Medidas y Operaciones con Intervalos

La percepción opera generalmente sobre proporciones, no sobre valores: se perciben 'dobles' o 'mitades', no cantidades; es decir, se percibe por comparación y proporción, en la vista, tacto, etc. En el oído también, no se perciben frecuencias en una melodía, sino intervalos: la octava, la quinta, las terceras, son proporciones entre dos frecuencias.

Pero los intervalos musicales, expresados mediante quebrados (números racionales, cociente de enteros) no son fáciles de evaluar y comparar. Por ejemplo, no es inmediato saber, entre 16:15 y 256:243 cuál es mayor. El pasar a común denominador es tarea engorrosa a veces.

Por ello ha de llegarse a una medida que no dependa de diferentes unidades, como hacen los quebrados, hace falta una medida de intervalo independiente de la frecuencia. Los semitonos, tonos, octavas, ya son medidas de intervalo que pueden darse en los agudos o en los graves y valen lo mismo.

Se trata pues de dividir un intervalo grande entre otros más pequeños, todos iguales entre sí. Esta operación que los antiguos realizaban sólo aproximadamente y con gran derroche aritmético, se realiza muy fácilmente con el logaritmo (fácilmente porque está disponible, en tablas antes, en calculadoras ahora).

Si queremos dividir la octava en 12 partes iguales, por ejemplo, diremos que 12 es la medida del intervalo grande octava en intervalos pequeños (que llamaremos semitonos), y ello ha de ser proporcional a una constante S por un logaritmo, que elegimos neperiano (base e=2.72..), aunque vale cualquier otro (base 10 por ejemplo):

por ejemplo, la quinta justa 3:2 tiene o mide 7. 0186 semitonos de los definidos antes, los semitonos temperados.

Podemos dividir la octava en cualquier otro numero de intervalos pequeños iguales, y obtendremos otra constante y otra medida.

Pero no todas las divisiones son útiles: útiles en el sentido de que permiten expresar en esas divisiones los intervalos que aparecen en un sistema musical. De modo que el semitono es útil para expresar intervalos de la música temperada occidental (con problemas, eso sí).

Pero sistemas más sofisticados, como el turco, por ejemplo, precisan subdivisiones más pequeñas. Veamos dos especialmente brillantes por su aplicación en diversos sistemas musicales y por la adhesión que han despertado en músicos prácticos y teóricos. Nos referimos a la coma Hôlder y el Cent.

La centésima parte del semitono. Todo es similar en el cálculo, la constante vale 1731 y la medida en cents, 100 veces más que la medida en semitonos:

. Es la medida más fina que emplearemos, porque está muy cerca del umbral de la percepción tonal.

La división de la octava en un sorprendente número, 53, da lugar a un intervalo de medida que expresa con mucha precisión los intervalos de los sistemas pitagórico y natural (Zarlino) por un lado, así como el sistema turco (y el indio), por otro.

INTERVALO	Proporción	Semit. aprox	Cents.	Comas aprox.	Comas exact.
Octava	2:1	12	1200	53	53.00
Quinta	3:2	7	702	31	31.00
Cuarta	4:3	5	498	22	22.00
Tercera mayor	5:4	4	386	17	17.06
Tercera menor	6:5	3	316	14	13.94
Terc.men.estrecha	7:6	2	267	12	11.8
Tono máximo	8:7	2	231	10	10.2
Tono grande	9:8	2	204	9	9.00
Tono pequeño	10:9	2	182	8	8.06
Semitono grande	16:15	1	112	5	4.93
Semitono pequeño	256:243	1	90	4	3.98

En efecto, esos intervalos, frecuentes en los sistemas musicales citados (menos exactos y menos frecuentes los escritos en cursiva), quedan muy bien representados con esta división, y es por tanto la que emplearemos, en su valor aproximado, al medirlos.

Vuelta al Principio Última actualización: viernes, 30 de mayo de 2014 Visitantes: