¿Que es un polígono?   (perteneciente a Decoración Geométrica Islámica)

 

Ante las dificultades para encontrar los polígonos elementales de la partición del plano mediante rectas en general secantes, siguiento nuestra particular y quizá inadecuada técnica de investigación que consiste en sentarse y meditar sobre los polígonos que conocemos.

 

El ojo medianamente educado, o incluso el ineducado reconoce instantáneamente los polígonos en la figura: puede apuntar a cada uno y puede numerarlos. Pero el ordenador o, una vez que se aplican criterios variados, basados en propiedades geométricas que formalizamos matemática-geométrica-informativamente no funcionan siempre y fracasan en la tarea de encontrar todos esos polígonos. Vamos a generar un neologismo para el triple adverbio anterior, par no repetirlo: mageinmente.

 

Nuestra primera definición sería:

 

 un polígono es una figura en el plano, que consiste en la porción de superficie de ese plano limitada o creada por varios segmentos, todos unidos a otros dos por sus extremos.

 

 Unidos todos lo que requiere que un primero cualquiera se una también con el último. Es lo que llamamos contorno cerrado, que delimita dos áreas o superficies en el plano sin puntos comunes.

 

En la figura se han teñido  algunos polígonos, 4 amarillos, uno azul y quedan entre ellos varios blancos. El grande  blanco de seis lados, hexágono, queda algo abierto por arriba (aunque el ojo lo reconoce (supliendo el trazo interrumpido por uno continuo, según atestigua la psicología).

 

Pero, qué ve el ojo que lo reconoce enseguida?. Cómo lo reconoce?. A qué atiende el ojo para reconocer?. Esa es nuestra pequeña (¿o no?) investigación.

 

Nos parece que el ojo percibe conjuntamente, o casi, el espacio libre central y sus límites. Como si fuera una primitiva que dices los psicólogos, o sea, una percepcion directa en la anatomía-fisiología-proceso. De hecho cada uno ambos elementos precisa del otro para ser.

 

Un primer acercamiento in

 

Como contamos con todos cruces, con todos los contiguos a un cruce o vértice, con todas las aristas y sus ectremos (sus dos cruces), podemos ensayar el siguiente algoritmo magein:

1. Cojo un cruce, el primero

2. veo sus contiguos.

3. Elojo uno de ello, el primer elegido, cruce1, C1.

3. Ya tenemos el primer lado, L1.

5. Veo los contiguos del elegido´, C1, C1.

PR

6. Descarto el primer cruce y el que forme un ángulo de 180º con el primer lado, L1.

7. Elijo uno de los demás al azar o con un criterio concreto CRE): es el segundo elegido, C2. Tenemos L2.

8. Si es al azar, deduzco el criterio implicito, CRE.

8. Calculo el CCFP --centro cambiante del futuro polígono--, como promedio de los cruces actuales, que son 3.

 

9. Elijo uno de los demás con el criterio inicial, CRE, ahora obligatorio.

11. Sea CRE: elegir el cruce más cercano al CCFP

12. Aplicamos CRE, obtenemos un tercer elegido, C3, y por tanto lado tercero, L3.

 

13. Veo los contiguos del C3.

14. Como 3 lados pueden ya conformar un polígono, un triángulo, vemos si entre aquellos está C1.

15, Si no está, continúo el proceso PR, pero tomando ahora C3 el papel de C1:

16. Si sí, está el triangulo está cerrado. y hemos acabado la obtención del primer polígono.

 

17. Podemos ahora calcular otro.

 

El centro cambiante podemos actualizarlo con cada nuevo cruce o vertice:

 

punto_medio=(punto_medio*numero_puntos+punto_nuevo )*(numero_puntos+1)

Aplicado el método anterior funcionó esplendedamente. Problema resuelto.

 

La atracción al centro cambiante opera como una goma que tira del cruce sigueinte para que vuelva. Y por otro camino, ya que se le niega volver al punto anterior, al previo, y se le prohíben que se alinee con ellos dos.

 

Posteriormente probamos y adoptamos que la atracción opere desde un punto intermedio entre el centro cambiante y el punto inicial o primero.

 

 

 

 

Los primeros resultados casi correctos son:

 

Poligonillos por aristas . Calcula_un_poligonillo_por_distancia_a_centro_cambiante
numero ||  cruces...	|numero ||  cruces...	numero ||  cruces...
1 || 3 | 4 | 29 | 3 | 2 || 4 | 2 | 26 | 4 | 3 || 8 | 7 | 28 | 6 | 7 | * 8 | 4 || 7 | 6 | 28 | 7 | 5 || 6 | 9 | 31 | 6 | 6 || 9 | 5 | 25 | 9 | 7 || 15 | 12 | 33 | 15 | 8 || 12 | 14 | 32 | 12 | 9 || 14 | 16 | 18 | 32 | 14 | 10 || 16 | 13 | 35 | 16 | 11 || 13 | 11 | 30 | 35 | 13 | 12 || 11 | 10 | 34 | 17 | 11 | 13 || 22 | 21 | 32 | 12 | 15 | 22 | 14 || 21 | 18 | 32 | 21 | 15 || 18 | 20 | 13 | 16 | 18 | 16 || 20 | 17 | 11 | 13 | 20 | 17 || 17 | 19 | 34 | 17 | 18 || 23 | 10 | 34 | 23 | 19 || 10 | 24 | 30 | 11 | 10 | 20 || 24 | 5 | 27 | 30 | 24 | 21 || 5 | 25 | 9 | 5 | 22 || 25 | 2 | 28 | 6 | 9 | 25 |	23 || 2 | 26 | 4 | 2 | 24 || 26 | 1 | 3 | 4 | 26 | 25 || 29 | 28 | 2 | 4 | 29 | 26 || 28 | 6 | 7 | 28 | 27 || 6 | 31 | 9 | 6 | 28 || 31 | 27 | 5 | 9 | 31 | 29 || 27 | 30 | 35 | 27 | 30 || 30 | 11 | 13 | 35 | 30 | 31 || 11 | 17 | 34 | 10 | 11 | 32 || 33 | 12 | 15 | 33 | 33 || 12 | 32 | 14 | 12 | 34 || 32 | 18 | 21 | 32 | 35 || 19 | 34 | 17 | 19 | 36 || 34 | 10 | 23 | 34 | 37 || 20 | 13 | 16 | 35 | 13 | * 20 | 38 || 13 | 35 | 16 | 13 | 39 || 35 | 27 | 30 | 35 | 40 || 27 | 5 | 24 | 30 | 27 | 41 || 21 | 32 | 18 | 21 | 42 || 32 | 14 | 12 | 32 | 43 || 14 | 36 | 33 | 12 | 14 | 44 || 36 | 7 | 6 | 31 | 36 |	45 || 7 | 28 | 6 | 7 | 46 || 28 | 2 | 4 | 29 | 28 | 47 || 22 | 15 | 12 | 32 | 21 | 22 | 48 || 15 | 33 | 12 | 15 | 49 || 33 | 8 | 7 | 36 | 33 | 50 || 8 | 29 | 28 | 7 | 8 | 51 || 29 | 3 | 4 | 29 | 52 || 3 | 1 | 26 | 4 | 3 | 53 || 23 | 34 | 10 | 23 | 54 || 34 | 17 | 19 | 34 | 55 || 24 | 30 | 27 | 35 | 30 | * 24 | 56 || 30 | 35 | 27 | 30 | 57 || 35 | 16 | 13 | 35 | 58 || 16 | 18 | 20 | 13 | 16 | 59 || 33 | 36 | 14 | 12 | 33 | 60 || 36 | 31 | 6 | 7 | 36 | 61 || 31 | 9 | 6 | 31 | 62 || 9 | 25 | 5 | 9 | 63 || 29 | 4 | 3 | 29 | 64 || 4 | 26 | 2 | 4 |

 

Los errores son pocos, 3 en 64, menos del 5%. Pero en matemáticas no podemos admitir ese error. El error es inevitable, porque en los tres casos, un cruce externo estaba más cerca del par (centro_cambiante - cruce primero) que el geométricamente correcto. Y después se viola la condición de no alineación de tres cruces sucesivos, marcado con un asterisco (*) por el programa.

véase la figura que ilustra el error P55.

 

Ahora bien, observamos que partiendo de otra arista, una que incluya el cruce 'alejado', encontramos el poligono correct0. Y observamos también que este correcto es más corto. Se trata entonces de rechazar el polígono erróneo y esperar (y comprobar) que aparece en su versión correcta. No resolvemos las debilidades del algoritmo, pero si resolvemos indirectamente el problema principal: el de encontrar los polígonos en nuestro EGR.

 

¿Cómo resolver pues que dos presuntos polígonos son en realidad el mismo? Desde luego los son si:

 

1. Contienen los mismos vértices en un sentido o en otro, y partiendo de cualquiera de ellos en los dos casos.

En principio bastará elegir un cruce común y comprobar si coinciden en un sentido o en otro. O sea, elegimos el más corto, o cualquiera, si son de igual longitud) y comprobamos la igualdad de todos los cruces en igual orden (suprimiendo el o los diferentes (pudiera haber más de un garbeo.

 

Por ejemplo, para equiparar 43 y 59 (localizados en la figura), se precisa invertir el orden de los cruces ye igualar el cruce de comienzo

 

43 || 5 | 14 | 36 | 33 | 12 | 14 |

59 || 5 | 33 | 36 | 14 | 12 | 33 |

 

2. Uno de ellos contiene un vértice más: ello es imposible salvo que el largo se dé un garbeo fuera de su perímetro correcto (el del corto) aunque luego vuelva al redil.

 

 

a.

 

Esw

Necesitamos un criterio adicional, sin dejar de aplicar el actual porque funciona muy bien con los demás polígonos e incluso con los de este salvo el citado erróneo.

 

Si imponemos la no alineación citada, encontramos tres errores: un bucle sin fin en los P3, P55

 

3 || 8 | 7 | 28 | 6 | 7 | 28 | 6 | 7 | 28 | 6 | 7 | 28 | 6 | 7 | 28 | 6 | 7 | 28 | 6 | 7 | 28 |

37 || 20 | 13 | 16 | 35 | 13 | 16 | 35 | 13 | 16 | 35 | 13 | 16 | 35 | 13 | 16 | 35 | 13 | 16 | 35 | 13 | 16 |

55 || 24 | 30 | 27 | 35 | 30 | 27 | 35 | 30 | 27 | 35 | 30 | 27 | 35 | 30 | 27 | 35 | 30 | 27 | 35 | 30 | 27 |

 

Si prohibimos ese bucle, rporhibiendo la coincidencia de un candidato con los tres anteriores, encontramos:

 

Además Tenemos que 'sembrar' el centro cambiante para decidir la elección inicial a un lado y otro de la arista. Levantamos la mitad de la distancia entre cruces iniciales.

 

geométricamente idénticos. por ejemplo, P14 y P41 son el mismo polígono geométrico, pero contamos los cruces sucesivos en rotación inversa. Hay que rotar uno de ellos para que coincidan. Lo mismo les ocurren a P5-P27.

 

Se arreglan algunas polígonos pero se estropean otros:

 

22 || 25 | 2 | 28 | * 7 | 6 | * 9 | 25 |

53 || 23 | 34 | 19 | 17 | 34 | * 23 |

55 || 24 | 30 | * 35 | 13 | 16 | 35 | * 30 | * 24 |

56 || 30 | 35 | * 16 | 13 | 35 | 30 |

57 || 35 | 16 | * 18 | 21 | 32 | 18 | 16 | * 35 |

 

 

Volvamos al problema básico, la 'preferencia de cruce exterior (por estar más cerca). Volvemos al algoritmo incial

 

Un caso se ve en la figura contigua, que corresponde a la secuencia:  

 

 55 || 24 | 30 | 27 | 35 | 30 | * 24 |

 

Todo va bien hasta que desde 27, correcto, elegimos 35 (abajo) sobre el correcto 5 ¿Por qué? Pues porque está más cerca del centro cambiante y del primero, 24.

Si eliminamos o reducimos inesa influencia, por ejmplo, a la mitad de la del centro_cambiante, nos sale la 55 también erronea:

55 || 24 | 30 | 27 | 35 | 30 | * 24 |

pero la

20 || 24 | 5 | 27 | 30 | 24 |

sale correcta, porque incluye el cruce 5 en la arista de partida.

:

 

asd

 

 

 

Nos interesa ahora recordar los ángulos en los polígonos, interiuiores y exteriores.

Lo hacemos en Poligonos. Angulos.htm