Algunas preguntas sobre incertidumbre del tono (incluido en conversaciones con Enrique Tomás).
Enrique cuestiona:
1. ¿Cómo es que no estamos seguros del periodo de una señal?
No lo estamos porque una señal tiene periodo cuando es periódica, y es periódica cuando coincide consigo misma desplazándola un cierto tiempo llamado periodo. Y como si la señal acaba en un punto ya no va a ser igual a si misma después de ese periodo, esta claro que no puede acabar para seguir siendo periódica. Ya tenemos una señal infinita, ahora para saber su periodo tenemos que comprobar que cumple la igualada entre señales desplazadas, y eso hay que comprobarlo desde el principio hasta el final de la señal.
Por lo tanto, solo midiendo el periodo en un tiempo infinito pedemos conocer con certidumbre el periodo de una señal periódica.
Ahora bien, si efectuamos el análisis de una señal en una ventana temporal que cubra uno o dos periodos estaremos seguros de lo que medimos dentro de la ventana , pero no de lo que ocurre fuera, este ignorar de saber lo que pasa dentro de la ventana nos provoca una incertidumbre que se traduce en un rango de posibles valores del periodo, rango tanto más estrecho cuanto mayor es la ventana hasta que llegando a un tiempo infinito se estrecha hasta llegar a la delta de Dirac, que por cierto no es una función sino una distribución, entidad que funciona como una ventana muy estrechita y de área uno.
Ahora bien, esta claro que ese conjunto de señales infinitas no tiene cabida en mi mundo. Tampoco lo tienen la esfera, la línea recta y la parábola, y sin embargo tenerlas como referencia nos da buenas ejemplos sobre este mundo imperfecto.
Este tipo de funciones caseras son las señales pseudoperiódicas o casi periódicas en el que en vez de decir que una señal es igual a si misma desplazándolas una cantidad constante llamada periodo decimos que:
Una señal cuasíperiódica es aquella que es parecida a si misma desplazándola una cantidad dentro de una ventana corta de análisis. y operativas: por ejemplo una melodía es exactamente eso, una señal que es casi periódica en cortos intervalos (las notas) en los que el parecido es medido y percibido como tono por el oído, y este tono se percibe aunque haya variaciones de un periodo a otro pesudoperíodo, y una variación se percibe como un tono cambiante o glissando de tal manera que funciona.
De manera parecida podemos decir que cualquiera de nosotros somos una señal cuasíperiódica con periodo , pongamos un día, de tal manera que nos parecemos al de mañana y vamos poco a poco variando y creciendo.
Pues incluso el concepto anterior es utilizado matemáticamente mediante unciones que operan en una ventana como el espectro a corto plazo, nuestra disimilitud adaptativa, la autocorrelación y otros muchos estimadores de tono y de periodicidad, pero todos tiene más incertidumbre obtenida mediante un ámbito de variación del posible periodo que será tanto mayor cuanto menor sea la ventana de análisis. Prácticamente eso se obtiene mediante un puntero o pico que es más estable al correr el tiempo cuanto mayor es la ventana de análisis. Si además trabajamos con señales muestreadas tenemos factores adicionales de incertidumbre o error por los ruidos de muestreo y cuantificación, que son en realidad parcialidad en las medidas o error en ellas.
Esta definición está llena de debilidades y de dependencias, ya que hay que definir qué es parecido y decidir el tamaño de la ventan de análisis. Sin embargo nos es útil, porque en nuestra vida señales similares son significativas
Si queremos realmente pasar a un tiempo en el que los tiempos son cortos y tomamos no obstante decisiones en ellos, habrá que cambiar la escala.
2. Otra cuestión:
¿cómo saber el error o incertidumbre conocida la duración de la ventana de análisis?.
Acudamos a la transformada de Fourier. Nosotros admitiremos que si tenemos una señal periódica podrá ser esta entonces descomponible siempre como suma de senoides en proporción harmónica, en frecuencias relativas 1, 2, 3, ...infinito. Señales senoidales eternas.
Si nosotros estudiamos la señal en una ventana corta, podemos considerar que multiplicamos la señal original por una señal ventana que pondera los valores de la primera señal dentro de su soporte, ponderándolas como cero o suprimiéndola fuera de él.
Por otra parte, sabemos que la Transformada de Fourier del producto de dos señales es igual a la convolución de sus transformadas (recordamos que la convolución de dos señales consiste en desplazar una sobre otra de manera continua y en su caso multiplicar ambas y hallar su integral, una suma si actuamos con señales discretas). Como la transformada de Fourier de una ventana rectangular es parecida a una senoide atenuada en los extremos, la convolución de esas señal sinc con el espectro de la señal original que es de rayas, es decir, compuesto de deltas de Dirac en posición mutuamente armónica, el efecto de la convolución de aquella sinc por el espectro peine es un emborronamiento de las líneas precisas de frecuencia de este, un aporte de unas frecuencias sobre otras, y un engrosamiento de las púas del peine, que pasan a ser líneas gordas e imprecisas. Ese grosor es inversamente proporcional a la ventana de análisis y su medida es justamente la inversa.
El espectro peine original de la señal periódica deviene en un espectro gordo de funciones sinc en las rayas originales, cuya anchura es más menos 1/T cuando el sinc vale cero. He ahí entones esa incertidumbre de que teniendo una sola ventana rectangular de duración tau su trasformada tenga una anchura entre los dos ceros de 2/tau Hz, si tenemos una ventana de 100 ms, la anchura del sinc en la base es 2/0.1 = 20 Hz. Si tomamos como anchura de la púa el punto en el que bajamos 3 dB, esta distancia se reducirá a unos 10 Hz, que es el dato que figura en Uncertainty of estimated pitch
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Tuesday, 09 de July de 2013Visitantes: