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Vibración de membranas circulares

¿Son harmónicos los parciales de un tambor? Veámoslo con algún detalle. 

Teoría

Una membrana sujeta por el borde y sometida a tensión uniforme, el parche ideal de un pandero, vibra con arreglo a la expresión:

donde m es la densidad superficial (masa por area, r . e, densidad por espesor) de la membrana, T la tensión a que se somete la membrana y x su desplazamiento perpendicularmente a su superficie en reposo, cuyas coordenadas planas perpendiculares son x, y. Véase por ejemplo Wood (A text-book of Sound, Bell, London,1944; p.163 ).

Como sabemos esta ecuación diferencial representa las relaciones que se establecen en todo momento entre la variaciones minúsculas (diferenciales) de la posición de un punto cualquiera de la membrana, determinado por las tres coordenadas x, y, x , en un instante cualquiera t. Se trata ahora de integrar esa ecuación, es decir, de establecer ecuaciones que liguen esas variables directamente entre sí, y no sus variaciones. Esta integración no siempre es posible en general, pero sí en algunas condiciones particulares.

Puesto que cualquier movimiento temporal (función) puede descomponerse como suma de movimientos senoidales, del tipo x  = a. cos (nt). (el coseno es un seno desfasado), consideremos solamente esta oscilación simple. Cambiando la  variable t  por la frecuencia n (la frecuencia es exactamente 2pn), obtenemos la ecuación más sencilla:

dfgdfg

con     

 k2 = n 2 m / T = n 2 r e / T

y sabiendo que en el borde fijo de la membrana el desplazamiento vertical es siempre nulo:

x borde = 0

estas nuevas condiciones nos permiten buscar las soluciones de la ecuación anterior, es decir, las frecuencias n que la verifican o satisfacen.

¿Por qué solamente algunas n? Porque no toda oscilación en un punto determinado va a tardar en volver a su posición inicial el tiempo que tarda la perturbación en llegar a ese punto tras reflejarse en los bordes, como ocurre en un tubo sonoro. Sólo algunas frecuencias con su período correspondiente van a producir esa coincidencias o reforzamiento mutuo de la oscilación local y la reflejada, como ocurre en los columpios: sólo un empujón sincrónico permite el mantenimiento, o incluso aumento, del balanceo. Aquí podemos ver esa función selectiva del parche.

También se ve la complicación formidable de estas reflexiones, que dependen del tamaño y forma del borde, como en un billar, o mejor, un estanque donde las ondas fluyen y refluyen.

Pero volvamos a la ecuación.

Para una membrana circular, y considerando sólo vibraciones circulares, es decir, aquellas simétricas respecto al centro, como anillos sucesivos de más o menos secciones entre centro y periferia, la ecuación anterior se reduce ( x2 + y 2 = r 2 ) a:

Se demuestra (¿cómo?, véase un texto de cálculo integral) que las soluciones k de la ecuación anterior se encuentran en los ceros (pasos de la función por el valor y = 0) de la función de Bessel de primera especie y orden cero, J0 (kR). (R es el radio del parche).

Estos ceros son: .7655,  1.7571,  2.7546,  3.75..., es decir una sucesión del tipo (m-1/4+e) donde m es un entero (1, 2, 3, 4, ...) y e una pequeña cantidad que decrece con el orden del cero. Por lo tanto las frecuencias correspondientes, proporcionales a n, se encuentran mediante la expresión  n2=k2T/m  que vimos antes. Así queda

donde fi es la frecuencia en hercios del parcial circular de orden i, el i-ésimo parcial, J0i del cero i-ésimo de la función de Bessel citada, R el radio del parche circular, T la tensión, y m la densidad superficial citada. Estos parciales guardan la misma proporción entre sí que los ceros citados, de modo que la relación de frecuencias entre los parciales de esta serie es aproximadamente:

1

2

3

4

1

2.29

3.35

3.60

serie que no tiene nada que ver con la serie harmónica 1, 2, 3, 4, 5, 6, ....

Concluimos pues:

Los parciales circulares de un pandero no son harmónicos.

Práctica

Para poner de manifiesto estos parciales circulares golpearemos en un lugar donde su oscilación es máxima: el centro naturalmente, lo que va a reducir además la importancia de otros parciales no circulares. Encontramos así en un pandero azerí de buen timbre el espectro siguiente (arriba) para un golpe central, cuyo tono aparente es el de la nota fa#2, cuyo espectro vemos abajo.

;Freq(Hz)

 

 

Seleccionando los máximos de ambos espectros encontramos, comparándolos:

  91.5161   -40.099823
183.0322   -47.105923
274.5483   -34.006390
366.0645   -32.773090
436.0474   -56.628258
495.2637   -62.842041
.....

  96.8994   -14.958737
177.6489   -17.076546
274.5483   -27.335434
366.0645   -27.713528
452.1973   -31.210522
549.0967   -30.813110
....

102
233
341
366


....

Teclado: fa#2

Pandero empirico

Pandero teórico p4=366

Nótese primeramente que las proporciones entre frecuencias de loa parciales son diferentes.

Enseguida intuimos que el peso del parche lastra el movimiento ralentizándolo, o sea, bajando la frecuencia de los parciales: pero este factor ya ha sido considerado en la densidad superficial m. Coadyuva en cambio la elasticidad imperfecta del parche, que tarda en recuperar la posición inicial, y la inhomogeneidad del material orgánico, muy reducida en el artificial. asimismo el material no es isótropo, no tiene grosor nulo, y además no sólo se desplaza perpendicularmente a su plano, cuando ese desplazamiento es importante (golpes fuertes). Estas pérdidas de energía, junto con la resistencia del aire –mayor en tambores cerrados–  atenúan además el sonido en una envolvente decreciente.

Sin embargo, siguen sin constituir la buscada relación harmónica.

¿Qué podemos concluir pues del tono aparente del sonido Dum del pandero?. Que se establece el tono, por diferencia,  a partir de los parciales 3 y 4, casi idénticos a los harmónicos 3 y 4 del teclado; y no por su fundamental real, 96 hz, un semitono más alto.

De modo que la percepción acústico-musical restablece un tono donde en rigor no debería haberlo.

Hay otros parciales no circulares, como los que tienen nodos en varios diámetros (1, 2, 3,...) simétricamente espaciados y vientres en cada mitad, más cuanto mayor es su índice en esta serie particular. Por ejemplo las frecuencias de los dos primeros (con  un solo 'abombamiento' circular) guardan entre sí la relación 2.5, la octava alta de la tercera mayor, 5:4. Pero con los parciales anteriores forman la serie: 1, 1.59, 2.14, 2.29, 2.65, 2.91,.. donde reconocemos los dos primeros parciales circulares en primer y cuarto lugar. Repetimos: no deberían oírse tonos. Eppur, si muove.

Para un estudio algo más detallado, véase por ejemplo Mercier (J. Acoustique. T.1 Press Univ. Paris,1962. pp.147-155) o los textos clásicos de Lamb, Rayleigh, Morse, Crandall y el citado de Wood. asimismo en Timoshenko (Vibration....), donde se detallan los parciales circulares y diametrales combinados, pcd hasta un orden más elevado ( p6.6.).

 


Vuelta al Principio    Última actualización: Thursday, 21 de February de 2013    Visitantes: contador de visitas