Bases de Numeración
La base habitual es 10, porque expresamos los números en forma de una suma de unidades, decenas, centenas, y así hasta que igualamos su valor. Por ejemplo 1345 quiere decir 5 unidades y 4 decenas y 3 centenas y 1 millar.
1245 = 5 .100 + 4 . 101 + 3 . 102 + 1 . 103
Esto lo sabe todo el mundo. Pero olvidamos a veces que sólo disponemos de 10 cifras diferentes; las cifras son números sencillos, lo que llamamos unidades. Son 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Son las únicas empleadas en las unidades en base 10.
Pero también pueden utilizarse otras bases. Ya se sabe que los ordenadores utilizan la base 2. De modo que sólo hay 2 cifras en esta base, que llamamos 0 y 1, sólo hay aquí dos unidades.. Todo número mayor que 1 ha de usar las potencias de la base 2, como se hacía en la decimal, que ahora llamaremos pares, cuartetos, octetos, etc.
Así el número binario 101 representa
101 = 1 .20 + 0 . 21 + 1 . 22
que es como decir que 5 es igual a 1 más 4.
O sea que en caso de duda todo número ha de acompañarse de la base en que se expresa porque si no, no conoceremos su valor. Por ejemplo 10 vale 10 es base 10, pero vale 2 en base 2. Cuidado.
Ya podemos emplear números en diferentes bases, e incluso establecer igualdades y ecuaciones:
10 [10] = 110 [2]
(Entendemos que las bases entre paréntesis cuadrados están expresadas en base 10, porque si no, no acabaríamos nunca).
Nótese que un número vale lo que vale, siempre lo mismo, su cantidad, sólo que varía su aspecto (sus cifras) según la base empleada. Expresa una cantidad, como la edad de alguien que no dependen de cómo se expresa. De igual modo el número de huevos en una cesta no depende de si se cuenta por docenas o en el sistema decimal (12 docenas son 144 huevos).
Encontramos aquí otra base, con tradición, la base 12, que tiene 12 unidades: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B. Estas A y B son dos nuevas cifras, que valen 10 y 11, pero se expresan como A y B, en esta base, porque 10, en esta base 12, vale 12, 11 vale 13 y así sucesivamente, hasta 20 (que vale 24). etc.
Ya se ve que puede utilizarse cualquier base entera positiva, desde 2 hasta cualquier otro entero por grande que sea. El problema de las bases grandes es que necesitan muchas cifras, muchos signos diferentes, lo que dificulta el manejo y operaciones con esos números. Por eso, probablemente surgieron.
Una manera práctica de manejar esas cifras en atribuirle signos continuando la serie numérica 1,2,3,, en el código ASCII, el usado en los ordenadores; pero sólo admite 256 signos diferentes. Otro es escribir en base 10 estas cifras de otra base. Para ello hemos desarrollado (para nuestros enegramas) una escritura que llamamos matricial: consiste simplemente en escribir las cifras decimales en forma vertical, unidades abajo, de modo que ocupan el mismo espacio horizontal en ambas escrituras.
Por ejemplo, en base los primeros 50 cocientes de dividir 1 entre 137 en base 140 son:
COCIENTES: .248GWwëâx,íæ؉PiœvéÞ,•hšrá›tåÖ…,HY{óòðìäÔ,9I[€7ESoÛ,
10^2 111 ,111 1 11, 11 11 , 111111 , 1 ,
10^1 1362206,3218250621,9495106207,1363333207, 137 12518,3
10^0 2486249025,1402501376,4999901388,7487640264,9863748638,7
donde vemos que a 2 [140] le corresponde 2 [10], pero que a ë[140] le corresponde 129[10]
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Thursday, 21 de February de 2013
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