Esta página está en construcción: perdonen los errores y temas inacabados.

This page is being developed: I am sorry for errors and unfinished subjects

 

SIMPLIFICACIÓN APROXIMADA de FRACCIONES 

Aplicamos la teoría de las fracciones continuas y sus reducidas para aproximar reales o racionales grandes mediante racionales pequeños, o sea, con términos (nnumerador y denominador) pequeños. Son métodos conocidos desde Euclides, de modo que no se esperen grandes novedades.

Quizá la única sea un intento de dividir por exceso, con restos negativos por lo tanto (porque 10 entre 3 es 3 y resto 1, pero también es 4 y resto -2): por ejemplo, el desarrollo en fracción continua normal de 1.618033988749895 es:

 Aproxima 1.61803398874989 Fracción: 1.61803398874989 / 1
 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 27 +1/( 4 +1/( 4 +1/( 6 +1/( 3 +1/( 23 +1/( 2 +1/( 12 +1/( 3 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 2 +1/( 2 )..)

pero también podemos tomar algunas veces el cociente por exceso:

 Aproxima 1.61803398874989 Fracción: 1.61803398874989 / 1
 1 +1/( 2 +1/(-2 +1/(-1 +1/(-1 +1/(-2 +1/( 3 +1/(-3 +1/( 3 +1/(-2 +1/(-2 +1/( 3 +1/(-3 +1/( 3 +1/(-2 +1/(-2 +1/( 2 +1/( 2 +1/(-3 +1/( 3 +1/(-3 +1/( 28 +1/( 5 +1/(-1 +1/(-4 +1/( 2 +1/(-1 +1/(-5 +1/( 2 +1/(-1 +1/(-1 +1/(-24 +1/( 1 +1/( 2 +1/(-2 +1/( 1 +1/( 11 +1/(-2 +1/( 2 +1/(-3 +1/( 3 +1/( 2 )..)

o bien

 Aproxima 1.61803398874989 Fracción: 1.61803398874989 / 1
 1 +1/( 2 +1/(-3 +1/( 2 +1/( 2 +1/(-2 +1/(-1 +1/(-2 +1/( 2 +1/( 2 +1/(-3 +1/( 2 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 2 +1/(-3 +1/( 3 +1/(-3 +1/( 3 +1/(-3 +1/( 2 +1/( 1 +1/( 2 +1/(-2 +1/( 2 +1/(-2 +1/( 1 +1/( 24 +1/(-2 +1/( 1 +1/( 3 +1/(-2 +1/( 2 +1/(-1 +1/(-1 +1/(-7 +1/( 1 +1/( 2 +1/( 24 +1/(-1 +1/(-2 +1/( 2 +1/(-2 +1/( 1 +1/( 10 +1/(-2 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 3 +1/(-2 )..)
 

o, Pi es también la fracción continua con algunos enteros negativos:

3.14159265358979 =+1/( 4 +1/(-2 +1/( 1 +1/( 6 +1/(-1 +1/(-15 +1/( 294 +1/(-2 +1/(-2 +1/( 1 +1/( 1 +1/( 2 +1/(-1 +1/(-2 +1/(-1 +1/(-12 +1/(-2 +1/(-5 +1/( 119 +1/(-1 +1/(-3 +1/(-1 +1/(-13 +1/(-2 +1/( 5 +1/( 4 +1/( 3 +1/(-1 +1/(-12 ....

Sin embargo esos desarrollos no conducen a aproximaciones mejores. Es sólo el camino de búsqueda el que varía.

El el cuadro 1 aparecen diversas aproximaciones a número PI calculadas mediante nuestros programa Fraco4 (97) y Fraco7 (2007), y ordenadas de acuerdo con un parámetro de calidad que no es mas que el error absoluto multiplicado por el cuadrado del denominador. Este parámetro, empíricamente hallado, puede justificarse de la siguiente manera: es más complicado, más difícil, más engorroso, más incomprensible, más caro trabajar con muchas unidades de algo, números, piezas. Por lo tanto hay que valorar las aproximaciones que involucran números enteros pequeños

Se evalúan los errores también en cents (centésimo de semitono, aproximadamente 6 partes en 10000) absolutos y relativos al denominador de la fracción.

 
CUADRO 1. El número PI, con sus dos aproximaciones conocidas desde la antigüedad:
 22/7 y 355/113
Aprox 3.14159..  Expocal= 2
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
fracc.aprox             error: abso rel(*den^expo) cents(abs) cent/den
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
 355           113          2.67E‑07       0.003     0.000   0.000
 22            7            1.26E‑03       0.062     0.697   0.100
 3             1            1.42E‑01       0.142   ‑79.830 ‑79.830
 1146408       364913       1.61E‑12       0.215     0.000   0.000
 312689        99532        2.91E‑11       0.289     0.000   0.000
 104348        33215        3.32E‑10       0.366     0.000   0.000
 208341        66317        1.22E‑10       0.538    ‑0.000  ‑0.000
 833719        265381       8.72E‑12       0.614    ‑0.000  ‑0.000
 103993        33102        5.78E‑10       0.633    ‑0.000  ‑0.000
 521030        165849       3.14E‑11       0.865    ‑0.000  ‑0.000
 333           106          8.32E‑05       0.935    ‑0.046  ‑0.000
 25            8            1.66E‑02       1.062    ‑9.167  ‑1.146
 1980127       630294       2.74E‑12       1.087    ‑0.000  ‑0.000
 7             2            3.58E‑01       1.434   187.005  93.503
 10            3            1.92E‑01       1.726   102.549  34.183
 47            15           8.26E‑03       1.858    ‑4.557  ‑0.304
 688           219          4.01E‑05       1.925    ‑0.022  ‑0.000
 69            22           5.23E‑03       2.531    ‑2.884  ‑0.131

Aunque si permitimos números más grandes aparecen otros cocientes (grandes) entre los anteriores:

 
CUADRO 1. El número PI,  Más cocientes.
Resultados finales de Aprox 3.14159265358979   Expocal= 2
______________________________ ____________________________________
fracc.aprox    errores:  abso      rel (*den^exp) cents(abs) abs/den
______________________________ _________________________________
 355 / 113                           0.                         0.003406          0.0001     0.
 789453460 / 251290841     0.                         0.013693          0.             0.
 22 / 7                                 0.001264              0.06196            0.6966     0.0995
 5419351 / 1725033            0.                          0.075512          0.             0.
 3 / 1                                   0.141593              0.141593      -79.8296   -79.8296
 144029661 / 45846065      0.                          0.182763          0.              0.
 1146408 / 364913              0.                          0.214919          0.              0.
 312689 / 99532                  0.                          0.288744          0.              0.
 104348 / 33215                  0.                          0.365867          0.              0.
 69305155 / 22060516        0.                          0.438895          0.              0.
 208341 / 66317                  0.                          0.538103          0.              0.
 74724506 / 23785549         0.                          0.567999          0.              0.
 833719 / 265381                0.                          0.613577          0.              0.
 103993 / 33102                  0.                          0.633216          0.              0.
 4272943 / 1360120            0.                          0.741517          0.              0.
 645423799 / 205444776     0.                          0.814555          0.              0.
 521030 / 165849                0.                          0.864585          0.              0.
 19 / 6                                 0.025074              0.902664        13.7608      2.2935
 333 / 106                           0.000083              0.935056        -0.0459      -0.0004
                  

Por ejemplo, aproximar los intervalos naturales y sus trasposiciones a todos los tonos, es decir, temperar una escala es fácil con muchas notas separadas por pequeños intervalos: pero difícil con pocas notas separadas por pocos tipos de intervalo. Ejecutar música es fácil con pocas teclas, pero difícil con muchas. Por lo tanto valoramos el temperamento igual de doce semitonos por octava. Veamos sus aproximaciones posibles, que quedan ordenadas por Calidad diferentemente según el exponente elegido.

