Arco, Modelo 3 (forma parte de Arqueria)
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Continuamos los modelos de arco iniciados en Arquería; nuevas Consideraciones
2. Aceleración lineal (flecha) constante.
Estas condiciones son las de un arco recurvado normal, el que se emplea en
competición actualmente. Tras
una larga evolución ha conseguido aproximadamente la condición que
encontrábamos ideal: la flecha es propulsada por una aceleración longitudinal
constante, con lo que su resistencia al pandeo aguante el tirón si durante
toda la trayectoria si lo aguanta en cualquier momento. eso permite una flecha
tan ligera como ese tirón permita, pero nomás, caso de que la aceleración
variara.
La curva de fuerza que la cuerda ejerce sobre el arco al soltar, se mide fácilmente colgando el conjunto arco-cuerda del punto de la segunda donde se inserta el extremo plumado de la flecha. Colgando pesos crecientes del arco (cerca de la mira, por donde sale la flecha) se mide el desplazamiento vertical de ese punto: así se conoce la fuerza que el ar-cuerda ejerce sobre la flecha para cualquier posición de esta en su carrera hasta su salida del arco.
Esta curva de fuerza es aproximadamente recta, con un valor nulo para la cuerda tensa (horizontal en nuestro experimento) y un valor máximo para la posición que corresponde al arco tensado del todo. Los valores experimentales para un arco Yamaha fueron unaos 18kg de fuerza o peso para una distancia de 66 cm. la cuerva comienza para la distancia de 23 cm, valor de la fistmele en este casos 40 libras () a 28 pulgadas.
Pese a que el arco es recurvado, no circular, las ecuaciones anteriores son más inexactas: pero las mantenemos para llegar a conseguir ahora, a partir de la condición deseable de creciemeinto lineal de la fuerza ‒y por tanto la aceleraciñón‒ con la distancia nos haga encontrar el ángulo para cada desplazamiento.
Como antes las condiciones iniciales son: ángulo alfa de partida, velocidad inicial nula, aceleración proporcional al ángulo (es decir a la flexión momentánea del arco), desde el momento de la suelta. De modo que la aceleración angular, derivada doble del ángulo respecto al tiempo, es
X = x" = - K.x , con K, positivo, - K negativa
esta ecuación diferencial es satisfecha por la función exponencial: en efecto:
Si x = m.e nt entonces x' = m.n.e nt y x'' = n2.m.e bt = n2. x
Luego , si x" = - K.x ,
la velocidad angular x' (variación de x en función del tiempo):
x' - x'0 = - K/n.m.(e nt - e n0) + p
Y ya que la velocidad inicial es nula, para t=0:
0 = - K/n.m.(1 - 1) + p : luego p=0
x' = - (Km/n)(e nt -1)
x - x0 = - Km/n2.e nt + (Km/n) t + q= - Km/n2.(e nt - n t ) + q
luego
0 = - Km/n2.1 + (Km/n) 0 + q Lo que permite hallar, para t=0
q = Km/n2 luego
x = x0 - Km/n2.(e nt - n t - 1 )
Así que la velocidad
donde las constantes K, m. n depende del del material, su elasticidad y forma. Su valor lo encontramos sabiendo que la aceleración es 0 para ángulo 0. pero hace falta otra medida o conocer las constantes del arco.
Como antes, sustituyendo los valores del ángulo y su derivada en función de l tiempo t.:en la expresión anterior::
encontramos las curvas de la figura 2.
Fig.2. Velocidad de la flecha mostrando la de salida al final, en función del tiempo, con el cociente cuerda/arco como parámetro. Comparando ambas:
encontramos un comportamiento similar: el máximo de velocidad final se consigue ahora con parámetro =.82, flecha .195 de L..
o sea .19.5% de la longitud del arco.
Sale cercano al valor anterior , excepto para valores del cociente c/L cercanos a 1: la velocidad decrece al final, lo que es imposible
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Un modelo de arco más detallado.
(en desarrollo)