Artículo redactado, y leído, al alimón con Chicho Sánchez Ferlosio, en el primer Simposio organizado por Agustin_Garcia_Calvo para preparar la Escuela de Lengua y Artes del Lenguaje..
Es como reinventar la música, como una historia (history or story) de su nacimiento.
SOBRE ESCALAS, NÚMEROS y TEMPERAMENTOS
Sobre el tema
Se trata aquí de reintroducir la vieja historia de las escalas; consideraremos primero las tradicionales, tanto occidentales como orientales con lo 'natural' y caminaremos hacia la la moderna occidental, más 'racional' ( si bien emplea intervalos irracionales); por otro lado, están las escalas de los músicos, olvidados a veces en estas historias...
Las primeras relacionan, o quizá debiendo hablar en pasado, relacionaban, música, número, hombre, universo, dios en un todo unitario, o mejor, en un Uno, con aspectos o realizaciones concretas en cada campo; pero su unidad intrínseca resaltaba en influencia mutua y coincidencia formal; eran rígidas, exactas en sus relaciones, sagradas.
Las racionales son fruto de la idiosincrasia del intelectual o mente ordenadora: intentan comprender, es decir, numerizar, ordenar, clasificar, o sea, hacen coincidir lo que oyen con su mecanismo mental.
Las terceras son las que se tocan y oyen, aprendidas quizá de oído, pero siempre guiadas por él, ejecutadas en el momento, bajo la influencia de las circunstancias, dentro de las posibilidades de un instrumento determinado. Son las que se usan en la música de los músicos.
Contamos pues con tres sistemas: el numérico‑simbólico‑natural, el racional‑corta‑por‑lo‑sano, y como antisistema o asistema, la música 'libertina', que toca lo que le sale, y cuando le sale.
Y si nos extendemos en el tiempo y el espacio, salen cientos o miles de escalas. Nunca se pondrán de acuerdo.
Siendo el tercer grupo un universo cambiante y sutil, intentaremos introducir el primero y segundo. Comencemos por algunas sencillas.
El concepto de Escala
Debemos precisar que el concepto de escala pertenece más bien a la mentalidad que origina el segundo grupo, el racional‑occidental: la escala, como recuento y ordenación de los sonidos musicales, despoja a éstos de su contexto y uso, no representa la música que las emplea; como no representa el estilo mozárabe la colección de ladrillos usados en su construcción.
En concreto el concepto de escala simplifica el de Modo, más ajustado a la práctica musical. En la descripción de un modo, son esenciales los comienzos y finales de frase, el ámbito o tesitura de estas, el tipo de frase legítima, y consecuentemente, los intervalos entre grados de la escala realmente usados en el modo. El músico oriental no olvida esto y, para mostrar una escala, toca frases del modo correspondiente.
Así, para completar mínimamente el concepto de escala, deberemos dotarle de una cierta estructura, en forma de ligaduras entre notas, incluso cuantificadas. Dejando esta tarea para futuros trabajos, veamos, con las reservas apuntadas y orientados por ellas en nuestra descripción, el
Nacimiento ( posiblemente histórico) de las Escalas
Es sabido que todo sonido con tono está constituido por un conjunto de frecuencias múltiplos de una, llamada fundamental. Estas frecuencias son llamadas armónicos, siendo el fundamental el primero, y pueden ponerse de manifiesto en una cuerda u tubo sonoros. Representando los intervalos con el fundamental mediante el cociente o razón de sus frecuencias obtenemos la serie de intervalos:
1/1 2/1 3/1 4/1 5/1 6/1 7/1 8/1 9/1 10/1 11/1 12/1 13/1 14/1 15/1
El primero y segundo armónicos se producen facilmente y están muy emparentados entre sí en la percepción: son 'el mismo' en cuanto que dos melodías separadas por ese intervalo ( que llamamos octava por razones que luego veremos) suenan 'igual' y son empleadas de manera quizá espontánea por hombre y mujer cantando juntos ( a veces emplean la quinta, que ahora veremos).
Inmediatamente se perciben como vecinos al fundamental el tercer armónico y su octava inferior, llamada su quinta ( razón 3/2); esta quinta forma con la octava otro intervalo llamado cuarta ( razón (2/1)/(3/2) = 4/3 ). Si creamos otra cuarta ascendente sobre el fundamental, formará con la quinta un intervalo de (3/2)/(4/3) = 9/8, que resulta ser igual al del noveno armónico con el fundamental (9/1) bajado tres octavas. Nos encontramos así con el esqueleto tonal:
1a 4a 5a 8a
fund........4/3..... cuarta.9/8.quinta......4/3.......octava
6/6 8/6 9/6 12/6
1.0 1.3 1.5 2.0
donde hemos pasado los intervalos a común denominador (6) y realizado la división para comparar los intervalos.
Este esqueleto tonal se encuentra en casi todas las culturas conocidas: parece ser 'natural' y de generación espontánea.
Los intervalos 1a‑4a y 5a‑8a son pues iguales, y suenan mucho más 'grandes' que el intermedio 4a‑5a; se siente entonces como apropiado intercalar otras notas entre ellos para crear intervalos ni muy grandes ni muy pequeños; y es sorprendente que, también en muchas culturas, se haya llegado a la conclusión de que es necesaria una nota al menos para constituir una escala, y que dos son suficientes, y no más. El primer caso crea las escalas pentatónicas, y el segundo las heptatónicas. Las primeras tienen el aspecto
1a 2a 3a 4a 5a
fund.................... cuarta.....quinta................octava
En este último caso, al introducir dos notas entre los extremos del tetracordio, se crean tres intervalos contiguos entre esas cuatro notas. Y de aquí viene lo de 'cuarta'. Con la llamada quinta serán cinco, de ahí lo de quinta; y en total disponemos ahora de cuatro + dos + dos = ocho notas entre fundamental y su octava; y de ahí lo de octava. Numerando las notas obtenemos la escala de siete intervalos por octava:
1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a
fund.................... cuarta.....quinta................octava
no debiendo coincidir necesariamente la división de la primera cuarta con la de la segunda.
La elección de esas nuevas notas nos permite encontrar la inmensa mayoría de las escalas del primer grupo, las Naturales.
Por otra parte, una escala presupone una cierta jerarquía entre las notas que la componen; en particular hay una nota considerada base (posteriormente sería llamada tónica), y otra notas con jerarquía o función diferente, ( dominante, ministro, etc.).
En general tendremos una escala cuando definimos los intervalos entre sus notas y la jerarquía mútua entre ellas. Que esto no es solo un problema académico lo prueban la persistencia de mas de cien escalas en la música árabe (maqamat), otros tantos en la turca, en la india, etc. En cambio, Occidente, eligiendo el limado de sutilezas, se quedó con dos, la mayor y la menor.
Pero primero veamos más en detalle la división de la cuarta.
El Tetracordio y los Géneros
Llamamos tetracordio a ese intervalo de cuarta, y género, siguiendo a los griegos, a su división en tres partes. Las posibilidades son infinitas, pero se reducen si consideramos posibles solo aquellos intervalos entre notas sentidas como vecinas, lo que se ha llamado tradicionalmente intervalos consonantes. La tradición musical ha considerado como tales los intervalos de razón reducible a cociente de enteros pequeños, y, sobre todo, los de la forma
k n+1
2 .
n
con k entero y n entero y positivo, es decir natural; estos intervalos son llamados supernumerarios n. Según esto la escala de consonancia sería, con k=0, es decir, dentro de una octava:
octava quinta cuarta ............................ segunda.........
2/1 3/2 4/3 5/4 6/5 7/6 8/7 9/8 10/9 etc
y en efecto, ya hemos encontrado varios de esos intervalos. Se ve también que el valor de la fracción, el tamaño del intervalo por lo tanto, va decreciendo al crecer n, todo dentro de una octava.
Puesto que la suma de los tres intervalos debe ser la cuarta, el problema consiste en encontrar tres fracciones cuyo producto sea 4/3, y si es posible, que sean supernumerarios; por otro lado, podemos ordenar los intervalos dentro del tetracordio de ocho (2^3) maneras posibles, diferentes entre sí si lo son los tres intervalos. Que el problema tiene solución lo prueba la división 8/7.13/12.14/13 = 4/3 y sus ocho permutaciones.
El problema se nos complica pero se nos reduce si queremos que también los intervalos no contiguos sean consonantes, supernumerarios de preferencia, pero al menos de quebrado sencillo. La razón de ello es otra vez la consonancia, elemento preferente en la construcción de esta escalas naturales.
¿ Y cómo valorar la consonancia relativa de estos intervalos ?. El matemático Euler, en el siglo XVIII ofreció una medida objetiva, es decir, basada en cómputos sobre la complicación de un número, que consideraba dependiente del número y valor de sus factores primos, y que se describe en el Apéndice 2.
Veamos ahora las soluciones históricas a este problema de la división del tetracordio. Así revisaremos sucesivamente las escalas Pitagórica, Natural y Árabes.
Podemos también generar escalas nuevas a partir de otra, tomando como fundamental una cualquiera de sus notas, y manteniendo los intervalos que nos surgen: así justificaremos la escala menor natural.
Las Escalas Pentatónicas.
Para elegir las dos notas que introducimos respectivamente en los dos tetracordios, es una elección natut=ral el elegir el intervalo que nos apareció entre fa y sol, el Tono 9/8, quedándonos como distancia al otro extremo el (4/3)/(9/8) = 32/27, clasificable como tercera menor en nuestra moderna nomenclatura, y que simbolizamos por 'a' ( tono aumentado menor).
204 294 204 204 294
do re fa sol la do
9/8 32/27 9/8 9/8 32/27
4/3
3/2
27/16
2/1
El tamaño 'grande' de estos intervalos dan a la escala un aire característico, de transparencia y movilidad.
Si escribimos la secuencia de intervalos que la componen, junto con las obtenidas a partir de ella, comenzando por otros grados obtenemos cinco en total:
T.a.T.T.a. do.re.fa.sol.la.do
a.T.T.a.T re.fa.sol.la.do.re
T.T.a.T.a. fa.sol.la.do.re.fa
T.a.T.a.T sol.la.do.re.fa.sol
a.T.a.T.T la.do.re.fa.sol.la
Estas escalas han surgido en muchas culturas, unas consideradas como primitivas y otras muy civilizadas, como la china, pero su surgimiento ha sido universal, o al menos, repartido en el mundo. No nos detendremos en ellas, y pasamos a las escalas de siete sonidos.
La Escala Pitagórica
Si tomamos como único intervalo base la quinta justa, 3/2, y sobre la fundamental, que llamaremos do, construímos sucesivamente 4 ascendentes y una descendente,
fa . DO . sol . re . la . mi . si
2/3 1/1 3/2 9/4 27/8 81/16 243/32
que, llevados a la octava y ordenados, nos llevan a la escala pitagórica, o de quintas:
204 204 90 204 204 204 90
do re mi fa sol la si do
9/8 9/8 256/243 9/8 9/8 9/8 256/243
81/64
4/3
3/2
27/16
243/128
2/1
Observamos que de este modo dividimos ambos tetracordios de igual manera, llevando dos intervalos 9/8 sobre la nota inferior; nos queda un exceso hasta la cuarta de 256/243, lo que no es muy consonante, según la teoría de la sencillez numérica que comentábamos.
Hay pues dos tipos de intervalos contiguos o segundas: el 9/8 o tono mayor ( T ), y el exceso a la cuarta, Q‑2T=s, que llamamos semitono pequeño T.T.s.T.T.T.s.
Veamos qué otros intervalos aparecen entre notas de la escala:
DO re mi fa sol la si DO re mi fa sol la si DO
. T . T . s . T . T . T . s .T . T . s . T . T . T . s .
La quinta do‑sol es T.T.s.T; es la llamada quinta justa o perfecta , que se presenta también en sol‑re y, con otro orden de intervalos, en todos los demás casos excepto si‑fa, s.T.T.s., con otro semitono en lugar de un tono, llamada disminuida.
En cents (véase el apéndice 1), las quinta justas tienen 702, y si‑fa, ((256/243).4/3)=64/45 ), 609 cents.
La colocación del semitono dentro de cada tetracordio puede variar, dando lugar a 3*3 = 9 posibles escalas pitagóricas, siendo la descrita la llamada pitagórica mayor o pitagórica en general.
Si construimos una escala de doce quintas ascendentes, bajando las octavas adecuadas, obtendremos una nota algo más alta que la original; esta diferencia es la llamada coma pitagórica. Exactamente su expresión es (3^12)/(2^19), lo que equivale a 22.46 cents.
Las Escalas Árabes
Véanse en
la_musica_culta_arabe_oriental_melodia_notas y generos.
La Escala Natural. También llamada de Zarlino.
Se basa sobre todo en los armónicos de una nota dada; volviéndolos a escribir, transportados a una sola octava:
1/1 2/2 3/2 4/4 5/4 6/4 7/4 8/8 9/8 10/8 11/8 12/8 13/8 14/8 15/8
* * $ * & $ ‑ * + & , $ . ‑ %
Ya se ve que varios coinciden; ordenándolos por tamaño, se obtienen:
* + & , $ . ‑ %
1.000 1.125 1.250 1.500 1.875
8/8 9/8 10/8 12/8 15/8
1.375 1.625 1.750
11/8 13/8 14/8
La escala llamada natural eligió, por razones que desconocemos, los intervalos de la primera fila, despreciando los de la segunda, y asimismo los infinitos que se obtendrían además aumentando el número de armónicos considerados.
Damos ahora un nombre a las notas o frecuencias. Los intervalos entre cada nota y su anterior son, por lo tanto (considerando la última, anterior de la primera, según la identidad de significado de las notas octavadas).
si do re mi sol si
1.066 1.125 1.111 1.200 1.250
16/15 9/8 10/9 6/5 5/4
Ahora, tras comparar los intervalos obtenidos, comprobando ( y por supuesto, oyendo ) los tamaños de los intervalos, resulta fácil llenar con nuevas notas los dos últimos intervalos, más grandes y 'vacíos'; entre el mi y el sol, construyendo un intervalo de 16/15 que aparece entre si y do, creándose así una nota que llamamos fa. Y entre sol y si, como su intervalo es similar al do‑mi, creamos el la, a intervalo 10/9, como el re‑mi; aunque parecería más lógico el intervalo 9/8, como do‑re, que repetiría de manera idéntica los grupos do‑re‑mi‑fa y sol‑la‑si‑do. Pero así son las cosas.
Tenemos así formada una escala con intervalos ni muy grandes ni muy pequeños entre notas contiguas, que queda, escribiendo también el valor del intervalo en cents ( ver apéndice Notación):
204 182 112 204 182 204 112
do re mi fa sol la si do
9/8 10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15
5/4
4/3
3/2
5/3
15/16
2/1
Y esta es la escala llamada Mayor Natural, de Zarlino, de los Físicos, de Aristogenes etc.
también pueden verse los intervalos con el do procedentes de los que aparecen entre armónicos: fa (4/3) entre armónico 3 (sol) y 4 (do); la (5/3) entre armónicos 3 (sol) y 5 (mi), etc. Son pues verdaderamente naturales en cuando que aparecen entre los armónicos de un sonido: no son intervalos arbitrarios (lo arbitrario es su selección).
Se observa que los números que intervienen en sus fracciones pueden descomponerse en los factores primos 1,2,3,5. Este hecho ha sido interpretado tradicionalmente en relación con gran número de hechos del mundo y del hombre, interpretaciones de gran valor antaño, pero olvidadas hoy, pese a valorarse (como no) las relaciones matemáticas involucradas.
Numerando las notas a partir del do, se llama a los intervalos con el ordinal correspondiente, o sea primera, segunda, tercera, cuarta, quinta, sexta, septima y octava; de ahí el término octava, que no se debe más que a que se han metido seis notas entre las dos que la forman ( 6+2=8); en cuanto al parentesco entre las notas a octava, se trata de una conclusión del oído, presente en todas las culturas ( que sepamos), si bien ese parentesco es casi identidad en occidente pero no tanto en oriente.
Los demás intervalos han sido tradicionalmente considerados como más cercanos, parientes o consonantes, cuanto más sencillas eran las relaciones o fracciones de sus intervalos: así quedan, ordenados aproximadamente de de más a menos consonancia:
primera octava quinta cuarta tercera sexta segunda segunda segunda séptima
1/1 2/1 3/2 4/3 5/4 5/3 9/8 10/9 16/15 15/8
Hay pues tres tipos de intervalos contiguos o segundas: el 9/8 o tono mayor ( T ), el 10/9 o tono menor ( t ) y el 16/15, o semitono ( S ). La escala natural es pues: T.t.S.T.t.T.S. La diferencia entre T y t, es (9/8)/(10/9)=81/80 es llamada coma de zarlino, C=(T‑t), equivalente a 21.5 cents. Veamos qué otros intervalos aparecen entre notas de la escala:
DO re mi fa sol la si DO re mi fa sol la si DO
. T . t . S . T . t . T . S .T . t . S . T . t . T . S .
La quinta do‑sol es T.t.S.T; es la llamada quinta justa o perfecta , que se presenta también en fa‑do y, con otro orden de intervalos, en la‑si y sol‑re; pero aparecen también otras quintas con menos suerte: la quinta re‑la, t.S.T.t., una coma de Zarlino menor que la justa, la quinta si‑fa, S.T.t.S con un semitono en lugar de un tono mayor, disminuida.
En cents (véase el apéndice sobre Notación), la quinta do‑sol (3/2), tiene 702, re‑la( (5/3)/(9/8)= 40/27 ),680, y si‑fa,( (2.4/3)/(15/8)=64/45 ), 609 cents.
Esta escala mantiene intervalos sencillos con una nota fija, el Do; parece pues apropiada para la armonía sobre esa nota. El llamado acorde mayor suena en efecto unitario, como un sonido único: las tres notas se funden como los armónicos del do, lo que no es extraño, puesto que son armónicos bajados a la octava del primero: do‑mi‑sol consta de armónicos primero (fundamental), quinto y tercero;
La Escala Menor Natural.
Esta escala admite una justificación armónica menos definida que la mayor, pero es igualmente 'natural', ya que sus intervalos también son supernumerarios y se encuentran entre sonidos de la serie armónica. También podemos considerarla derivada de la Mayor Natural, comenzando la escala por la segunda nota, o por la sexta. El problema reside, en el primer caso o escala de re, que la cuarta re_sol es justa (4/3), pero la quinta no( 40/27); y, en el segundo tenemos el problema inverso, cuarta superior a la justa, la_re, y quinta justa. Y la práctica de la música exige en general la justeza de ambas.
Por otra parte la escala menor surge tras la mayor, que había acostumbrado a la cercanía si‑do. Y finalmente, la armonía complica las cosas. Surge pues una escala híbrida, menos 'natural', con doble forma, una ascendente o armónica, y otra descendente o melódica. Veámos pues el compromiso siguiente,
204 112 182 204 112 204 182
la si do re‑ mi fa sol la
9/8 16/15 10/9 9/8 16/15 9/8
6/5
4/3
3/2
5/3
15/16
2/1
que mantiene la justeza de las quintas la_mi, do_sol, re‑_la, mi_si, fa_do, pero no sol_re‑, ya que hemos bajado una coma el re, a re‑ ( véase notación en Apendice 1.). Las cuartas la_re‑, si_mi, do_fa, mi_la, sol_do son justas pero no re‑_sol, que disminuye.
Esta es pues la escala llamada Menor Natural Melódica.
Ya se ven las dificultades insalvables encontradas al intentar conciliar todos los imperativos. Estas y otras, junto con las encontradas en el próximo apartado, conducirán al compromiso de los temperamentos, solución práctica similar a la del huevo de Alejandro.
El cambio de tónica modal y las Escalas Cromáticas.
Por si no bastaran las divergencias ebtre afinaciones de notas procedentes de relaciones diferentes (octavas, quintas, terceras), el músico occidental comenzó a no sentirse cómodo dentro del margen que la escalas imperantes le permitían (había varias, como se sabe, aunque no se ha citado en este breve estudio). Comenzó entonces a introducir notas extrañas a estas escalas, si bien por breve espacio de tiempo; fue pronto comun 'bemolizar' algunas notas al descender, y 'sostener', elevar otras al descender.
Por otra parte, en instrumentos de afinación relativamenbte fija, como clave y órgano, convenía adecuar la tesitura de una melodía a la de otro instrumento más rígido aún, como voz o viento, bien por imposibilidad, bien por dificultad, en estos últimos.
Esto llevó a la necesidad de introducir nuevas notas entre algunas de las existentes en las escalas habituales, ya la mayor y la menor. Esto significaba construir, sobre notas de estas escalas diferentes de la principal ( llamémosla do), la secuencia habitual de intervalos construída sobre esta última. Por ejemplo, la construcción de una escala mayor sobre la quinta, el Sol, significa construir, adoptando escalas pitagóricas, por sencillez, la serie T.T.s.T.T.T.s. sobre el este Sol, obteniéndose las notas
DO re mi fa sol la si DO re mi fa sol
. T . T . s . T . T . T . s .T . T . s . T . T . T . s .
SOL la si DO re mi XX SOL
T . T . s . T . T . T . s .
y se observa que aparecen las notas ya existentes, la,si,do,re,mi, y una nueva, XX, que no es fa, por estar sólo a un 's' de mi, mientras que XX debe estar a T, más alta por lo tanto; le llamamos Fa#, fa 'subido'. Comparando ambos sonidos, faq y fa#,
T s
mi . . . fa# . SOL
mi . fa . . . SOL
s T
vemos que el efecto del sostenido es elevar a la nota sobre la que se aplica, un intervalo igual a la deferencia entre T y s, (T‑s), (9/8)/(256/243) = 2187/2048, equivalente a 113.7 cents, es decir, muy vecino al semitono natural, 16/15, eq. a 112 cents. Aproximadamente, pues, T = s + S. Llamos a esta diferencia S'.
Construyendo nuevas escalas mayores sobre re, la, mi, si, obtenemos sucesivamente otras notas intermedias, a las que, por su situación, llamamos do#, sol#, re# y la# (verifíquese).
Si ahora construimos una escala mayor sobre fa, obtenemos, por un mecanismo similar, una nueva nota a distancia s de La, y a T de Si, que llamaremos SIb, Si 'bajado", y que estará 113 cents más bajo que el SI. También observamos que, al comparar el Sib con el La#,
s S'
la . sib . si
la . la# si
S' s
que el La# es más alto que el Sib, un intervalo igual a 113.66 ‑ 90 = 23.46, es decir, otra vez la coma pitagórica. En efecto el proceso de obtener doce quintas ascendentes nos hacía aparecer un Si#, a una coma pitagórica del Do.
Hemos obtenido así una escala de 17 sonidos y 17 intervalos por octava:
do re mi fa sol la si do
T T s T T T s
s c s s c s s s c s s c s s c s s
do .reb do#. re .mib re#. mi . fa .sob fa#.sol.lab so#. la .sib la#. si . do
do .reb reb+ re .mib mib+ mi . fa .sob sob+.sol.lab lab+ la .sib sib+ si . do
en nuestra notación.
Renunciamos a detallar el desarrollo de obtención de nuevas notas mediante más quintas ascendentes (obtención de Mi#, Si#, Fa##, Do##, etc) y descendentes ( Dob, Fab, Sibb, Mibb, etc). Igualmente a la tarea aún más complicada de construir estas nuevas notas a partir de escalas de Zarlino, con sus tonos diferentes T y t; lo visto sirve para comprender que el cambio de tónica da lugar a complicaciones irresolubles, sin compromiso posible en la exactitud, o bien, a un repertorio inmenso de notas dentro de la octava, imposibles de controlar en instrumentos de afinación variable ( como cuerda ), o, en los de afinación fija, con teclados de complicación inimaginable (clave, órgano).
Los teóricos no estaban además de acuerdo. Los músicos, como siempre, como que son los que hacen la música, emplearon escalas aproximadas, en las que notas muy vecinas, como las separadas por una coma, se efectuaban y percibían como una sola.
Esto constituía ya una especie de temperamento práctico, empírico. Los teóricos, a remolque de la práctica, emitieron más y más reglas para 'temperar', reglas que tuvieron su aplicación en teclados anteriores y posteriores al Barroco. Por fin surgió el Temperamento Igual o Buen Temperamento, el cual es revisado en el apartado siguiente.
Las Escalas Temperadas
Parten de una concepción radicalmente diferente a las anteriores: ante la multiplicidad de intervalos, comas y excesos, cortan por lo sano dividiendo la octava en un número entero de intervalos iguales, renunciando así a toda idea de relación simple. De hecho surgen intervalos representados siempre por números racionales ( bajo raíz).
Dividiendo la octava en n partes, se obtiene una escala con intervalos contiguos de relación :
³ (1/n)
¹ 2 , o sea, 2
y la relacion del grado j con el grado 0, el Do, será de:
/ (1/n) \ j (j/n) (n/n)
\ 2 / es decir 2 , y la octava: 2 = 2
En cents, habiendo atribuido a la octava 1200 cents, queda como intervalo contiguo de 1200/n cents. En realidad la escala de cents es una escala temperada de 1200 grados por octava.
La escala temperada de 12 intervalos por octava, tiene 100 cents por intervalo, valor intermedio entre el semitono natural (112) y el pitagórico (90): será llamado semitono temperado. Además dos semitonos (200 cents) se parecen al tono grande ( T ) natural ( 204. Menos al pequeño, 182); cinco semitonos ( 500 cents) se parecen a los 498 de la cuarta justa, y siete (700) a los 702 de la quinta; los 12 coinciden claro, con la octava.
De modo que la escala temperada de 12 grados se acerca bastante, al menos en los números, a la pitagórica y natural, con la ventaja de que todos los intervalos que aparecen son múltiplos del semitono; esto ha hecho las delicias de los que se atormentaban con las relaciones intrincadas de las escalas anteriores, y propugnó su implantación; al menos teóricamente. Se ha dado el nombre de Temperamento a esta aproximación de los intervalos antiguos mediante semitonos iguales.
Claro, ahora todas las relaciones son aproximadas a las sencillas , las armonías borrosas y la melodía sin personalidad; de hecho, en la música que se hace, en la música practica, se mezclan todas las escalas y se usa en cada instante la que suena mejor, cuando el instrumento (voz, violín, flauta incluso) lo permiten. Si no es así. se acude a artificios, como la afinación imprecisa (cuerdas triples de piano, no al unísono), melodía rápida que no permite calibrar la afinación, tímbrica variada de afinación también imprecisa, armonía que 'sumerge. la melodía, etc.
El hombre pues se separa de las relaciones llamadas naturales, que le sugieren conexiones sagradas con el universo, y emplea el razonamiento practico, la eficacia, los valores del occidente moderno, vaya.
La escala queda:
100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
do do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si do
s s s s s s s s s s s s
2s
3s
4s
. . . . . . .
11s
12s
Dividiendo la octava en más partes se pueden aproximar las escalas naturales y otras más con mejor aproximación; la idea sería acercarse tanto como el oído lo precise, es decir, no ser más papista que el papa, y no ser más preciso en el sonido que el oído que lo oye. Así se han propuesto octavas de 24 intervalos( cuartos de tono), por Meshaqah, para aproximar las escalas árabes, las de Alois Haba, de , para aproximar las músicas nacionales húngaras, y otras. Existe la llamada música ekmélica, que, en occidente, se aleja de la escala temperada de 12 semitonos.
Las escalas de los Músicos.
Es músico, como que siente propietario de la música, la emplea a su modo; y no se le puede reprochar ya que el el orificio por el que al Música se hace verdaderamente Música. Antes es proyecto, plan, guía. Así que tradicionalmente ha prescindido del teórico, o al menos le ha visto con prevención. Y en todo caso, en el momento de la ejecución, es imposible la consciencia contínua de la afinación exacta de la escala que usa.
Todo esto quiere decir que mientras hace la música el músico, en los instrumentos de afinación variable, se guía por el oído, la técnica préviamente aprendida y su propia evolución musical, para elegir sus tonos. ¿Y cuales elige?. Los que le suenan bien dentro de los que el instrumento le permite.
Por ejemplo, hacia el siglo X, un persa llamado Zalzal decidió que para dividir en dos el intervalo de tercera menor, tocaría la cuerda del laud en el punto medio de las correspondientes a la tercera; este hecho, escandalosamente empírico, ofendió ya a los teóricos del tiempo y posteriores, que, o bien rechazaron el intervalo así generado, o intentaron justificarlo con el 11/10 o el 13/12. En todo caso el intervalo quedó en la memoria y manos de los músicos árabes, constituyendo todavía el característico de esta música.
El instrumento a su vez resulta un compromiso (musical) de varias tendencias, como las que hemos visto en las escalas anteriores; el músico, por lo tanto, realiza en el hecho musical una mezcla 'en tiempo real' de varios requisitos (tantos, que es sorprendente que la música funcione).
Por ejemplo, en instrumentos afinación muy libre, como el violín, aún subsistiendo la afinación por quintas en cuerdas al aire, es el dedo quien realiza, elige el tono; aquí parece que la tendencia del oído es realizar tonos grandes y semitonos pequeños: o sea, algo cercano a la escala pitagórica.
En una guitarra, los trastes tienen la pretensión de seguir a la escala temperada, mientras que la afinación mutua de las cuerdas, realizada a oído (si se hace con aparato es auún peor), de realiza por consonancia de cuartas y quintas. El guitarrista, pese a las posibilidades teóricamente infinitas de modulación, se da pronto cuenta de que unas tonalidades suenan bién y otras mal: el resultado es que tiene que afinar su guitarra para el conjunto de tonalidades que aparecen en la pieza; otro compromiso; y si su oído le rechina en algún momento, tirará de la cuerda para elevar ligeramente el tono. ¡ Qué lejos estamos ya de los números !.
Incluso en el piano, que se afina a oído sobre la escala temperada, subsisten diferencias entre el tamaño de los semitonos, lo que probablemente es la causa de que Do mayor tenga un carácter diferente que Re bemos mayor: son escalas ligeramnte diferentes en sus intervalos.
Y el oido, ¿ como juega aquí su papel ?. De manera decisiva y complicada: en efecto, la altura que el oído atribuye a una frecuencia depende sobre todo de esa frecuencia, pero también de su duración, su intensidad, su timbre, de la fatiga, de otros tonos simultáneos, etc. Incluso no es lineal con la frecuencia, los semitonos correctos al oído son más grandes en agudos y graves que en los medios. Y la precisión de la altura percibida crece también con el tiempo de la nota.
Y ahora hagamos que cien instrumentos diferentes, tocados por doscientas manos diferentes y guiados por otros tantos oídos, toquen juntos. ¿ cuanta fidelidad al número puede esperarse ?.
Sentimiento de las escalas
Apéndice 1. Notación
La notación adoptada es la basada en la división de la octava en 53 partes iguales, llamadas coma Hölder, como es sabido: con un error menor un octavo de semitono quedan aproximadamente reflejados los intervalos de las escalas habituales: las mayores pitagórica y temperadas aparecen sin alteraciones, la natural de Zarlino con la tercera, sexta y séptima una coma bajas (‑),etc. La escala de referencia es, con un ligero error (1.5 cent, max) la escala pitagórica o de quintas, y las desviaciones con respecto a ella se expresan mediante el número de comas que se suben o bajan, segun la lista que sigue:
comas sube baja
1 + ‑
2 * =
5 b
Así cubriremos todas las notas; por ejemplo en los tonos:
notas: do do+ do* reb‑ reb reb+ reb* re= re‑ re
comas: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y en los semitonos:
notas: mi mi+ fa= fa‑ fa
comas: 1 2 3 4
quedando similarmente representadas las demás.
Esta notación es similar, pero no ideéntica a la utilizada por Danielou y por la música turca tradicional. La notación del primero, muy precisa, resulta algo enrrevesada, al utilizar una escala de base de Zarlino, con tonos mayores y menores, bemoles de cuatro comas e intervalo 1/4 extraño al concepto de coma. La segunda emplea como base la escala pitagórica o de quintas, pero emplea hasta 8 tipos de sostenido y bemol. Hemos preferido nuestra notación por encontrarla a la vez más sencilla e intuitiva.
Como unidad más precisa empleamos el Cent, o centésima parte del semitono temperado, lo que nos proporciona las fórmulas inmediatas de paso entre cociente de frecuencias e intervalo en cents:
(Int/1731)
Int = 1731. ln (f1/f2) f1 = f2. e
donde 'ln' es el logaritmo neperiano, 'e' es la base de ese logaritmo, Int es el intervalo en cents y f1, f2 las frecuencias de las notas que componen el intervalo. La octava son pues 1200 cents, la quinta justa, 702, la cuarta justa 498; la coma Hölder, 22.6, el semitono pitagórico 90, el semitono temperado, por definición, 100, el natural, 112; el tono menor 182, el temperado 200, el mayor 204, etc.
En cuanto a la tesitura, y tras comparar los sistemas francés, americano y de piano, elegimos el que consideramos más generalizado en nuestro ambiente, asignando a 440 hz. el nombre de LA, octava 3; todas las demás frecuencias recibirán correlativamente su nombre.
Apéndice 2. Teoría de la Consonancia de Euler
Euler se interesó por el problema de la consonancia y elaboró una interesante teoría basada en la descomposición en factores primos de los números que expresan las relaciones de frecuencia.
Si un número natural a es expresado como producto de primos, definimos su grado de complejidad C(a), como:
i Ei i
a = PR (Pi ) entonces: C(a) = 1 + SU ( Ei(Pi‑1) )
siendo Pi los factores primos de a, Ei sus exponentes y PR y SU los signos de producto y sumatorio. Por ejemplo la complejidad de 8 es 1+3(2‑1)= 4 mientras que la de 9 es 1+2(3‑1)= 5, es decir 8 es más sencillo que 9, y dará lugar a intervalos más consonantes.
El grado (de disonancia) de un intervalo reducido a números mínimos es simplemente el grado del producto de numerador y denominador. Así, la quinta 3/2 tiene el grado 4, el de 6 ( 1+2+1), la cuarta 4/3 tiene 5 (1+2+2), etc.
En general el grado de disonancia de un conjunto de notas, como un acorde, vendra dado por la complejidad del cociente entre el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de sus frecuencias:
/ m.c.m (a,b,c,.) \
Dis (a,b,c,..) = C ( )
\ m.c.m (a,b,c,.) /
Por ejemplo, las frecuencias 220,330,440, la‑mi‑la, tienen una disonancia como acorde igual al grado del cociente 440.330/110 = 12, o sea 5; y lo mismo los acordes do‑sol‑do o mi‑si‑mi. El acorde mayor en su forma fundamental, como do‑mi‑sol, reducido a cifras sencillas, tendrá siempre unas frecuencias proporcionales a 4‑5‑6, lo que nos lleva a una disonancia igual a la complejidad de 60, que es 9, mientras que el menor, la‑do‑mi, proporcional a 5/6‑1‑5/4, o sea, 10‑12‑15, tiene un grado como el de 60, otra vez 9.
Otras inversiones de un acorde pueden variar la disonancia: por ejemplo,
el caso sol‑do‑mi, proporcional a 3/4‑1‑5/4, o 3‑4‑5, da 9, como antes ( a partir de 60) pero mi‑sol‑do, 5/4‑3/2‑2, o 5‑6‑8, da 10 (el de 120, 1+3+2+4 = 10).
La teoría de Euler parece coincidir bastante bien con el sentimiento común del músico, y por otra parte ofrece una medida de una cualidad aparentemente tan elusiva al número como la consonancia. Es una interesante teoría, y más aún por su sencillez.
Es posible encontrar una relación entre esta estimación de la consonancia aparentemente sólo aritmética, y la percepción basada en la neurofisiología. En efecto, un sonido con tono tiene una frecuencia de repetición de una forma de onda, cuya duración es un período. La audición simultánea de dos sonidos de períodos primos entre si creará una forma de onda cuyo período será el producto de aquellos; es decir habrá un tiempo de concepción simultánea, el período de la onda, tanto mayor cuanto más complicada es la relación entre esos primos. Y la complicación y disonancia sera tanto mayor cuantos más sonidos primos añadamos.
El caso es idéntico, pero en escala temporal mucho menor, al de un ritmo, tanto más difícil de comprender y concebir, cuantos más golpes (irreductibles) contenga.
Helmholtz extendió esta relación basada en las frecuencias de los tonos de varios sonidos a sus armónicos. Ahora la complejidad se dá entre los componentes de las familias de armónicos de cada sonido, complicándose la cosa; no obstante, él trata el tema en el dominio de las frecuencias, considerando los batidos o chirridos que armónicos de frecuencia vecina producen en el oído.
Presentamos en la página siguiente un gráfico en el que se muestra la disonancia absoluta y relativa de los intervalos supernumerarios hasta el 81, segun la regla de Euler. Nótese como los intervalos generalmente considerados, tienen una disonancia pequeña ( consonancia grande ); pero también que los intervalos 8/7, 21/20 y 64/63, no utilizados en general, son poco disonantes y pudieran ser quizá reintroducidos en la práctica musical.
Bibliografía
Varios de los títulos que siguen podran probablemente encontrarse en ediciones
más modernas e incluso traducidos.
BLACKWOOD,E. The Struct.of Recognizable Diatonic Scales Princ.Pr. Prince.1985
CULVER,C.A. musical Acoustics McGraw H. N.York,1956
DANIELOU,A. Traité de Musicologie Comparée. Hermann Paris, 1959
GEVAERT,Fr Histoire et Théoriede Mus.de l'Antiquité G.Olms V. Hildes.1965
HELMHOLTZ,H. On the Sensation of Tone. Dover N.York,1954
KENT,E.L. musical Acoustics Dowden Stroud.1877
LACHMANN,R. Música de Oriente. Labor Barcel.1931
LEIPP,E. Acoustique et Musique Masson Paris, 1976
LLOYD,H.B Intervals, Scales and Temperament S.Martin N.York,1963
PIERCE,J.R. Los Sonidos de la Música Sci.Ameri.Barcel.1985
SACHS,K. Musicología Comparada Eudeba B.Aires1966
SACHS,K. La Música en la Antiguedad Labor Barcel.1934
Sánchez,J. La MúsicaArabe Culta Oriental C.S.I.C (en prensa)
Vuelta al Principio Última
actualización
Thursday, 21 de February de 2013
Visitantes: