particular
y quizá inadecuada técnica de investigación que consiste en sentarse y
meditar sobre los polígonos que conocemos.
El ojo medianamente educado, o incluso
el ineducado reconoce instantáneamente los polígonos en la figura: puede
apuntar a cada uno y puede numerarlos. Pero el ordenador o, una vez que
se aplican criterios variados, basados en propiedades geométricas que
formalizamos matemática-geométrica-informativamente no funcionan siempre
y fracasan en la tarea de encontrar todos esos polígonos. Vamos a
generar un neologismo para el triple adverbio anterior, par no
repetirlo: mageinmente.
Nuestra primera definición sería:
un polígono es una figura en el plano, que consiste en la porción de
superficie de ese plano limitada o creada por varios segmentos, todos
unidos a otros dos por sus extremos.
Unidos todos lo que requiere que
un primero cualquiera se una también con el último. Es lo que llamamos
contorno cerrado, que delimita dos áreas o superficies en el plano sin
puntos comunes.
En la figura se han teñido
algunos polígonos, 4 amarillos, uno azul y quedan entre ellos varios
blancos. El grande blanco de seis lados, hexágono, queda algo
abierto por arriba (aunque el ojo lo reconoce (supliendo el trazo
interrumpido por uno continuo, según atestigua la psicología).
Pero, qué ve el ojo que lo
reconoce enseguida?. Cómo lo reconoce?. A qué atiende el ojo para
reconocer?. Esa es nuestra pequeña (¿o no?) investigación.
Nos parece que el ojo percibe
conjuntamente, o casi, el espacio libre central y sus límites.
Como si fuera una primitiva que dices los
psicólogos, o sea, una percepcion directa en la anatomía-fisiología-proceso.
De hecho cada uno ambos elementos precisa del otro para ser.
Un primer acercamiento in
Como contamos con todos cruces,
con todos los contiguos a un cruce o vértice, con todas las aristas y sus
ectremos (sus dos cruces), podemos ensayar el siguiente algoritmo
magein:
1. Cojo un cruce, el primero 2. veo sus contiguos. 3. Elojo uno de ello, el primer elegido, cruce1, C1. 3. Ya tenemos el primer lado, L1. 5. Veo los contiguos del elegido´, C1, C1. PR 6. Descarto el primer cruce y el que forme un ángulo de 180º con el primer lado, L1. 7. Elijo uno de los demás al azar o con un criterio concreto CRE): es el segundo elegido, C2. Tenemos L2. 8. Si es al azar, deduzco el criterio implicito, CRE. 8. Calculo el CCFP --centro cambiante del futuro polígono--, como promedio de los cruces actuales, que son 3. 9. Elijo uno de los demás con el criterio inicial, CRE, ahora obligatorio. 11. Sea CRE: elegir el cruce más cercano al CCFP 12. Aplicamos CRE, obtenemos un tercer elegido, C3, y por tanto lado tercero, L3. 13. Veo los contiguos del C3. 14. Como 3 lados pueden ya conformar un polígono, un triángulo, vemos si entre aquellos está C1. 15, Si no está, continúo el proceso PR, pero tomando ahora C3 el papel de C1: 16. Si sí, está el triangulo está cerrado. y hemos acabado la obtención del primer polígono. 17. Podemos ahora calcular otro. El centro cambiante podemos actualizarlo con cada nuevo cruce o vertice: punto_medio=(punto_medio*numero_puntos+punto_nuevo )*(numero_puntos+1)Aplicado el método anterior funcionó esplendedamente. Problema resuelto. La atracción al centro cambiante opera como una goma que tira del cruce sigueinte para que vuelva. Y por otro camino, ya que se le niega volver al punto anterior, al previo, y se le prohíben que se alinee con ellos dos. Posteriormente probamos y adoptamos que la atracción opere desde un punto intermedio entre el centro cambiante y el punto inicial o primero.
Los primeros resultados casi correctos
son:
| Poligonillos por aristas . Calcula_un_poligonillo_por_distancia_a_centro_cambiante | ||
| numero || cruces... | |numero || cruces... | numero || cruces... |
| 1 || 3 | 4 | 29 | 3 | 2 || 4 | 2 | 26 | 4 | 3 || 8 | 7 | 28 | 6 | 7 | * 8 | 4 || 7 | 6 | 28 | 7 | 5 || 6 | 9 | 31 | 6 | 6 || 9 | 5 | 25 | 9 | 7 || 15 | 12 | 33 | 15 | 8 || 12 | 14 | 32 | 12 | 9 || 14 | 16 | 18 | 32 | 14 | 10 || 16 | 13 | 35 | 16 | 11 || 13 | 11 | 30 | 35 | 13 | 12 || 11 | 10 | 34 | 17 | 11 | 13 || 22 | 21 | 32 | 12 | 15 | 22 | 14 || 21 | 18 | 32 | 21 | 15 || 18 | 20 | 13 | 16 | 18 | 16 || 20 | 17 | 11 | 13 | 20 | 17 || 17 | 19 | 34 | 17 | 18 || 23 | 10 | 34 | 23 | 19 || 10 | 24 | 30 | 11 | 10 | 20 || 24 | 5 | 27 | 30 | 24 | 21 || 5 | 25 | 9 | 5 | 22 || 25 | 2 | 28 | 6 | 9 | 25 | | 23 || 2 | 26 | 4 | 2 | 24 || 26 | 1 | 3 | 4 | 26 | 25 || 29 | 28 | 2 | 4 | 29 | 26 || 28 | 6 | 7 | 28 | 27 || 6 | 31 | 9 | 6 | 28 || 31 | 27 | 5 | 9 | 31 | 29 || 27 | 30 | 35 | 27 | 30 || 30 | 11 | 13 | 35 | 30 | 31 || 11 | 17 | 34 | 10 | 11 | 32 || 33 | 12 | 15 | 33 | 33 || 12 | 32 | 14 | 12 | 34 || 32 | 18 | 21 | 32 | 35 || 19 | 34 | 17 | 19 | 36 || 34 | 10 | 23 | 34 | 37 || 20 | 13 | 16 | 35 | 13 | * 20 | 38 || 13 | 35 | 16 | 13 | 39 || 35 | 27 | 30 | 35 | 40 || 27 | 5 | 24 | 30 | 27 | 41 || 21 | 32 | 18 | 21 | 42 || 32 | 14 | 12 | 32 | 43 || 14 | 36 | 33 | 12 | 14 | 44 || 36 | 7 | 6 | 31 | 36 | | 45 || 7 | 28 | 6 | 7 | 46 || 28 | 2 | 4 | 29 | 28 | 47 || 22 | 15 | 12 | 32 | 21 | 22 | 48 || 15 | 33 | 12 | 15 | 49 || 33 | 8 | 7 | 36 | 33 | 50 || 8 | 29 | 28 | 7 | 8 | 51 || 29 | 3 | 4 | 29 | 52 || 3 | 1 | 26 | 4 | 3 | 53 || 23 | 34 | 10 | 23 | 54 || 34 | 17 | 19 | 34 | 55 || 24 | 30 | 27 | 35 | 30 | * 24 | 56 || 30 | 35 | 27 | 30 | 57 || 35 | 16 | 13 | 35 | 58 || 16 | 18 | 20 | 13 | 16 | 59 || 33 | 36 | 14 | 12 | 33 | 60 || 36 | 31 | 6 | 7 | 36 | 61 || 31 | 9 | 6 | 31 | 62 || 9 | 25 | 5 | 9 | 63 || 29 | 4 | 3 | 29 | 64 || 4 | 26 | 2 | 4 | |
véase la figura que ilustra el error
P55.
Ahora bien, observamos que partiendo de
otra arista, una que incluya el cruce 'alejado', encontramos el poligono
correct0. Y observamos también que este correcto es más corto. Se trata
entonces de rechazar el polígono erróneo y esperar (y comprobar) que
aparece en su versión correcta. No resolvemos las debilidades del
algoritmo, pero si resolvemos indirectamente el problema principal: el
de encontrar los polígonos en nuestro EGR.
¿Cómo resolver pues que dos presuntos
polígonos son en realidad el mismo? Desde luego los son si:
1. Contienen los mismos vértices en un
sentido o en otro, y partiendo de cualquiera de ellos en los dos casos.
En principio bastará elegir un cruce
común y comprobar si coinciden en un sentido o en otro. O sea, elegimos
el más corto, o cualquiera, si son de igual longitud) y comprobamos la
igualdad de todos los cruces en igual orden (suprimiendo el o los
diferentes (pudiera haber más de un garbeo.
Por ejemplo, para equiparar 43 y 59
(localizados en la figura), se precisa invertir el orden de los cruces
ye igualar el cruce de comienzo
43 || 5 | 14 | 36 | 33 | 12 | 14 |
59 || 5 | 33 | 36 | 14 | 12 | 33 |
2. Uno de ellos contiene un vértice
más: ello es imposible salvo que el largo se dé un garbeo fuera de su
perímetro correcto (el del corto) aunque luego vuelva al redil.
a.
Esw
Necesitamos un criterio adicional, sin
dejar de aplicar el actual porque funciona muy bien con los demás
polígonos e incluso con los de este salvo el citado erróneo.
Si imponemos la no alineación citada,
encontramos tres errores: un bucle sin fin en los P3, P55
3 || 8 | 7 | 28 | 6 | 7 |
28 | 6 | 7 | 28 | 6 | 7 |
28 | 6 | 7 | 28 | 6 | 7 | 28 | 6 | 7 | 28 |
37 || 20 | 13 | 16 | 35 | 13 | 16 | 35 | 13 | 16 | 35 | 13 | 16 | 35 |
13 | 16 | 35 | 13 | 16 | 35 | 13 | 16 |
55 || 24 | 30 | 27 | 35 | 30 | 27 | 35 | 30 | 27 | 35 | 30 | 27 | 35 |
30 | 27 | 35 | 30 | 27 | 35 | 30 | 27 |
Si prohibimos ese bucle, rporhibiendo la coincidencia de un candidato
con los tres anteriores, encontramos:
Además Tenemos que 'sembrar' el centro
cambiante para decidir la elección inicial a un lado y otro de la
arista. Levantamos la mitad de la distancia entre cruces iniciales.
geométricamente idénticos. por ejemplo,
P14 y P41 son el mismo polígono geométrico, pero contamos los cruces
sucesivos en rotación inversa. Hay que rotar uno de ellos para que
coincidan. Lo mismo les ocurren a P5-P27.
Se arreglan algunas polígonos pero se
estropean otros:
22 || 25 | 2 | 28 | * 7 | 6 | * 9 | 25 |
53 || 23 | 34 | 19 | 17 | 34 | * 23 |
55 || 24 | 30 | * 35 | 13 | 16 | 35 | * 30 | * 24 |
56 || 30 | 35 | * 16 | 13 | 35 | 30 |
57 || 35 | 16 | * 18 | 21 | 32 | 18 | 16 | * 35 |
Volvamos al problema básico, la
'preferencia de cruce exterior (por estar más cerca). Volvemos al
algoritmo incial
Un caso se ve en la figura contigua,
que corresponde a la secuencia:
55 || 24 | 30 |
27 | 35 | 30 | * 24 |
Todo va bien hasta que desde 27,
correcto, elegimos 35 (abajo) sobre el correcto 5 ¿Por qué? Pues porque
está más cerca del centro cambiante y del primero, 24.
Si eliminamos o reducimos inesa
influencia, por ejmplo, a la mitad de la del centro_cambiante, nos sale
la 55 también erronea:
55 || 24 | 30 | 27 | 35 | 30 | * 24 |
pero la
20 || 24 | 5 | 27 | 30 | 24 |
sale correcta, porque incluye el cruce 5 en la arista de partida. : asd
| Cruces para cada recta YA ALMACENADOS y ORDENADOS | |
| recta || cruce / distancia a extremo | ... | |
| 1 || 1 / 0 | 2 || 3 / 0 | 4 / 29 | 2 / 70 | 3 || 8 / 0 | 7 / 71 | 6 / 112 | 9 / 170 | 5 / 212 | 4 || 15 / 0 | 12 / 29 | 14 / 71 | 16 / 170 | 13 / 212 | 11 / 311 | 10 / 411 | 5 || 22 / 0 | 21 / 71 | 18 / 100 | 20 / 212 | 17 / 382 | 19 / 411 | 6 || 23 / 0 | 10 / 29 | 24 / 199 | 5 / 311 | 25 / 340 | 2 / 511 | 26 / 540 | 1 / 610 | 7 || 29 / 0 | 28 / 100 | 6 / 158 | 31 / 199 | 27 / 299 | 30 / 340 | 11 / 440 | 17 / 540 | 8 || 33 / 0 | 12 / 41 | 32 / 100 | 18 / 141 | 9 || 19 / 0 | 34 / 29 | 10 / 71 | 10 || 20 / 0 | 13 / 71 | 35 / 112 | 27 / 170 | 5 / 270 | 11 || 21 / 0 | 32 / 29 | 14 / 71 | 36 / 170 | 7 / 270 | 28 / 311 | 2 / 411 | 12 || 22 / 0 | 15 / 71 | 33 / 100 | 8 / 270 | 29 / 382 | 3 / 411 | 1 / 481 | 13 || 23 / 0 | 34 / 29 | 17 / 71 | 14 || 24 / 0 | 30 / 71 | 35 / 112 | 16 / 170 | 18 / 270 | 15 || 33 / 0 | 36 / 100 | 31 / 199 | 9 / 241 | 25 / 270 | 16 || 29 / 0 | 4 / 41 | 26 / 70 | 17 || 1 / 0 | |
| Aristas YA ALMACENADAS | ||
| Arista longitud cruce 1 cruce 2 | Arista| longitud cruce 1 cruce 2 | Arista| longitud cruce 1 cruce 2 |
| 1 || 29 | 3 | 4 | 2 || 41 | 4 | 2 | 3 || 71 | 8 | 7 | 4 || 41 | 7 | 6 | 5 || 58 | 6 | 9 | 6 || 41 | 9 | 5 | 7 || 29 | 15 | 12 | 8 || 41 | 12 | 14 | 9 || 100 | 14 | 16 | 10 || 41 | 16 | 13 | 11 || 100 | 13 | 11 | 12 || 100 | 11 | 10 | 13 || 71 | 22 | 21 | 14 || 29 | 21 | 18 | 15 || 112 | 18 | 20 | 16 || 170 | 20 | 17 | 17 || 29 | 17 | 19 | 18 || 29 | 23 | 10 | 19 || 170 | 10 | 24 | 20 || 112 | 24 | 5 | 21 || 29 | 5 | 25 | 22 || 170 | 25 | 2 | | 23 || 29 | 2 | 26 | 24 || 71 | 26 | 1 | 25 || 100 | 29 | 28 | 26 || 58 | 28 | 6 | 27 || 41 | 6 | 31 | 28 || 100 | 31 | 27 | 29 || 41 | 27 | 30 | 30 || 100 | 30 | 11 | 31 || 100 | 11 | 17 | 32 || 41 | 33 | 12 | 33 || 58 | 12 | 32 | 34 || 41 | 32 | 18 | 35 || 29 | 19 | 34 | 36 || 41 | 34 | 10 | 37 || 71 | 20 | 13 | 38 || 41 | 13 | 35 | 39 || 58 | 35 | 27 | 40 || 100 | 27 | 5 | 41 || 29 | 21 | 32 | 42 || 41 | 32 | 14 | 43 || 100 | 14 | 36 | 44 || 100 | 36 | 7 | | 45 || 41 | 7 | 28 | 46 || 100 | 28 | 2 | 47 || 71 | 22 | 15 | 48 || 29 | 15 | 33 | 49 || 170 | 33 | 8 | 50 || 112 | 8 | 29 | 51 || 29 | 29 | 3 | 52 || 71 | 3 | 1 | 53 || 29 | 23 | 34 | 54 || 41 | 34 | 17 | 55 || 71 | 24 | 30 | 56 || 41 | 30 | 35 | 57 || 58 | 35 | 16 | 58 || 100 | 16 | 18 | 59 || 100 | 33 | 36 | 60 || 100 | 36 | 31 | 61 || 41 | 31 | 9 | 62 || 29 | 9 | 25 | 63 || 41 | 29 | 4 | 64 || 29 | 4 | 26 | |
Y, a partir de las 64 aristas encontradas, almacenamos todos los cruces contiguos a cada uno de ellos, los 36, que que serán, si se cumplen las leyes empíricas de la lacería, 4 como máximo, ya que entonces solo se cruzan dos rectas en cada cruce, lo que hace que en general, excluidos lados extremos, los ejes de simetría, hay 4 cruces contiguos para cada cruce. En los ejes encontramos 3. Sólo que con los EGR simétricos, completamos los 4 (los situados en los ejes, son comunes a ambos EGR simétricos):
| cruce || num | contiguos | cruce|| num | contiguos |
| 1 || 2 | 26 | 3 | | | 2 || 4 | 4 | 25 | 26 | 28 | 3 || 3 | 4 | 29 | 1 | | 4 || 4 | 3 | 2 | 29 | 26 | 5 || 4 | 9 | 24 | 25 | 27 | 6 || 4 | 7 | 9 | 28 | 31 | 7 || 4 | 8 | 6 | 36 | 28 | 8 || 3 | 7 | 33 | 29 | | 9 || 4 | 6 | 5 | 31 | 25 | 10 || 4 | 11 | 23 | 24 | 34 | 11 || 4 | 13 | 10 | 30 | 17 | 12 || 4 | 15 | 14 | 33 | 32 | 13 || 4 | 16 | 11 | 20 | 35 | 14 || 4 | 12 | 16 | 32 | 36 | 15 || 3 | 12 | 22 | 33 | | 16 || 4 | 14 | 13 | 35 | 18 | 17 || 4 | 20 | 19 | 11 | 34 | 18 || 4 | 21 | 20 | 32 | 16 | 19 || 2 | 17 | 34 | | | 20 || 3 | 18 | 17 | 13 | | 21 || 3 | 22 | 18 | 32 | | 22 || 2 | 21 | 15 | | | 23 || 2 | 10 | 34 | | | 24 || 3 | 10 | 5 | 30 | | 25 || 3 | 5 | 2 | 9 | | 26 || 3 | 2 | 1 | 4 | | 27 || 4 | 31 | 30 | 35 | 5 | 28 || 4 | 29 | 6 | 7 | 2 | 29 || 4 | 28 | 8 | 3 | 4 | 30 || 4 | 27 | 11 | 24 | 35 | 31 || 4 | 6 | 27 | 36 | 9 | 32 || 4 | 12 | 18 | 21 | 14 | 33 || 4 | 12 | 15 | 8 | 36 | 34 || 4 | 19 | 10 | 23 | 17 | 35 || 4 | 13 | 27 | 30 | 16 | 36 || 4 | 14 | 7 | 33 | 31 | |
Todas estas tablas, no sólo impresas según se calculan parámetros, sino también almacenadas en forma de arrays o matrices disponibles en todos los cálculos permitirán plasmar numéricamente conceptos evidentes para quien contempla la figura, pero difíciles de formalizar matemáticamente. Conceptos como contigüidad, conectividad, interior, exterior, compacidad... deben se parametrizados y medidos para operar en el plano formal abstracto, como lo hace el ojo y su mente matemática y geométrica.
Vuelta al Principio Última actualización: miércoles, 05 de septiembre de 2018 Visitantes: