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SIMPLIFICACIÓN APROXIMADA de FRACCIONES

Aplicamos la teoría de las fracciones continuas y sus reducidas para aproximar reales o racionales grandes mediante racionales pequeños, o sea, con términos (nnumerador y denominador) pequeños. Son métodos conocidos desde Euclides, de modo que no se esperen grandes novedades.

Quizá la única sea un intento de dividir por exceso, con restos negativos por lo tanto (porque 10 entre 3 es 3 y resto 1, pero también es 4 y resto -2): por ejemplo, el desarrollo en fracción continua normal de 1.618033988749895 es:

Aproxima 1.61803398874989 Fracción: 1.61803398874989 / 1
1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 27 +1/( 4 +1/( 4 +1/( 6 +1/( 3 +1/( 23 +1/( 2 +1/( 12 +1/( 3 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 2 +1/( 2 )..)

pero también podemos tomar algunas veces el cociente por exceso:

Aproxima 1.61803398874989 Fracción: 1.61803398874989 / 1
1 +1/( 2 +1/(-2 +1/(-1 +1/(-1 +1/(-2 +1/( 3 +1/(-3 +1/( 3 +1/(-2 +1/(-2 +1/( 3 +1/(-3 +1/( 3 +1/(-2 +1/(-2 +1/( 2 +1/( 2 +1/(-3 +1/( 3 +1/(-3 +1/( 28 +1/( 5 +1/(-1 +1/(-4 +1/( 2 +1/(-1 +1/(-5 +1/( 2 +1/(-1 +1/(-1 +1/(-24 +1/( 1 +1/( 2 +1/(-2 +1/( 1 +1/( 11 +1/(-2 +1/( 2 +1/(-3 +1/( 3 +1/( 2 )..)

o bien

Aproxima 1.61803398874989 Fracción: 1.61803398874989 / 1
1 +1/( 2 +1/(-3 +1/( 2 +1/( 2 +1/(-2 +1/(-1 +1/(-2 +1/( 2 +1/( 2 +1/(-3 +1/( 2 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 2 +1/(-3 +1/( 3 +1/(-3 +1/( 3 +1/(-3 +1/( 2 +1/( 1 +1/( 2 +1/(-2 +1/( 2 +1/(-2 +1/( 1 +1/( 24 +1/(-2 +1/( 1 +1/( 3 +1/(-2 +1/( 2 +1/(-1 +1/(-1 +1/(-7 +1/( 1 +1/( 2 +1/( 24 +1/(-1 +1/(-2 +1/( 2 +1/(-2 +1/( 1 +1/( 10 +1/(-2 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 3 +1/(-2 )..)

o, Pi es también la fracción continua con algunos enteros negativos:

3.14159265358979 =+1/( 4 +1/(-2 +1/( 1 +1/( 6 +1/(-1 +1/(-15 +1/( 294 +1/(-2 +1/(-2 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 2 +1/(-1 +1/(-2 +1/(-1 +1/(-12 +1/(-2 +1/(-5 +1/( 119 +1/(-1 +1/(-3 +1/(-1 +1/(-13 +1/(-2 +1/( 5 +1/( 4 +1/( 3 +1/(-1 +1/(-12 ....

Sin embargo esos desarrollos no conducen a aproximaciones mejores. Es sólo el camino de búsqueda el que varía.

El el cuadro 1 aparecen diversas aproximaciones a número PI calculadas mediante nuestros programa Fraco4 (97) y Fraco7 (2007), y ordenadas de acuerdo con un parámetro de calidad que no es mas que el error absoluto multiplicado por el cuadrado del denominador. Este parámetro, empíricamente hallado, puede justificarse de la siguiente manera: es más complicado, más difícil, más engorroso, más incomprensible, más caro trabajar con muchas unidades de algo, números, piezas. Por lo tanto hay que valorar las aproximaciones que involucran números enteros pequeños

Se evalúan los errores también en cents (centésimo de semitono, aproximadamente 6 partes en 10000) absolutos y relativos al denominador de la fracción.

CUADRO 1. El número PI, con sus dos aproximaciones conocidas desde la antigüedad:

22/7 y 355/113

Aprox 3.14159.. Expocal= 2

‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑

fracc.aprox             error: abso rel(*den^expo) cents(abs) cent/den

‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑

355           113          2.67E‑07       0.003     0.000   0.000

22            7            1.26E‑03       0.062     0.697   0.100

3             1            1.42E‑01       0.142   ‑79.830 ‑79.830

1146408       364913       1.61E‑12       0.215     0.000   0.000

312689        99532        2.91E‑11       0.289     0.000   0.000

104348        33215        3.32E‑10       0.366     0.000   0.000

208341        66317        1.22E‑10       0.538    ‑0.000 ‑0.000

833719        265381       8.72E‑12       0.614    ‑0.000 ‑0.000

103993        33102        5.78E‑10       0.633    ‑0.000 ‑0.000

521030        165849       3.14E‑11       0.865    ‑0.000 ‑0.000

333           106          8.32E‑05       0.935    ‑0.046 ‑0.000

25            8            1.66E‑02       1.062    ‑9.167 ‑1.146

1980127       630294       2.74E‑12       1.087    ‑0.000 ‑0.000

7             2            3.58E‑01       1.434   187.005 93.503

10            3            1.92E‑01       1.726   102.549 34.183

47            15           8.26E‑03       1.858    ‑4.557 ‑0.304

688           219          4.01E‑05       1.925    ‑0.022 ‑0.000

69            22           5.23E‑03       2.531    ‑2.884 ‑0.131

Aunque si permitimos números más grandes aparecen otros cocientes (grandes) entre los anteriores:

CUADRO 1. El número PI, Más cocientes.

Resultados finales de Aprox 3.14159265358979   Expocal= 2

______________________________ ____________________________________

fracc.aprox    errores: abso      rel (*den^exp) cents(abs) abs/den

______________________________ _________________________________

355 / 113                         0.                         0.003406          0.0001    0.

789453460 / 251290841     0.                         0.013693          0.             0.

22 / 7                                 0.001264              0.06196            0.6966     0.0995

5419351 / 1725033            0.                          0.075512          0.             0.

3 / 1                                   0.141593              0.141593    -79.8296   -79.8296

144029661 / 45846065      0.                          0.182763          0.              0.

1146408 / 364913              0.                          0.214919          0.              0.

312689 / 99532                  0.                          0.288744          0.              0.

104348 / 33215                  0.                          0.365867          0.              0.

69305155 / 22060516        0.                          0.438895          0.              0.

208341 / 66317                  0.                          0.538103          0.              0.

74724506 / 23785549         0.                          0.567999          0.              0.

833719 / 265381                0.                          0.613577          0.              0.

103993 / 33102                  0.                          0.633216          0.              0.

4272943 / 1360120            0.                          0.741517          0.              0.

645423799 / 205444776     0.                          0.814555          0.              0.

521030 / 165849                0.                          0.864585          0.              0.

19 / 6                                0.025074              0.902664        13.7608      2.2935

333 / 106                           0.000083              0.935056        -0.0459      -0.0004

Por ejemplo, aproximar los intervalos naturales y sus trasposiciones a todos los tonos, es decir, temperar una escala es fácil con muchas notas separadas por pequeños intervalos: pero difícil con pocas notas separadas por pocos tipos de intervalo. Ejecutar música es fácil con pocas teclas, pero difícil con muchas. Por lo tanto valoramos el temperamento igual de doce semitonos por octava. Veamos sus aproximaciones posibles, que quedan ordenadas por Calidad diferentemente según el exponente elegido.

Semitono temperado: 2 ^(1/12)

‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑

Aprox 1.059463094359295 Frac: 1.059463094359295 / 1 Expocal= 3

‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑

fracc.aprox error: abso rel(*den^expo) cents(abs) cent/den

1 1 5.95E‑02 0.059 ‑99.986 ‑99.986

3 2 4.41E‑01 3.777 601.874 300.937

18 17 6.40E‑04 4.171 ‑1.045 ‑0.061

4 3 2.74E‑01 8.253 397.991 132.664

5 4 1.91E‑01 14.008 286.275 71.569

17 16 3.04E‑03 16.414 4.955 0.310

196 185 3.63E‑06 38.790 ‑0.006 ‑0.000

89 84 6.07E‑05 56.048 0.099 0.001

35 33 1.14E‑03 58.268 1.866 0.057

107 101 5.72E‑05 93.420 ‑0.093 ‑0.001

285 269 1.65E‑05 99.000 0.027 0.000

Aprox 1.059463094359295 Frac: 1.059463094359295 / 1 Expocal= 2

fracc.aprox error: abso rel(*den^expo) cents(abs) cent/den

1 1 5.95E‑02 0.059 ‑99.986 ‑99.986

196 185 3.63E‑06 0.124 ‑0.006 ‑0.000

18904 17843 4.12E‑10 0.131 0.000 0.000

18 17 6.40E‑04 0.185 ‑1.045 ‑0.061

140221 132351 1.17E‑11 0.205 ‑0.000 ‑0.000

720009 679598 5.71E‑13 0.264 ‑0.000 ‑0.000

3118 2943 3.85E‑08 0.333 0.000 0.000

7893 7450 7.11E‑09 0.395 ‑0.000 ‑0.000

89 84 6.07E‑05 0.428 0.099 0.001

1657 1564 1.79E‑07 0.437 ‑0.000 ‑0.000

1461 1379 2.85E‑07 0.542 0.000 0.000

107 101 5.72E‑05 0.583 ‑0.093 ‑0.001

11011 10393 5.80E‑09 0.627 0.000 0.000

579788 547247 2.12E‑12 0.634 0.000 0.000

4775 4507 3.69E‑08 0.749 ‑0.000 ‑0.000

17 16 3.04E‑03 0.777 4.955 0.310

159125 150194 3.86E‑11 0.871 0.000 0.000

71 67 2.38E‑04 1.070 0.389 0.006?

Por cierto, la aproximación 18/ 17 es usada tradicionalmente por los constructores de guitarras y bandurrias para colocar los trastes fijos en cada semitono, y es conocida como regla del 18, precisamente. Véase en trastes_de_instrumentos_de_cuerda.

Asimismo podemos aproximar la proporción dorada o número de oro.

Proporción dorada (golden ratio): (1 + √5 ) / 2

Aprox 1.618033988749895 Frac: 3.23606797749979 / 2 Expocal= 2

fracc.aprox error: abso rel(*den^expo) cents(abs) cent/den

2 1 3.82E‑01 0.382 366.860 366.860

5 3 4.86E‑02 0.438 51.261 17.087

13 8 6.97E‑03 0.446 7.436 0.930

34 21 1.01E‑03 0.447 1.084 0.052

1346269 832040 6.46E‑13 0.447 0.000 0.000

89 55 1.48E‑04 0.447 0.158 0.003

514229 317811 4.43E‑12 0.447 0.000 0.000

233 144 2.16E‑05 0.447 0.023 0.000

196418 121393 3.03E‑11 0.447 0.000 0.000

610 377 3.15E‑06 0.447 0.003 0.000

75025 46368 2.08E‑10 0.447 0.000 0.000

1597 987 4.59E‑07 0.447 0.000 0.000

17711 10946 3.73E‑09 0.447 ‑0.000 ‑0.000

2584 1597 1.75E‑07 0.447 ‑0.000 ‑0.000

46368 28657 5.45E‑10 0.447 ‑0.000 ‑0.000

987 610 1.20E‑06 0.447 ‑0.001 ‑0.000

121393 75025 7.95E‑11 0.447 ‑0.000 ‑0.000

377 233 8.24E‑06 0.447 ‑0.009 ‑0.000?

Vea aquí la teoría para aproximar varios números simultáneamente: Approximate Sonance

Y ahora, como curiosidad algunas fracciones sencillas o pequeñas que aproximan bien combinaciones de números ilustres.

Número	Valor	*fracc.aprox errores: abso x 1000 rel (den^expo) cents cent/den**
e²		197 / 13 0.416 0.070319 -0.0475 -0.0037
p . e		162 / 7 2.165 0.106061 0.1619 0.0231
ln (p)		87 / 76 0.007 0.040179 0.0105 0.0001
ln (p)		8 / 7 1.873 0.091764 -2.8342 -0.4049
e^p		474 / 13 0.621000 0.104974 -0.0295 -0.0023
√(p)		296 / 167 0.001000 0.034552 0.0012 0.
p / e		898 / 777 -0.0001941 0.1171619 -0.0002907 -0.0000004

¡ Estamos a un paso de la numerología!

Vuelta al Principio Última actualización: Thursday, 21 de February de 2013 Visitantes: width="120"