 37= 15/\ 22] [ 38 76 37= 16/\ 21] [ 38 76 37= 17/\ 20] [ 38 76 37= 18/\ 19] [ 38 76 37= 19/\ 18] 75 poli 39 [ 39 3 13= 1/\ 12] [ 39 3 13= 2/\ 11] [ 39 3 13= 3/\ 10] [ 39 3 13= 4/\ 9] [ 39 3 13= 5/\ 8] [ 39 3 13= 6/\ 7] [ 39 3 13= 7/\ 6] [ 39 3 13= 8/\ 5] [ 39 3 13= 9/\ 4] [ 39 3 13= 10/\ 3] [ 39 3 13= 11/\ 2] [ 39 3 13= 12/\ 1] [ 39 3 13= 13/\ 1.77635683940025E-15] [ 39 6 26= 1/\ 25] [ 39 6 26= 2/\ 24] [ 39 6 26= 3/\ 23] [ 39 6 26= 4/\ 22] [ 39 6 26= 5/\ 21] [ 39 6 26= 6/\ 20] [ 39 6 26= 7/\ 19] [ 39 6 26= 8/\ 18] [ 39 6 26= 9/\ 17] [ 39 6 26= 10/\ 16] [ 39 6 26= 11/\ 15] [ 39 6 26= 12/\ 14] [ 39 6 26= 13/\ 13] [ 39 6 26= 14/\ 12] [ 39 6 26= 15/\ 11] [ 39 6 26= 16/\ 10] [ 39 6 26= 17/\ 9] [ 39 6 26= 18/\ 8] [ 39 6 26= 19/\ 7] [ 39 13 33= 1/\ 32] [ 39 13 33= 2/\ 31] [ 39 13 33= 3/\ 30] [ 39 13 33= 4/\ 29] [ 39 13 33= 5/\ 28] [ 39 13 33= 6/\ 27] [ 39 13 33= 7/\ 26] [ 39 13 33= 8/\ 25] [ 39 13 33= 9/\ 24] [ 39 13 33= 10/\ 23] [ 39 13 33= 11/\ 22] [ 39 13 33= 12/\ 21] [ 39 13 33= 13/\ 20] [ 39 13 33= 14/\ 19] [ 39 13 33= 15/\ 18] [ 39 13 33= 16/\ 17] [ 39 13 33= 17/\ 16] [ 39 13 33= 18/\ 15] [ 39 13 33= 19/\ 14] [ 39 26 36= 1/\ 35] [ 39 26 36= 2/\ 34] [ 39 26 36= 3/\ 33] [ 39 26 36= 4/\ 32] [ 39 26 36= 5/\ 31] [ 39 26 36= 6/\ 30] [ 39 26 36= 7/\ 29] [ 39 26 36= 8/\ 28] [ 39 26 36= 9/\ 27] [ 39 26 36= 10/\ 26] [ 39 26 36= 11/\ 25] [ 39 26 36=
Cuadro 1. Estrellas Regulares En Red N.

 

Adaptar)))

En el cuadro se observa que

0. Los valores muy divisibles de N admiten muchos polígonos regulares diferentes, ligados a sus divisores:

12   [ 3  2  4 ][ 4  3  3 ][ 6  4  2 ][ 12  5  1 ].

1. Solo los impares admiten k no entero (de la forma k = s / 2; s entero). Los ángulos interiores miden un número entero de mitades de a (ángulos de red), para un p necesariamente par, por ejemplo:

25   [ 10  10  2.5 ]    ||[ 50  12  0.5 ]

2. Los primos sólo admiten un p=2N (k=1/2)

37   [ 74  18  0.5 ]

3. Si i no divide a n, q es fraccionario.

Veamos algunos ejemplos gráficos:

tipo   \    N	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
regulares	3 ?	1	1	2	1	2	2	2	1	4	1	2	3	3	1	4
estrellados
																			30	137	37	178	43	238
																			45	164	58	220	74	304

adaptar El logaritmo del  número de simétricos en función de N dibuja una curva muy regular, dentada con las crestas en los pares y valles los impares. La envolvente es decrecientemente creciente, como una piedra lanzada arriba y adelante:

Véanse también:

Poligonos regulares en red N

Poligonos simetricos en red N

Polígonos central simétricos en red N

 

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Vuelta al Principio     Última actualización: viernes, 18 de septiembre de 2015    Visitantes: