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Las Escalas Naturales Harmónicas
Introducción
Se presentan en esta reseña un nuevo o viejo tipo de escalas : son aquellas de la forma
( n+k ) : n, con 0 <= k < n
Nacidas en la serie armónica, gozan de bellas propiedades y son las escalas más propiamente naturales.
Aunque consideramos nuestra la idea, quizá nos ha sido sugerida por personas o artículos de todo tipo (ver nota final) .
Las Escalas Regulares
La serie de los armónicos de un sonido presenta con él los intervalos :
1:1 2:1 3:1 4:1 5:1 6:1 7:1 8:1 9:1 10:1 ...
y así sucesivamente; es decir los intervalos n : 1, con n natural.
Entre sí cada armónico n presenta con el siguiente el intervalo :
(n+1) : n
Eligiendo un armónico n cualquiera, observamos que su octava es 2n, también en la serie armónica : pues bien el conjunto de armónicos comprendidos entre n y 2n, constituye lo que hemos llamado Escala Regular de Orden n ( ER.n).
Su expresión es pues :
(n+k) : n con k entero natural comprendido entre 0 y n
Véase en la espiral harmónica cómo, a partir de un armónico cualquiera, obtenemos una de nuestras escalas tomando las notas que la siguen hasta la vuelta siguiente.
 |
Propiedades
Veamos las propiedades de deducción inmediata :
1. La ER.n tiene n grados (notas) y n intervalos conjuntos por octava.
Si partimos de una nota de frecuencia f0, las notas de esta escala tienen frecuencias :
f0*n : n f0*2n : n f0*3n : n . . . f0*(n-1) : n f0*2n : n
y su número en n, sin contar la octava.
2. Los intervalos conjuntos son, a su vez :
(n+1) : n (n+2) : (n+1) ... (n+n-2) : (n+n-1) (n+n) : (n+n-1)
y con la nota primera :
(n+1) : n (n+2) : n (n+3) : n... (n+n-1) : n (n+n) : n
Por ejemplo la ER.6 presenta los intervalos conjuntos :
7:6 8:7 9:8 10:9 11:10 12:11
entre sus seis notas, y , con la primera:
6:6 7:6 8:6 9:6 10:6 11:6 12:6
es decir:
1:1 7:6 4:3 3:2 5:3 11:6 2:1
3. Los intervalos se estrechan gradualmente.
Propiedad heredada de la serie armónica de la proceden todas. En efecto, para cualquier n es siempre
(n+2) : (n+1) < ( n+1) : n
ya que, pasando a común denominador :
(n^2+2n) < (n+1)^2 = (n^2 +2n) +1
4. La escala ER.2n admite todas las notas de la ER.n e introduce además un número igual.
5. La escala ER.(n+1) presenta los mismos intervalos que la ER.n, excepto el primero, y añade dos más al final.
6. Las Escalas ER.n, con n par presentan la quinta como intervalo, pero no la cuarta ni la sexta naturales.
7. Las Escalas ER.n, con n múltiplo de 3, presentan la cuarta ni la sexta naturales, pero no la quinta.
8. Todas las escalas ER admiten un tono fundamental común cuando las tomamos sobre su serie armónica.
Es decir, al tomar como nota primera de la nueva escala una nota no primera de la antigua. Esto equivale a modular, pero conservando la coherencia inicial que nos proporciona el Tono Fundamental.
9. Pequeño cuadro de las primeras escalas :
| 1. 1:1 2:1 2:1 2. 1:1 3:2 2:1 3:2 4:3 3. 1:1 4:3 5:3 2:1 4:3 5:4 6:5 4. 1:1 5:4 3:2 7:4 2:1 5:4 6:5 7:6 8:7 5. 1:1 6:5 7:5 8:5 9:5 2:1 6:5 7:6 8:7 9:8 10:9 6. 1:1 7:6 4:3 3:2 5:3 11:6 2:1 7:6 8:7 9:8 10:9 11:10 12:11 7. 1:1 8:7 9:7 10:7 11:7 12:7 13:7 2:1 8:7 9:8 10:9 11:10 12:11 13:12 14:13 8. 1:1 9:8 5:4 11:8 3:2 13:8 7:4 15:8 2:1 9:8 10:9 11:10 12:11 13:12 14:13 15:14 16:15 |
| 9. 10 11 4 13 14 5 16 17 2 )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) 1 9 9 3 9 9 3 9 9 1 10 11 6 13 7 3 8 17 9 19 2 )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) 1 10 5 10 5 5 5 10 5 10 1 |
10. El carácter de n determina el de la escala correspondiente :
--Si n es una potencia de 2, la primera es una octava del tono fundamental.
--Si es primo, los intervalos con la primera son poco consonantes. Véanse los Diagrama de Consonancia, más adelante.
--Los divisores de n determinan la estructura de la escala, estableciendo una jerarquía de consonancia, con notas que sirven de referencia, a las que se va y de las que se viene y sobre las que se reposa. Por ejemplo, en 9 = 3*3 :
+)))))))))0+)))))))))0+))))))))0
1 10 11 4 13 14 5 16 17 2 )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) 1 9 9 3 9 9 3 9 9 1
--En estas escalas está el germen de muchas escalas que han surgido en la historia. Pero mientras ellas se basan en el tetracordio, estas son concebidas con la octava como ámbito global.
--La escala 8 es el germen de la mayor. La 10 de la menor.
11. Tomar otro grado de la escala ER.n como fundamental que el primero equivale a cambiar de escala.
En efecto, se establecerán ahora los intervalos :
(n+k) : (n+k) (n+k+1) : (n+k) (n+k+2) : (n+k) ...
o sea la escala ER(n+k). Es decir, comenzamos la espiral en otro punto. La diferencia consiste en que conservamos los n grados
Diagramas de Consonancia de Euler
Resulta extraordinariamente interesante contejar la Disonancia medida como el Número de Euler (vésase el artículo 'Sobre Escalas, Números y Temperamentos', del autor).
Los intervalos melódicos son comunes a varias familias, y su disonancia puede verse en el gráfico adjunto :
Pero, considerando cada escala como base de un modo referido a la primera nota, veamos los diagramas de Disonancia de Euler para algunas de ellas, agrupadas por subfamilias de múltiplos exponente de 2 de una primitiva, es decir, la subfamilia 2,4,8,16,32..., la 3,6,12,.. etc, y algunos individuales. Se imprime también la disonancia media de la escala y los gráficos reflejan la disonancia de todos los grados de la escala con el primero, en escala logarítmica; y ello en forma polar ( una vuelta es una octava) o lineal (12 trazos verticales son la octava).
Nótese cómo los números con machos divisores ofrecen diagramas con mínimos, que son como polos de consonancia; y a su vez, nótense los diagramas de n primo o con pocos divisores, que presentan diagramas de alta disonancia más o menos continua, excepto en la octava.
Han de oírse también ejemplos músicables de estas escalas, para comparar la impresión general de disonancia y el 'ethos' o 'mood' correspondiente a cada una. Nosotros hemos improvisado sobre alguna de las escalas, programando un Yamaha DX7, un sintetizador afinable tecla a tecla. Oiga algún ejemplo.
Conclusiones
Consideramos la familia de escalas propuesta como la generalización verdaderamente natural de la práctica y teoría musical desde hace cientos de años. Explorar las posibilidades melódicas y armónicas de esta familia es una tarea para las próximas centurias.
Prevemos que, a medida que el oído y control técnico de la afinación crecen, pueden sutilizarse más y más los intervalos musicalmente utilizables por el hombre : es decir, haciendo crecer n, de 8 a 16, de 40 a 97, etc.
Nota: Mi antiguo colaborador Sergio Jordá afirmó que la idea de esta escala me fue sugerida por él. Aunque no recuerdo tal sugestión incluyo su afirmación.
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actualización: viernes, 25 de julio de 2014 Visitantes: