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Láminas multicapa. II. Momentos

Venimos de encontrar la capa neutra de una Lamina multicapa. Veamos ahora los momentos y ángulos producidos por ellos en la lámina.

1. Podemos razonar intuitivamente:

Para una capa, contamos con la expresión general del ángulo de flexión en el elemento de arco de longitud s, al que se aplica un momento flector M:

a_s = ^{M s}/_EI

donde E es el módulo elasticidad de Hooke, ligada a al rigidez o fortaleza del arco, y donde  I, momento de inercia de una sección recta de anchura b y grosor o espesor h es:

I = b.h ³ / 12

La coexistencia de varias capas, es decir, varias capas pegadas de modo que no se desplazan entre si, introduce nuevos problemas. Todas las capas deben doblarse mediante el mismo ángulo, son, a efectos e flexión, una sola capa. De modo que para cada una: de modo que para la capa i , el momento que se ejerce sobre la lámina será la suma de los momentos que cada capa ejerce como resistencia giro.

  M = S_i M_i  = S_i a_s E_i I_i / s  = a_s / s S_i  E_i I_i  = 1 / r_s S_i  E_i I_i

Es decir,

 el momento  que hace flexar una lámina multicapa  es proporcional a la suma de los productos EI para cada capa.

Este producto se llama rigidez. En estos productos E es diferente según el materia, e I es diferente según la sección y la posición, la distancia a la fibra o capa neutra.

De modo que si la sección total es rectangular, todas las capas comparten la misma anchura b y tienen diferente h_i la expresión queda , siendo yi la distancia del centro de la capa i a la capa neutra, lo que hemos llamado antes a_mi:

  M = 1 / r_s S_i  E_i I_i = ( b r_s ) S_i  E_i h _i( h_i ²/12+ y_i²)

donde ya observamos la importancia del sumando  y_i², frente al espesor al cuadrado,  h_i ² , dividido por 12, a efectos de conseguir un alto EI global.. Más claro, si todas las capas son igualmente gruesas, de espesor h: la distancia a la capa neutra es y_i = i h:

  M =  ( b h³ / r_s ) S_i E_i ( .08 + i ²)

donde encontramos cómo cada sumando ligado a una capa depende directamente del E del material y del cuadrado de número de capas que le separan de la capa neutra (i = 0), tanto por fuera (extensión) como por dentro (compresión) de la flexión.

De modo que ya, muy palmariamente establecemos que

las fibras más resistentes (alto E) se colocan tan alejadas del centro como sea posible.

principio importantísimo pero no novedoso, ya que se lleva practicando durante muchos miles de años en los arcos orientales, y aún mucho antes por la naturaleza en el bambú por ejemplo, que coloca el material resistente en el exterior y nada en el interior, donde es poco efectivo.

Pero esto también nos dice que

 esas distancias a la fibra neutra deben mantenerse durante la flexión,

 lo cual nos obliga poner un material interior que mantenga la distancia Así lo hace por fuera el bambú, con dos capas laterales. Y así se viene haciendo igualmente desde mucho antes con capas de madera ligera poco compresible. 

2. Pero podemos ser más rigurosos. rehaciendo los cálculos. Para una capa:

M = S d M = S y d F  =  S  y (b dy )E y  / R  = (b E/ R) / S  y² dy = (b E/3R) (a_i³- a_i-1³) 

y para todas las capas

M = S d M = S _i (S_y y dF)  =  S _i  (b E_i / 3R) (a_i³- a_i-1³)  = (b /3R) S _i E_i (a_i³- a_i-1³)

pero

(x³ - y³) = (x - y) (x² + y² + xy  )

y como en este caso

x = a_mi  + h_i / 2       y = a_mi - h_i /2          x - y = a_i - a_i-1 = h_i        

   ( x² + y² + xy  ) = ( x + y )² - xy  )  = 4 a_mi² - (a_mi² -  h_i² /4  = 3 a_mi² + h_i² /4 

entonces

M  = S _i  (b E_i/ 3R) (a_i³- a_i-1³)   = b / R S _i E_i h_i ( a_mi² + h_i² /12  )

donde se pone de manifiesto la importancia de la posición de la capa, representada por la distancia dre su capa media al capa neutra, frente al espesor h_i. Es decir

el efecto de una capa es mucho mayor cuanto más alejada está de la superficie o fibra neutra.

la expresión queda. en otra notación

M = (S _i E_i I_i) / R

donde

I_i = b h_i ( a_mi² + h_i² /12 )

es el momento de inercia de una capa rectangular de anchura b y espesor h_i, a distancia  a_mi de su línea media a la líneas neutra de la multicapa.

El producto EI es llamado Rigidez de la capa i, y es representado a veces por J. De modo que

M  =  J / R

siendo J la rigidez de la multicapa, suma a su vez de las rigideces de cada una. Más aún, puesto que a = s / R

a_s  = M_s  s /  J

que leemos:

El ángulo que un elemento de multicapa gira por la acción de un momento M_s es proporcional a ese momento y

a la longitud del elemento, e inversamente proporcional a la rigidez conjunta.

expresión idéntica a la de una sola capa sustituyendo la rigidez unitaria por la conjunta.  Nótese que el momento puede variar en cada elemento de longitud

Esta expresión es aplicable a una multicapa regular, J invariable.

Multicapa no regular

 Si no es así, tendremos un J local, ligado al elemento de longitud ds. El ángulo será también un diferencial de ángulo.. De modo que en general, expresamos como sumatorio de pequeños elementos o integral de diferenciales cuando los elemento tueneden a longitud nula:

da_s = M_s ds /_Js

y para todo un tramo de características variables:

a = S_s M_s ds /_Js

donde calculamos el ángulo total girado (desigualmente) por toda una viga irregular, sumando los ángulos en cada tramo, o integrando cuando el número de tramos se hace muy grande.

En este caso el ángulo ha de entenderse como el formado por las tangentes inicial y final a la viga completa: es una especie de ángulo medio de una curvatura media sufrida por la viga o barra.

Aplicamos todo lo anterior a Pala: un diseño.

 

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Vuelta al Principio    Última actualización: martes, 22 de diciembre de 2015    Visitantes: