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Trastes de instrumentos de cuerda  (incluido en Acústica de un instrumento de cuerda)

Muchos instrumentos de cuerda pulsada o frotada emplean trastes, bien físicamente situados sobre el mástil, de manera fija (como la guitarra, mandolina e instrumentos similares) o móvil (como el sehtar persa, el tanbur turco, o el sitar y vina indios) o imaginariamente situado, dándosele realidad apretando la cuerda en ese punto (con el dedo o con palancas accionadas por ellos). El trate acorta la cuerda vibrante elevando proporcionalmente la frecuencia de la nota emitida en su vibración.

Resulta fácil la colocación de los trastes o ligaduras en el mástil de un instrumento de cuerda cuando se conocen los intervalos entre las notas emitidas por la cuerda al apretarla sobre cada traste (es decir, se aprieta sobre el espacio entre el traste elegido y el contiguo hacia el clavijero, lugar opuesto al puente.

La relación entre traste e intervalo proviene de la proporcionalidad inversa entre longitudes de cuerda vibrante y frecuencia emitidas, empíricamente observada desde una antigüedad remota de al menos cuatro milenios (sumerios, egipcios, griegos después):

Dos cuerdas iguales excepto en sus longitudes, L1 y L2, emiten frecuencias F1 y F2 en relación inversa:

   F1 / F2 = L2 /L1                                                         (1)

Luego dada una cuerda de longitud L que emite la frecuencia F0, la colocación de un Traste sobre ella, a distancia C del extremo opuesto al puente da lugar a una nueva longitud  L-C, que emitirá la frecuencia F, de modo que  F / F0 = L/(L-C) , y, llamado razón a F/F0, queda C = L-L./razón = L(1-1 / razón):

  C = L (1 - 1/ razón )                                                          (2)

De modo que si se desea la octava de una cuerda, razón 2/1, C = L/2; si la quinta, razón 3:2, C = L/3, etc.

Inversamente, si se coloca una traste a distancia C, se obtiene el intervalo:

                         razón = 1 / ( 1 -  C / L )                                                          (3)

Esos intervalos dependen del sistema musical que el instrumento hace sonar; de hecho, sistema e instrumento (instrumentos) evolucionan juntos, ya que representan la interacción continua entre la teoría del musicólogo y la práctica del intérprete, no siempre de acuerdo,y en muchas ocasiones en franco desacuerdo.

Para intervalos en medida logarítmica, por ejemplo, en cents, las fórmulas

C = L (1 - 1/ razón )                                                                                          (2')

De modo que si se desea la octava de una cuerda, razón 2/1, C = L/2; si la quinta, razón 3:2, C = L/3, etc.

Inversamente, si se coloca una traste a distancia C, se obtiene el intervalo:

                        razón = 1 / ln( 1 -  C / L )                                                                                  (3')

Las series de octavas y de quintas proporcionan casi siempre los trastes principales, los que emiten las notas fundamentales, consonantes:

Consideremos la guitarra con sus trastes diseñados para dar la escala temperada: cada traste, que sube un semitono temperado (razón = raíz doceava (2) = 1.059...), deberá a colocarse a

C /L =  (1 - 1/ 1.59 )   =   0.056                                                                       (4)

o sea a un 5.6 % de la longitud total del mástil.

Esta cantidad está próxima a la obtenida mediante la regla empírica de los constructores tradicionales de guitarras y bandurrias, la llamada 'regla del 18', que divide el mástil en 18 partes y coloca el primer traste en la primera. En efecto 18/17 = 1.0588. Se comete así solamente un error de 1 cent (centésimo de semitono), inaudible. Ahora bien, si se aplica esa regla repetidamente, se acumulará ese errorcillo  a la baja, llegando a ser de unos 20 cents en los 19 trastes de una guitarra. Esto ya es audible, es del tamaño de una coma, matiz que en la música turca por ejemplo representa un cambio de modo. Por lo tanto:

                    La regla del 18 proporciona unos últimos trastes (los agudos) ligeramente bajos.

Interesante, ¿no?

(Ahora bien, como al apretar la cuerda se la tensa un poco, y esto ocurre tanto más cuanto más agudo es el sonido porque el traste está más cerca del puente, bien pudiera esta tensión compensar -en exceso o defecto– el pequeño defecto anterior. El empirismo puede llegar a sabios compromisos).

Tomemos ahora  el Sehtar persa:

Sehtar persa. Figura tomada del programa Mapatone, del autor.

en la figura se ven colocados los trastes aplicando las fórmulas anteriores para los intervalos en cents entre los trastes que hemos adoptado, que son:

0 90 54 60 90 54 60 90 54 60 90 90 54 60 90 54 60 90 90 54 60 90 54 60 90 54 60 90

 

Valores de la escala del Sehtar Persa, en cents.

