Medidas y Operaciones con Intervalos
La percepción opera generalmente sobre proporciones, no sobre valores: se perciben 'dobles' o 'mitades', no cantidades; es decir, se percibe por comparación y proporción, en la vista, tacto, etc. En el oído también, no se perciben frecuencias en una melodía, sino intervalos: la octava, la quinta, las terceras, son proporciones entre dos frecuencias.
Pero los intervalos musicales, expresados mediante quebrados (números racionales, cociente de enteros) no son fáciles de evaluar y comparar. Por ejemplo, no es inmediato saber, entre 16:15 y 256:243 cuál es mayor. El pasar a común denominador es tarea engorrosa a veces.
Por ello ha de llegarse a una medida que no dependa de diferentes unidades, como hacen los quebrados, hace falta una medida de intervalo independiente de la frecuencia. Los semitonos, tonos, octavas, ya son medidas de intervalo que pueden darse en los agudos o en los graves y valen lo mismo.
Se trata pues de dividir un intervalo grande entre otros más pequeños, todos iguales entre sí. Esta operación que los antiguos realizaban sólo aproximadamente y con gran derroche aritmético, se realiza muy fácilmente con el logaritmo (fácilmente porque está disponible, en tablas antes, en calculadoras ahora).
El Semitono
Si queremos dividir la octava en 12 partes iguales, por ejemplo, diremos que 12 es la medida del intervalo grande octava en intervalos pequeños (que llamaremos semitonos), y ello ha de ser proporcional a una constante S por un logaritmo, que elegimos neperiano (base e=2.72..), aunque vale cualquier otro (base 10 por ejemplo):
12 = S. ln(2/1) luego S = 12 / (ln(2) = 17.31
luego la medida de cualquier intervalo de proporción p:q en semitonos es:
MSEMITONOS = 17.31 . ln (p/q)
por ejemplo, la quinta justa 3:2 tiene o mide 7. 0186 semitonos de los definidos antes, los semitonos temperados.
Ahora sí que podemos comparar el tamaño de los intervalos.
Podemos dividir la octava en cualquier otro numero de intervalos pequeños iguales, y obtendremos otra constante y otra medida.
Pero no todas las divisiones son útiles: útiles en el sentido de que permiten expresar en esas divisiones los intervalos que aparecen en un sistema musical. De modo que el semitono es útil para expresar intervalos de la música temperada occidental (con problemas, eso sí).
Pero sistemas más sofisticados, como el turco, por ejemplo, precisan subdivisiones más pequeñas. Veamos dos especialmente brillantes por su aplicación en diversos sistemas musicales y por la adhesión que han despertado en músicos prácticos y teóricos. Nos referimos a la coma Hôlder y el Cent.
El Cent
La centésima parte del semitono. Todo es similar en el cálculo, la constante vale 1731 y la medida en cents, 100 veces más que la medida en semitonos:
Mcents = 1731 . ln (p/q)
Es la medida más fina que emplearemos, porque está muy cerca del umbral de la percepción tonal.
La Coma Hôlder
La división de la octava en un sorprendente número, 53, da lugar a un intervalo de medida que expresa con mucha precisión los intervalos de los sistemas pitagórico y natural (Zarlino) por un lado, así como el sistema turco (y el indio), por otro.
En cents, este intervalos de medida vale 100/53 = 22.22... cents
Para medir un intervalo en CH, establecemos como antes para el semitono:
53 = H. ln(2/1) luego H = 53 / (ln(2) = 76.46
luego la medida de cualquier intervalo de proporción p:q en estas comas es:
MComasHölder = 76.46 . ln (p/q)
Veamos la medida de algunos intervalos en comas Hôlder:
|
INTERVALO |
Proporción |
Semit. aprox |
Cents. |
Comas aprox. |
Comas exact. |
|
Octava |
2:1 |
12 |
1200 |
53 |
53.00 |
|
Quinta |
3:2 |
7 |
702 |
31 |
31.00 |
|
Cuarta |
4:3 |
5 |
498 |
22 |
22.00 |
|
Tercera mayor |
5:4 |
4 |
386 |
17 |
17.06 |
|
Tercera menor |
6:5 |
3 |
316 |
14 |
13.94 |
|
Terc.men.estrecha |
7:6 |
2 |
267 |
12 |
11.8 |
|
Tono máximo |
8:7 |
2 |
231 |
10 |
10.2 |
|
Tono grande |
9:8 |
2 |
204 |
9 |
9.00 |
|
Tono pequeño |
10:9 |
2 |
182 |
8 |
8.06 |
|
Semitono grande |
16:15 |
1 |
112 |
5 |
4.93 |
|
Semitono pequeño |
256:243 |
1 |
90 |
4 |
3.98 |
En efecto, esos intervalos, frecuentes en los sistemas musicales citados (menos exactos y menos frecuentes los escritos en cursiva), quedan muy bien representados con esta división, y es por tanto la que emplearemos, en su valor aproximado, al medirlos.
Otros intervalos, a los que nombramos según nuestra percepción, quedan peor parados en esta cuadratura por comas:
|
INTERVALO |
Proporción |
Semit. aprox |
Cents. |
Comas aprox. |
Comas exact. |
|
Mediano máximo |
11:10 |
1.5 |
165 |
7.3 |
7.286 |
|
Mediano mayor |
12:11 |
1.5 |
150 |
6.7 |
6.652 |
|
Mediano medio |
13:12 |
1.5 |
136 |
6 |
6.04 |
|
Mediano chico |
14:13 |
1 |
128 |
5.7 |
5.66 |
|
Semitono mayor |
15:14 |
1 |
119 |
5.3 |
5.27 |
|
Semitono grande |
16:15 |
1 |
112 |
5 |
4.93 |
|
Semitono medio |
17:16 |
1 |
105 |
4.6 |
3.64 |
|
Semitono chico |
18:17 |
1 |
100 |
4.4 |
4.37 |
Véanse otras comas en .Comas
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