Arco: modelo 1 (forma parte de Arqueria)
Continuamos los modelos de arco iniciados en Arquería; nuevas Consideraciones
1. Aceleración angular constante.
Si admitimos que el arco se endereza con aceleración constante A, implicación de una fuerza constante, la velocidad angular de enderezamiento vale:
va = a' = A. t, ya que la velocidad inicial es cero
y el ángulo:
donde la aceleración es negativa, porque endereza (alfa disminuye con el tiempo) el arco..
Como ve-iamos, la bascisa:
(perdón, elevar al cuadrado sen a/a)
Luego mediante las ecuaciones anteriores deducimos la velocidad de la flecha, derivando la expresión del desplazamiento x, y sustituyendo los valores del ángulo y su derivada en función de l tiempo t.:
podemos encontrar la velocidad de la flecha en todo instante, y esto para diferentes longitudes de cuerda respecto al arco.
siendo s1 el cociente s/l, es decir, parámetro relativo a una escala definida por l, la semicuerda.
(nótese la tranquilizadora igualdad de dimensión, una longitud, en ambos miembros de la ecuación, ya que el ángulo –y por lo tanto sus razones trigonométricas– es adimensional, como corresponde a una razón de dos longitudes, arco y radio)
En la figura 1 se representa la velocidad de la flecha en función del tiempo, con un parámetro p que vale la razón de la longitud de la cuerda lc a la longitud del arco, la, ambas son constantes durante la suelta. Variando el parámetro p, obtenemos una velocidad final máxima para p = .78 aproximadamente, con velocidad uniformemente creciente, tal como deseábamos. Esta razón corresponde a un semiángulo final del arco de unos 1.19 radianes (véase un problemita de vigas), es decir, unos 63º; el ángulo completo del arco es el doble, 126ª. La fistmele (llamada precisamente flecha en la pagina citada) vale:
f = L (1-cos (f/2) / f
o sea, .185, 18.5%, de la longitud del arco. Si esta es de 2 metros, tendremos una fistmele de 37 cm. Bastante grande, mayor que lo habitual, que sería alrededor de 25 cm, en el longbow inglés, aproximadamente un palo uniforme.
Un valor medio puede ser .8 con ángulo de 64º (cuerda más larga, menor curvatura final del arco, menor ángulo a final.
Notamos que a veces la velocidad disminuye: si esto ocurre, la flecha abandonará la cuerda, de modo que sólo la velocidad creciente es relevante en el caso real
VELOCIDAD y ACELERACIÓN FINALES de FLECHA en FUNCIÓN de ARCO/CUERDA .90 1.000 09.59 00.07 |
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| Fig.2. Velocidad y aceleración de la flecha mostrando la de salida al final, en función del tiempo, con el cociente cuerda/arco como parámetro. Aceleracion angular de arco constante | |
Pero estos valores son engañosos. la velocidad final crece extraordinariamente al final, lo que representa una enorme aceleración y por lo tanto una gran flexión de la flecha en ese momento.
De acuerdo con nuestra segunda directiva la aceleración debe estar acotada, lo que se conseguiría rebajando esa aceleración final. ¿cómo?:
rebajando el latigazo final mediante una menor elasticidad final.
Esto nos conduce al arco más fino en los extremos, menos elástico, más lento y menos acelerado.
Hemos pues reinventado al arco con sección variable, menor en los extremos. No está mal, coincidir con los descubrimientos empíricos, frutos de cientos, incluso miles de años.
Pero antes de abordar el estudio del arco de sección variable, retoquemos los resultados anteriores pasando al mundo más real:
Ya se ve que el estudio más pormenorizado se complica. Pero nos gustan estas complicaciones.
Arco_modelo2
(en desarrollo)
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actualización:
martes, 22 de mayo de 2018
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