Esta página está en construcción: perdonen los errores, repeticiones y temas inacabados.

This page is being developed: I am sorry for errors, duplications and unfinished subjects.

Redes periódicas de 12 (perteneciente a Decoración Geométrica Islámica)

En nuestro Diseño de redes de 12 encontrábamos la falta de alguna condición en las semisecuencias X y H para conseguir que el bloque de red de 12 genere la red de 12, o, en otras palabras,

que todas las rectas de la red que cortan el bloque coincidan con alguna recta del bloque.

El bloque es aquí hexagonal, si usamos sólo dos series, X y H (cambiando enne, tendríamos un número diferente).

Se observan aquí dos tipos de rayo (segmento de recta de red dentro del bloque de red (que llamaremos desde ahora BR dentro del triangulo marcado en negro, el llamado por nosotros elemento generador de red, en adelante EGR. Así que el BR es n hexágono generado por el EGR mediante simetrías repetidas respecto a los ejes en rojo.

Bien.

Primeramente se observan unos rayos que inciden en otros simétricos del EGR, y los que inciden en otro BR, al la derecha. Tenemos pues tres series de intersecciones:

H:    A B C D E F G H I            9  en total

V:    J K L M N                         5  en total

X :   O P Q R S T U V X Y      10  en total

                24 en total

Fig 1. Red 12 Oblicuo: X [//çacaç: 5] Recto: H [//çcacç: 5] sX[ 2a+ 2c ] sH[ 1a+ 3c ]  a/c= 1.73205080756888

Observamos los siguientes propiedades de estas intersecciones o puntos aparentes de reflejo..

    1.    En todas ellas el rayo incidente y el reflejado forman igual ángulo con el límite

    2.    En H y X, los rayos i-r pertenecen a la misma semisecuencia e índice en ella. Por ejemplo:

 Lim H:  A(1h,1h), B(1h,1h), C(1h,1h), D(2h=2h), E(2x,2x), F(2h,2h), G(3h=3h), H(3x,3x), I(4h,4h),

 Lim X:  Y(1x,1x), X(1h,1h), V(1x,1x), U(2h,2h), T(2x=2x), S(3x=3x), R(3h,3h), Q(2x,2x), P(4h,4h), Q(4x=4x),

    3.    En V en cambio, pertenecen también a la misma semisecuencia, los índices varían si no son rayos perpendiculares, y tanto más cuanto más arriba intersecte.

          Lim V:    J (1x=1x), K(2h, 3h), L (3x, 4x), M (1h,4h), N (2x=2x),

    4.   Se observan rayos aparentemente reflejados varias veces hasta que vuelven por mismo camino (al incidir perpendicularmente. Ejemplo,

    Rayo 1: A-1h-X-1h- C-1h-M-4h-P-4h-I

    Rayo 2: Y B V J

    Rayo 3: D U F K R G

    Rayo 4: T E Q N

    Rayo 5: S H L O

Están todos, los 24, porque de seguir sólo encontraríamos los mismos rayos en sentido inverso.

De estos hechos empíricos

Pero veamos cómo se refleja un rayo.

Si un ángulo a incide sobre un espejo de ángulo b, el rayo reflejado lleva un ángulo de 2b-a. De modo que los rayos se reflejan en los límites del EGR, cuyos ángulos son betamed=pi/n=30º en la red de 12, 0º y 90º, se modo que eso nos permite saber la dirección de los rayos reflejados conociendo los incidentes, 183 son únicamente los múltiplos de 30º.

alfa refl = 2 beta-alfa inci
beta	alfa inci
	0º	30º	60º	90º
0º	=	60º	120º	=
30º	60º	30º	0º	30º
60º	120º	90º	60º	30º
90º	180º	150º	120º	90º
120'

Si usamos los índices de serie de paralelas a las direcciones de la red, que comienzan en 0 y llegan a la mitad, ya que las siguientes coinciden con ella, en nuestra red de 12 tenemos sólo ángulos 0, 30º, 60º, 90º, 120º, 150º, coincidiendo ya 189º con 0º, 210º con 30º, etc. DE mdo que los índices posibles son sólo 0,1,2,3,4 y 5. La ley de reflejo de ángulos

a_r = 2 b_e - a_i

 deviene en índices

n_ar = 2 k_be - m_ai

siendo n_ar , k_be ,  m_ai los índices de los rayos reflejados, espejo e incidente.

Así que el factor 2 de la última ecuación nos dice que la raridad del rayo incidente es la misma que la del reflejado, sea cual sea el índice del espejo, 0 para horizontal, 1 para inclinado, 3 para vertical, del triangulo generador de red, el EGR . En efecto, repitiendo el cuando de lo ángulos con sus índices, encontramos: Siempre un cambio de índice a la misma paridad (las columnas en el cuadro la tienen), lo que implica igual secuencia de distancias cuando tenemos sólo dos series que alternan. como en el caso que nos ocupa.

Índice rayo reflejado nar = 2 kbe - mai
kbe	mai
	0	1	2	3
0	0	5	4	3
1	2	1	0	1
2	4	3	2	1
3	0	5	4	3
4

Así que cada rayo o línea que introducimos en una serie se nos reproduce en otra serie d idéntica aunque en otro ángulo e índice.

Las distancias al origen de esas ractas incidente y reflejada mantienen una relación variable según la inclinación e óindice del espejo limitador. Se ve en la figura que el espajo horizontal no cambia la distancia, que inclinado intercambia cercanos y lejanos y que el vertical también pero mucho menos. Eso es lo que se comprobaba en las observaciones sobre los reflejos de los rayos en la figura.

La repercusión de estos cambios de distancia, o de índice de distancia en los reflejos nos introduce limitaciones o condiciones sobre las secuencias: para los espejos que no cambian la distancia cualquiera vale, o sea, cualquier elemento de la semisecuencia sería admisible, como ocurría con la serie H de la red de 8. De modo que aquí, en la de 12,  los espejos horizontal e inclinado no imponen condiciones.

El vertical, que sí lo cambia las distancias, nos impone condiciones en la secuencia, que debemos investigar. Alguna relación ha de haber entre distancias del principio y del final de la secuencia (el caso capicúa es ya una fuerte condición). Podemos verlo como que todo rayo con su distancia genera otro con la suya, o, en la semisecuencia correspondiente, un elemento al principio genera otro más adelante.

El espejo vertical en realidad sólo desplaza elementos en la semisecuencia, poco si la intersección está cerca del ejo horizontal, más si esta lejos, es decir, más arriba.. Y esto sólo para rayos no horizontales. Además las condiciones afectan ahora a las dos serie X y H. Recordamos ahora que laos elementos de las semisecuencias X y H son distancias entre paralelas contiguas de modoq ue toda

 distancia de recta a origen es la suma de todas las anteriores.

Ahora veamos cómo varían estas distancia en ele espejo vertical. Veamos la ecuación que nos las liga: pero lo haremos en Distancias y ángulos en redes porque los cálculos nos servirán para cualquier red periódica y no periódica.

 

Todas estas largas consideraciones nos permiten ya ir generando distancias con tiento, una a una, de modo que se conserven las condiciones. Vamos a verlo.

Puesto que los espejos horizontal e inclinado no influyen, considero sólo el vertical.

Vea un acercamiento empírico en Disegno empirico de redes de 12..

.

 

---

Vuelta al Principio    Última actualización: Thursday, 21 de February de 2013    Visitantes: