Arco/Un problemita de vigas.htm

Me escribe un amable consultante sobre un pequeño problema que se le ha planteado en su trabajo como aparejador:

Una viga se pandea ‒se curva‒ (representada en la figura como el arco de circunferencia L), y se desea conocer el radio y el ángulo de esa circunferencia. Se plantea el problema muy sencillamente: El arco tiene

una longitud proporcional al ángulo (mide 2pr toda la circunferencia, ángulo 2p radianes). A otro ángulo f corresponderá un arco de longitud f.R (regla de tres).

Por otra parte, C, la cuerda del arco L, es el doble del cateto vertical en el triángulo superior, y su medida es pues, 2.R sen (f/2). Así

sistema de dos ecuaciones con dos longitudes conocidas, las de la viga y la cuerda, vertical; y dos incógnitas, el ángulo y el radio. Es sencillo, pero el ángulo se encuentra como tal y bajo la función seno, lo que se llama una ecuación trascendente que no puede resolverse directamente. Sustituir por R deja el problema igual. Habrá que acudir a medios gráficos o de aproximación. O intentemos el encontrar alguna tabla.

Esta es la conocida función Sinc, que aparece en electrónica, comunicaciones, óptica, tratamiento de señales..., en particular es la transformada de Fourier de una señal rectangular. O ventana rectangular.. Si calculamos el cociente, ese será el valor del sinc, y de ahí obtenemos en las tablas el valor f/2, y por tanto, el de f.

PI = 4 * Atn(1) For FImedios = 0.01 To PI / 2 Step 0.01 Print FImediosi, Print (Sin(FImedios)) / FImedios Next
Cálculo de SINC en Basic. Se lista: 1. semiángulo FI en radianes. 2. Cociente altura/longitud
0.01 1.000 0.02 1.000 0.03 1.000 0.04 1.000 0.05 1.000 0.06 0.999 0.07 0.999 0.08 0.999 0.09 0.999 0.10 0.998 0.11 0.998 0.12 0.998 0.13 0.997 0.14 0.997 0.15 0.996 0.16 0.996 0.17 0.995 0.18 0.995 0.19 0.994 0.20 0.993 0.21 0.993 0.22 0.992 0.23 0.991 0.24 0.990 0.25 0.990	0.26 0.989 0.27 0.988 0.28 0.987 0.29 0.986 0.30 0.985 0.31 0.984 0.32 0.983 0.33 0.982 0.34 0.981 0.35 0.980 0.36 0.979 0.37 0.977 0.38 0.976 0.39 0.975 0.40 0.974 0.41 0.972 0.42 0.971 0.43 0.969 0.44 0.968 0.45 0.967 0.46 0.965 0.47 0.964 0.48 0.962 0.49 0.960 0.50 0.959	0.51 0.957 0.52 0.956 0.53 0.954 0.54 0.952 0.55 0.950 0.56 0.949 0.57 0.947 0.58 0.945 0.59 0.943 0.60 0.941 0.61 0.939 0.62 0.937 0.63 0.935 0.64 0.933 0.65 0.931 0.66 0.929 0.67 0.927 0.68 0.925 0.69 0.923 0.70 0.920 0.71 0.918 0.72 0.916 0.73 0.914 0.74 0.911 0.75 0.909	0.76 0.906 0.77 0.904 0.78 0.902 0.79 0.899 0.80 0.897 0.81 0.894 0.82 0.892 0.83 0.889 0.84 0.886 0.85 0.884 0.86 0.881 0.87 0.879 0.88 0.876 0.89 0.873 0.90 0.870 0.91 0.868 0.92 0.865 0.93 0.862 0.94 0.859 0.95 0.856 0.96 0.853 0.97 0.850 0.98 0.847 0.99 0.844 1.00 0.841	1.01 0.838 1.02 0.835 1.03 0.832 1.04 0.829 1.05 0.826 1.06 0.823 1.07 0.820 1.08 0.817 1.09 0.813 1.10 0.810 1.11 0.807 1.12 0.804 1.13 0.800 1.14 0.797 1.15 0.794 1.16 0.790 1.17 0.787 1.18 0.784 1.19 0.780 1.20 0.777 1.21 0.773 1.22 0.770 1.23 0.766 1.24 0.763 1.25 0.759	1.26 0.756 1.27 0.752 1.28 0.748 1.29 0.745 1.30 0.741 1.31 0.738 1.32 0.734 1.33 0.730 1.34 0.726 1.35 0.723 1.36 0.719 1.37 0.715 1.38 0.711 1.39 0.708 1.40 0.704 1.41 0.700 1.42 0.696 1.43 0.692 1.44 0.689 1.45 0.685 1.46 0.681 1.47 0.677 1.48 0.673 1.49 0.669 1.50 0.665	1.51 0.661 1.52 0.657 1.53 0.653 1.54 0.649 1.55 0.645 1.56 0.641 1.57 0.637
Uso: 1. Busque el valor del cociente C/L en la segunda columna. 2. El valor correspondiente en la primera es el ángulo f/2. Duplique y ese es f. 3. Obtenga el radio con: R = L/ f. 4. Obtenga la flecha mediante: f = R (1-cos (f/2)).

