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Tuesday, 09 de July de 2013 Visitantes:
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Modelos matemáticos de situaciones de nuestro mundo (incluido en Conversaciones con Felix Sierra)
A menudo hacemos uso de la matemática para reflejar mediante números situaciones o fenómenos de nuestra vida cotidiana y a menudo también el modelo resulta ser demasiado amplio en relación con lo que pretendíamos, es decir, se nos cuelan, por decirlo así, fenómenos no pretendidos, fenómenos imposibles. Podemos entonces tomar dos caminos: adaptar el modelo inicial a lo que se pretendía, excluyendo estos casos espúreos o asumirlos, lo que nos conduce a una situación más amplia y nueva.
Por ejemplo, al definir la raiz cuadrada llevamos en mente un concepto (número cuyo cuadrado es igual al radicando).
El cual al intentar aplicarlo a un número negativo se nos desdibuja. Entonces, o rechazamos radicandos negativos o los aceptamos y nos inventamos la unidad imaginaria "i" (raiz cuadrada de -1, sin solución de número real).
Supongamos que ahora consideramos las relaciones de n elementos con otros n elementos pero distintos de los anteriores: por ejemplo, los elementos 1, 2, 3, 4 con los elementos a, b, c, d, las posibilidades dependen de como consideremos esa unión entre los elementos de una pareja. En principio las posibilidades son exactamente n2, ya que cada uno de los elementos de un cuarteto se puede relacionar con cada uno de los elementos del otro.
Si ahora consideramos que el segundo cuarteto es el primero, la situación se nos complica porque de acuerdo con nuestra concepción de esa unión llegaremos a una solución u otra.
Si, por ejemplo, consideramos que la relación de estos elementos entre sí es la de "pegarse con", entonces la relación es conmutativa (podemos invertir el orden) y entonces el número queda reducido a la mitad del total una vez eliminados los elementos simétricos, ya que uno nunca se pega consigo mismo: el número es entonces (n2-n)/2.
Si ahora la relación es "pegar a" este cambio de preposición nos cambia todo, porque ahora no da lo mismo que "A pegue a B" que "B pegue a A", y además uno sí puede pegarse una torta, con lo que ahora el número es n2. Si ahora se trata de la relación "besar el codo", tenemos que restar n a n2, ya que, (casi) nadie puede besarse el codo a sí mismo.
Y así sucesivamente, depende de como modelicemos y definamos la relación entre elementos como reflejo de la relación entre entes reales.
Si ahora consideramos los intervalos entre n notas, contaremos con n2 si consideramos ascendente y descendentes incluidos los unísonos de cada una de las notas (do-do, do-re, re-do y re-re; 4=2*2).
Si no consideramos el sentido del intervalo, dividimos entre dos el número total de intervalos anteriores tras eliminar los unísonos y luego los devolvemos: es decir, el número es
((n2-n)/2)+n, es decir, (n2+n)/2.
Si ahora, además, consideramos iguales todos aquellos intervalos de tamaño igual. es decir consideramos sólo unísonos, segundas mayores, terceras etc. el problema se complica algo, ya que, por ejemplo, todos los unísonos son iguales y todas las segundas mayores son iguales, de modo que, para dos nota,{do, re}, contamos sólo con dos intervalos diferentes: unísono y segunda mayor, se puede generalizar a más notas con alguna matemática elemental adicional.
Creo que con estos cortos ejemplos queda clara la diferencia entre modelo matemático y situación real.
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