 

El resultado se ve en la figura, habiendo aplicado las rutinas que aparecen más abajo.

Correcciones. Todo lo anterior ocurre en un mundo ideal de geometría pura; veamos ahora las correcciones que este mundo traidor nos impone:

La primera es la tracción que la cuerda sufre al apretarla contra el mástil en algún traste, la cuerda es tensada y por lo tanto su tono se eleva ligeramente, tanto más cuanto más separación exista entre cuerda y mástil. Solución: por un lado evitar separaciones excesivas, que además hacen fatigoso y lento la digitación. El segundo, desplazar ligeramente los trastes (mejor) o el puente (algo peor), de modo que la cuerda se alargue ligeramente y su tono baje compensando la subida anterior.

La separación entre cuerda y mástil es mayor para los trastes agudos que para los graves (subir el traste  o 'bajar' lo llaman muchos intérpretes), porque la cuerda no debe rozar el los trastes superiores (más cerca del puente) al pisar uno de ellos, lo que más agu; así que la corrección debería ser individual para cada traste.

Entre cuerdas además varía la tensión añadida porque la tensión previa y el material de la cuerda son distintos. Puede actuarse además sobre la altura del puente en cada cuerda, por un lado, y por otro, con la colocación longitudinal del puente: o puentes individuales para instrumentos de precisión o un puente algo oblicuo, de modo que las cuerdas graves tengan más tiro (longitud de cuerda al aire).

La segunda corrección proviene del oído: no son para éste equivalentes frecuencia y tono; más precisamente: un intervalo de frecuencias en dos tesituras diferentes suena diferente al oído. Pero este es un tema tan importante que les dedicamos una página especial: Frecuencia y tono.

Computación y Programación

Las dos rutinas en Visual Basic que realizan las equivalencias discutidas más arriba, entre intervalo en cents y distancia del traste son:

escalonadamente unido

Function cents_a_distancia(valor_cents)
cte = 1200 / Log(2)
propor = Exp(valor_cents / cte)
cents_a_distancia = 1 - 1 / propor
End Function

Function distancia_a_cents(dista)
cte = 1200 / Log(2)
distancia_a_cents = - cte * Log(1 / (1 - dista))
End Function

Function cents_a_distancia_2(valor_cents)
cents_a_distancia_2 = 1 - 1 / (Exp(valor_cents / (1200 / Log(2))))
End Function

Function distancia_a_cents_2(dista)
distancia_a_cents_2 = - (1200 / Log(2)) * Log(1 / (1 - dista))
End Function
   

'–– log es logaritmo neperiano ––––––––––––-

División de un intervalo en dos

A veces se nos plantea dividir un intervalo entre dos trastes en dos, es decir, colocar un traste en medio. La regla anterior nos proporciona una manera.

Por ejemplo, hay un intervalo en la música persa que divide en dos una tercera menor: el dedo medio de Zalzal: se coloca el dedo medio entre índice y anular, que tocan esa tercera, por ejemplo RE-FA. ¿Donde colocar  el trate medio?. Si se coloca en medio exactamente, nos encontramos con:

Sea una tercera pitagórica, de 294 cents, razón, 32:27, por ejemplo, entre re y fa. Calculemos el intervalo inferior de esa tercera en cents.

distancia (tercera menor) = cents_a_distancia(290) = 1 - 1 / Exp(290 / cte)
distancia (mitad de tercera menor) = cents_a_distancia(145) = 1 - 1 / Exp(x / cte)

 y esta última distancia debe ser la mitad de la otra.

        1 - 1 / Exp(290 / cte)= 2 ( 1 - 1 / Exp(x / cte)     ===>      2 / Exp(x / cte)  =  1  + 1 / Exp(290 / cte)   ===>

      Exp( - x / cte)  =  (1  + Exp (- 290 / cte)) / 2   ===>              x =  - cte ln ( (1  + Exp (- 290 / cte)) / 2). 

y como cte = 1731.23,  y el  intervalo superior es la diferencia al total:

 x1 = 139 cents    (unas 6 comas).      x2 = 155 cents  (unas 7 comas)

El problema inverso es determinar la proporción de dos distancias correspondientes a dos intervalos. Si dividimos esa misma tercera en un tono y un semitono pitagórico, ¿dónde colocaremos el dedo?. Naturalmente hay que decidir primero si el tono va debajo ( re- mi- fa) o arriba ( re- mib- fa). Tomemos el primer caso:

La distancia de la tercera será cualquiera, dependiendo de la longitud total de la cuerda. La proporción de distancias en cambio será siempre la misma.

(seguiremos)

 


Vuelta al Principio    Última actualización: miércoles, 16 de julio de 2014    Visitantes: contador de visitas