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Espacio vectorial
Tomamos el párrafo de EL MAPA de las VECINDADES y desarrollamos algo más.
ESPACIO VECTORIAL
La idea de vector es la de 'cantidad con dirección', como la fuerza mayor o menor (cantidad) que se ejerce con una orientación (empujamos hacia o contra algo). En definitiva, precisamos más de un número para determinar o conocer un vector). Otra idea importante es la de que los vectores pueden componerse o sumarse: pero en esta suma vectorial, la efectividad de la suma depende de las orientaciones y magnitudes de los sumandos: dos fuerzas iguales y opuestas se anulan mutuamente, su 'suma' es nula.
Los vectores pueden pues sumarse o componerse, y también descomponerse, es decir, encontrar vectores cuya suma sea el dado, al igual que podemos decir que '5 puede obtenerse como suma de 2 y 3, o bien, de 1 y 4'. Para un vector diríamos entonces que esos vectores son sus componentes.
El espacio vectorial es pues un conjunto de elementos que pueden sumarse entre sí dando lugar a elementos del propio conjunto; incluso dado el concepto de producto como suma simplificada ( 2a = a + a ), también el producto de un número por un vector será también otro vector del conjunto (cuidado, que no hablamos de producto de vectores). Pensemos en fuerza doble, o triple. Además en este tipo de espacios, debe existir además un vector que sumado a otro no le modifique, un elemento neutro o trivial, el vector nulo.
Cuando decimos 'suma' nos referimos a cualquier operación, es decir, cualquier relación entre un par de elementos, los 'sumandos' y otro, el 'resultado'
Todo este preámbulo describe las condiciones para que un conjunto sea un espacio vectorial, condiciones que sumarizamos en la definición siguiente:
Un conjunto es un Espacio Vectorial cuando:
1. La suma de dos elementos cualesquiera del conjunto es también elemento del conjunto. (y esta suma es conmutativa, transitiva, distributiva)
2. El producto de cualquier elemento del conjunto por un número real es también un elemento del conjunto.(distributivo conmutativo con 1)
3. Hay en el conjunto un elemento que sumado con cualquiera otro resulta el mismo (no le modifica). Es el neutro, 1.
4. Hay en el conjunto por cada elemento, otro llamado su opuesto (llamado -a), el cual sumado con él resulta el neutro.
En lenguaje matemático convencional, el conjunto de elementos V es un espacio vectorial cuando cumple las condiciones V1 a V4, que ejemplificamos para un conjunto muy sencillo: los enteros:
, V El suma de dos enteros es otro entero; 8 + (-5) = 3V1. a + b
V2.
a. b , V El producto de un entero por otro es otro entero: 5 por -3 es -15.V3. a +
1 = a Hay un vector neutro, el 0: sumado a cualquier entero, éste no varía; 0 + 5 =5V4. a + (-a) =
1 Hay un vector opuesto para cada entero: para 3, -3, pues (3+(-3) = 0
Estas operaciones cumplen algunas otras propiedades, las normales (conmutativa, distributiva, asociativa, etc.)
En música, como en cualquier otra disciplina, encontramos multitud de espacios vectoriales: los intervalos como tamaño, que veremos en otro momento (Espacio Melódico) son un caso particularmente interesante; pero también el los intervalos como n-uplas en un espacio de primos o Espacio Primal que ampliamos en APPENDIX. TWO NUMERICAL THEORIES OF SONANCE.
A veces un espacio vectorial es también métrico.
Ejemplos de espacio vectorial
Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo puntual dan una componente búnica, un vector, que puede descomponerse en ellas.
Las funciones continuas --o continuas a trozos, un número finito o infinito numerable de trozos-- definidas en un intervalo de la variable: y = f(x) definidas en el intervalo [x1, x2]
Los números imaginarios
Los polinomios
Combinaciones de 1 y raíz cuadrada de 2: a + b RAIZ2(2).
Bases del espacio
Llamamos base a un conjunto de vectores del espacio que son capaces de generar todos los demás mediante una combinación lineal de ellos. Incluidos ellos mismos, claro, dando coeficiente 1 al deseado y cero a los demás. Los coeficientes de cada vector de base en esa combinación lineal son las componentes del vector descompuesto en esa base. En otra base cambian esas componentes.
Pero esta base, aunque es suficiente para generar los vectores del espacio, de generar el espacio, puede ser excesiva, es decir, pueden sobrar vectores. Aún más, pueden no ser ortogonales entre si, es decir, que sus proyecciones sobre los vectores de base pueden no ser nulas.
Bases ortonormales y ortogonales
La idea es obtener un conjunto mínimo de vectores de base que sean ortonormales --perpendiculares entre sí, de modo que cada uno se proyecte sólo sobre sí mismo. De esta manera la descomposición ded un vector en los de base, será única.
Si además el módulo de los vectores de base es la unidad, estos la base es no solo ortonormal sino también ortogonal. En el espacio cotidiano, el llamado euclídeo, esta base son tres vectores unitarios cuyas direcciones son --para fijar ideas-- hacia arriba, hacia el norte y hacia el oeste. Podemos no obstante girar en cualquier dirección horizontal o inclinada esta base y lo obtenido será otra base ortogonal del espacio.
Por ejemplo, el conjunto de funciones continuas y = f(x) antes ejemplificado admite una base: las funciones seno de frecuencias múltiplos de 2PI/T, siendo T el tamaño del intervalo [x1, x2]
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actualización:
Thursday, 21 de February de 2013
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