O mejor, lo hacemos

{	L= f.R Fl = R (1-cos (f/2))

Eliminamos R:

Fl/L = 1/2 (1-cos (f/2)) /( f/2).

y listamos los valores correlativos del cociente cuerda/arco, el ángulo

PI = 4 * Atn(1) For FImedios = 0.01 To PI / 2 Step 0.01 Debug.Print Format(FImedios, " 0.00"), " ", Debug.Print Format(Sin(FImedios) / FImedios, " 0.000"), " ", Debug.Print Format(1 / 2 * (1 - Cos(FImedios)) / FImedios, " 0.000"), Debug.Print Format(1 / 2 * (1 - Cos(FImedios)) / Sin(FImedios), " 0.000") Next
Cálculo de SINC en Basic. Se lista: 1. semiángulo en radianes 2.cuerda / long arco 3. flecha / long arco 4.flecha / cuerda
0.01 1.000 0.002 0.003 0.02 1.000 0.005 0.005 0.03 1.000 0.007 0.008 0.04 1.000 0.010 0.010 0.05 1.000 0.012 0.013 0.06 0.999 0.015 0.015 0.07 0.999 0.017 0.018 0.08 0.999 0.020 0.020 0.09 0.999 0.022 0.023 0.10 0.998 0.025 0.025 0.11 0.998 0.027 0.028 0.12 0.998 0.030 0.030 0.13 0.997 0.032 0.033 0.14 0.997 0.035 0.035 0.15 0.996 0.037 0.038 0.16 0.996 0.040 0.040 0.17 0.995 0.042 0.043 0.18 0.995 0.045 0.045 0.19 0.994 0.047 0.048 0.20 0.993 0.050 0.050 0.21 0.993 0.052 0.053 0.22 0.992 0.055 0.055 0.23 0.991 0.057 0.058 0.24 0.990 0.060 0.060 0.25 0.990 0.062 0.063 0.26 0.989 0.065 0.065 0.27 0.988 0.067 0.068 0.28 0.987 0.070 0.070 0.29 0.986 0.072 0.073 0.30 0.985 0.074 0.076 0.31 0.984 0.077 0.078 0.32 0.983 0.079 0.081 0.33 0.982 0.082 0.083 0.34 0.981 0.084 0.086 0.35 0.980 0.087 0.088 0.36 0.979 0.089 0.091 0.37 0.977 0.091 0.094 0.38 0.976 0.094 0.096 0.39 0.975 0.096 0.099 0.40 0.974 0.099 0.101 0.41 0.972 0.101 0.104 0.42 0.971 0.103 0.107 0.43 0.969 0.106 0.109 0.44 0.968 0.108 0.112 0.45 0.967 0.111 0.114 0.46 0.965 0.113 0.117 0.47 0.964 0.115 0.120 0.48 0.962 0.118 0.122 0.49 0.960 0.120 0.125 0.50 0.959 0.122 0.128	0.51 0.957 0.125 0.130 0.52 0.956 0.127 0.133 0.53 0.954 0.129 0.136 0.54 0.952 0.132 0.138 0.55 0.950 0.134 0.141 0.56 0.949 0.136 0.144 0.57 0.947 0.139 0.146 0.58 0.945 0.141 0.149 0.59 0.943 0.143 0.152 0.60 0.941 0.146 0.155 0.61 0.939 0.148 0.157 0.62 0.937 0.150 0.160 0.63 0.935 0.152 0.163 0.64 0.933 0.155 0.166 0.65 0.931 0.157 0.168 0.66 0.929 0.159 0.171 0.67 0.927 0.161 0.174 0.68 0.925 0.164 0.177 0.69 0.923 0.166 0.180 0.70 0.920 0.168 0.183 0.71 0.918 0.170 0.185 0.72 0.916 0.172 0.188 0.73 0.914 0.175 0.191 0.74 0.911 0.177 0.194 0.75 0.909 0.179 0.197 0.76 0.906 0.181 0.200 0.77 0.904 0.183 0.203 0.78 0.902 0.185 0.206 0.79 0.899 0.187 0.208 0.80 0.897 0.190 0.211 0.81 0.894 0.192 0.214 0.82 0.892 0.194 0.217 0.83 0.889 0.196 0.220 0.84 0.886 0.198 0.223 0.85 0.884 0.200 0.226 0.86 0.881 0.202 0.229 0.87 0.879 0.204 0.232 0.88 0.876 0.206 0.235 0.89 0.873 0.208 0.238 0.90 0.870 0.210 0.242 0.91 0.868 0.212 0.245 0.92 0.865 0.214 0.248 0.93 0.862 0.216 0.251 0.94 0.859 0.218 0.254 0.95 0.856 0.220 0.257 0.96 0.853 0.222 0.260 0.97 0.850 0.224 0.263 0.98 0.847 0.226 0.267 0.99 0.844 0.228 0.270 1.00 0.841 0.230 0.273	1.01 0.838 0.232 0.276 1.02 0.835 0.234 0.280 1.03 0.832 0.236 0.283 1.04 0.829 0.237 0.286 1.05 0.826 0.239 0.290 1.06 0.823 0.241 0.293 1.07 0.820 0.243 0.296 1.08 0.817 0.245 0.300 1.09 0.813 0.247 0.303 1.10 0.810 0.248 0.307 1.11 0.807 0.250 0.310 1.12 0.804 0.252 0.313 1.13 0.800 0.254 0.317 1.14 0.797 0.255 0.320 1.15 0.794 0.257 0.324 1.16 0.790 0.259 0.328 1.17 0.787 0.261 0.331 1.18 0.784 0.262 0.335 1.19 0.780 0.264 0.338 1.20 0.777 0.266 0.342 1.21 0.773 0.267 0.346 1.22 0.770 0.269 0.349 1.23 0.766 0.271 0.353 1.24 0.763 0.272 0.357 1.25 0.759 0.274 0.361 1.26 0.756 0.275 0.365 1.27 0.752 0.277 0.368 1.28 0.748 0.279 0.372 1.29 0.745 0.280 0.376 1.30 0.741 0.282 0.380 1.31 0.738 0.283 0.384 1.32 0.734 0.285 0.388 1.33 0.730 0.286 0.392 1.34 0.726 0.288 0.396 1.35 0.723 0.289 0.400 1.36 0.719 0.291 0.404 1.37 0.715 0.292 0.408 1.38 0.711 0.294 0.413 1.39 0.708 0.295 0.417 1.40 0.704 0.296 0.421 1.41 0.700 0.298 0.425 1.42 0.696 0.299 0.430 1.43 0.692 0.301 0.434 1.44 0.689 0.302 0.439 1.45 0.685 0.303 0.443 1.46 0.681 0.305 0.447 1.47 0.677 0.306 0.452 1.48 0.673 0.307 0.457 1.49 0.669 0.308 0.461 1.50 0.665 0.310 0.466 1.51 0.661 0.311 0.470 1.52 0.657 0.312 0.475 1.53 0.653 0.313 0.480 1.54 0.649 0.315 0.485 1.55 0.645 0.316 0.490 1.56 0.641 0.317 0.495 1.57 0.637 0.318 0.500

Resuelto.

Ahora bien, si la curvatura de la viga no es constante....habría que afinar más. Pero basta por hoy.

Se aplica algo de lo anterior en Arquería, especialmente en Nuevas Consideraciones.