Integrando de manera inmediata (veáse P...., pag.  )  se  obtiene, al subir:

 

                                        u_e ² 

                               y =   ‑‑‑‑‑‑. ( ln (1 + ( u₀ /u_e )² )  +2 ln (cos (atg( u₀ /u_e ) - t )) )

                                         2g

             y al bajar:

                                       u_e ² 

                               y =   ‑‑‑‑‑‑. ( ln (1 + ( u₀ /u_e )² )  +2 ln (cosh (atg( u₀ /u_e ) - t )) )

                                         2g

 

es decir, idéntica, excepto el cambio de coseno al subir por coseno hiperbólico al bajar.      La abscisa es común para ambos tramos:

 

                                         u_e ² 

                               x =   ‑‑‑‑‑‑ .  ln (1 +  g w₀ t /u_e ²  )

                                         g

          la velocidad límite  u_e vale aquí:

                              _______

                  u_e = √  m.g / k₂

  siendo iguales el resto de los parámetros. Véanse en la figura    la trayectorias cambiando la influencia del rozamiento; nótense sus formas y alcances diferentes.  Nos proponemos una mayor exactitud, aproximando el rozamiento mediante una expresión proporcional a una combinación lineal de ambas velocidad y velocidad al cuadrado, más un posible factor constante, introducido para optimizar las pruebas empíricas. 

          roz = k . ( a + b.v + c.v² )

 

     Paralelamente mediremos la velocidad real de las flechas mediante aros magnéticos y un computador que medirá tiempos y distancias. O meidnedo el tiempo entre dos eventos del tiro. Por ejemplo entre la suelta, con su ruido simultáneo de la vibración del arco il sonido de la flecha al atravesar un pael. O el sunido de la flecha al clavar en la diana (acercar diana a tiro para reducir atenuación de velocidad  con la distancia.

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kroza  alfa_fle masa_fle velo_ini velo_lim x_max y_max x_alcan velo

0,000 45,0 0,025 50,0 24,5 127,6 63,8 255,3 0,0

0,001 45,0 0,025 50,0 24,5 116,8 60,4 255,3 57,0

0,002 45,0 0,025 50,0 24,5 108,1 57,5 255,3 52,3

0,003 45,0 0,025 50,0 24,5 100,8 54,9 255,3 48,3

0,004 45,0 0,025 50,0 24,5 94,6 52,6 255,3 44,9

0,005 45,0 0,025 50,0 24,5 89,1 50,5 255,3 42,0

0,006 45,0 0,025 50,0 24,5 84,5 48,7 255,3 39,5

0,007 45,0 0,025 50,0 24,5 80,4 47,0 255,3 37,3

0,008 45,0 0,025 50,0 24,5 76,6 45,4 255,3 35,4

0,009 45,0 0,025 50,0 24,5 73,3 44,0 255,3 33,8