Semitono temperado: 2 ^(1/12)
 ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
 Aprox 1.059463094359295  Frac:  1.059463094359295 / 1  Expocal= 3
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
fracc.aprox             error: abso rel(*den^expo) cents(abs) cent/den
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
 1             1            5.95E‑02       0.059   ‑99.986 ‑99.986
 3             2            4.41E‑01       3.777   601.874 300.937
 18            17           6.40E‑04       4.171    ‑1.045  ‑0.061
 4             3            2.74E‑01       8.253   397.991 132.664
 5             4            1.91E‑01      14.008   286.275  71.569
 17            16           3.04E‑03      16.414     4.955   0.310
 196           185          3.63E‑06      38.790    ‑0.006  ‑0.000
 89            84           6.07E‑05      56.048     0.099   0.001
 35            33           1.14E‑03      58.268     1.866   0.057
 107           101          5.72E‑05      93.420    ‑0.093  ‑0.001
 285           269          1.65E‑05      99.000     0.027   0.000
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
 Aprox 1.059463094359295  Frac:  1.059463094359295 / 1  Expocal= 2
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
fracc.aprox           error: abso   rel(*den^expo) cents(abs) cent/den
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
 1             1            5.95E‑02       0.059   ‑99.986 ‑99.986
 196           185          3.63E‑06       0.124    ‑0.006  ‑0.000
 18904         17843        4.12E‑10       0.131     0.000   0.000
 18            17           6.40E‑04       0.185    ‑1.045  ‑0.061
 140221        132351       1.17E‑11       0.205    ‑0.000  ‑0.000
 720009        679598       5.71E‑13       0.264    ‑0.000  ‑0.000
 3118          2943         3.85E‑08       0.333     0.000   0.000
 7893          7450         7.11E‑09       0.395    ‑0.000  ‑0.000
 89            84           6.07E‑05       0.428     0.099   0.001
 1657          1564         1.79E‑07       0.437    ‑0.000  ‑0.000
 1461          1379         2.85E‑07       0.542     0.000   0.000
 107           101          5.72E‑05       0.583    ‑0.093  ‑0.001
 11011         10393        5.80E‑09       0.627     0.000   0.000
 579788        547247       2.12E‑12       0.634     0.000   0.000
 4775          4507         3.69E‑08       0.749    ‑0.000  ‑0.000
 17            16           3.04E‑03       0.777     4.955   0.310
 159125        150194       3.86E‑11       0.871     0.000   0.000
 71            67           2.38E‑04       1.070     0.389   0.006?
 
Por cierto, la aproximación 18/ 17 es usada tradicionalmente por los constructores de guitarras y bandurrias para colocar los trastes fijos en cada semitono, y es conocida como regla del 18, precisamente. Véase en trastes_de_instrumentos_de_cuerda.
 
Asimismo podemos aproximar la proporción dorada o número de oro. 
 
Proporción dorada (golden ratio): (1 + 5 ) / 2
 
 Aprox 1.618033988749895  Frac:  3.23606797749979 / 2  Expocal= 2
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
fracc.aprox             error: abso rel(*den^expo) cents(abs) cent/den
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
 2             1            3.82E‑01       0.382   366.860 366.860
 5             3            4.86E‑02       0.438    51.261  17.087
 13            8            6.97E‑03       0.446     7.436   0.930
 34            21           1.01E‑03       0.447     1.084   0.052
 1346269       832040       6.46E‑13       0.447     0.000   0.000
 89            55           1.48E‑04       0.447     0.158   0.003
 514229        317811       4.43E‑12       0.447     0.000   0.000
 233           144          2.16E‑05       0.447     0.023   0.000
 196418        121393       3.03E‑11       0.447     0.000   0.000
 610           377          3.15E‑06       0.447     0.003   0.000
 75025         46368        2.08E‑10       0.447     0.000   0.000
 1597          987          4.59E‑07       0.447     0.000   0.000
 17711         10946        3.73E‑09       0.447    ‑0.000  ‑0.000
 2584          1597         1.75E‑07       0.447    ‑0.000  ‑0.000
 46368         28657        5.45E‑10       0.447    ‑0.000  ‑0.000
 987           610          1.20E‑06       0.447    ‑0.001  ‑0.000
 121393        75025        7.95E‑11       0.447    ‑0.000  ‑0.000
 377           233          8.24E‑06       0.447    ‑0.009  ‑0.000?
 
Vea aquí la teoría para aproximar varios números simultáneamente: Approximate Sonance
 
Y ahora, como curiosidad algunas fracciones sencillas o pequeñas que aproximan bien combinaciones de números ilustres.
 
Número Valor fracc.aprox   errores:  abso x 1000    rel (*den^expo)    cents         cent/den

e2

 

197 / 13                         0.416                0.070319          -0.0475       -0.0037

p . e

 

 162 / 7                          2.165                0.106061           0.1619        0.0231

ln (p)  

 87 / 76                          0.007                0.040179           0.0105        0.0001

ln (p)    8 / 7                              1.873                0.091764          -2.8342       -0.4049

ep

  474 / 13                         0.621000          0.104974          -0.0295       -0.0023
√(p)   296 / 167                       0.001000          0.034552           0.0012         0.
p / e  

898 / 777                     -0.0001941         0.1171619        -0.0002907  -0.0000004

¡ Estamos a un paso de la numerología!

 
 

Vuelta al Principio    Última actualización: Thursday, 21 de February de 2013   Visitantes: contador de visitas width="120"