Resumen Se describe en este artículo un nuevo sistema de análisis de intervalos y escalas de notas musicales, desarrollado en el L.T.P.M, que diRige el autor. Enfocado sobre todo al estudio de la música modal, permite obtener en forma gráfica y numérica, las frecuencias de las notas que han sonado en un intervalo de tiempo, sus intervalos entre sí y también con respecto a una frecuencia base. El sistema toca además esas notas para que el musicólogo pueda cotejar mediante el oído la bondad del análisis. Este sistema consta de un Analizador de Frecuencias 2033 de Bruel, un ordenador personal AT y el programa ESCALA7, desarrollado por el autor.

El análisis directo y objetivo de la música interpretada es una labor inexcusable en musicología, tanto en la sistemática, para conocer como tocan nuestros músicos y sus instrumentos, como en la etnomusicología y musicología comparada, para acercarse a otras culturas con músicas altamente desarrolladas en ocasiones. Incluso en la musicología histórica, basada primordialmente el el documento, tiene dicho análisis su papel, aunque sólo sea como ayuda a la interpretación de músicas no actuales.

Este análisis ha sido con frecuencia subjetivo, es decir, influido por el entorno cultural y musical del musicólogo, quien, más que medir, interpreta lo oído a través de las convenciones de ese entorno, con la pérdida de información consiguiente en el caso habitual de que lo estudiado, por nuevo, rebase los límites de aquel entorno.

Análisis objetivos de frecuencias han sido ciertamente efectuados; pero las dificultades de grabación y medida han falseado hasta cierto punto el análisis, como es el caso de pedir a un músico que toque una nota tenida; no hay garantía de que esa nota sea idéntica a la interpretada dentro de una melodía.

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Creemos que un análisis correcto y científico debe de cumplir con las siguientes condiciones:

1. La toma y grabación de la música no interferirá en su ejecución, que tendrá lugar en condiciones naturales.

2. La toma y grabación de la música tendrá toda la calidad posible, no debiendo sobre todo introducir sonidos periódicos (motores, zumbidos) que interfieran con los sonidos musicales.

3. Se supondrá a priori que el interprete toca lo que quiere tocar, y no lo que puede. Sólo tras la elaboración de un modelo de esas música, podrá hablarse de 'errores de ejecución'.

4. El análisis será estadístico y no puntual: es decir, se supone que la escala empleada en una melodía es el conjunto de notas más frecuentemente empleadas; un tiempo suficientemente largo hará aparecer unas frecuencias preponderantes. Ello no descalificará el resto como erróneas o desafinadas, sino como notas de paso no pertenecientes a la 'escala.

5. El análisis será suficientemente preciso: puesto que el oído es capaz de diferenciar frecuencias que difieren hasta en 1 cent (6 por 10000), ésta será la resolución o precisión aproximada del análisis; incluso la coma Hölder (22.6 cents) resulta demasiado imprecisa. Véase el párrafo 'Notación', más adelante.

Consta del Analizador "High Resolution Signal Analyzer, type 2033" de la marca Bruel&Kjaer; este aparato obtiene continuamente espectros de la señal de entrada, mediante la técnica digital de la Transformada de Fourier. Estos espectros pueden ser vistos (y almacenados) individualmente o promediados, siendo este caso el que nos interesa, puesto que el promedio hace aparecer como picos de altura creciente las frecuencias más reiteradas en la melodía, proporcionando así una panorámica de los sonidos en el tiempo. Pueden seleccionarse Rangos de Análisis desde 0‑20 Khz hasta 0‑10 Hz, diferentes representaciones, filtrado de la señal, zoom, para examinar el entorno de una frecuencia, etc. Se trata de un aparato excelente, versátil e indispensable en todo laboratorio de análisis musical y acústico. Consúltese (1) para más detalles.

Desgraciadamente el examen del espectro no proporciona información inmediata sobre intervalos, tema que convierte un análisis acústico en propiamente musical; el espectro además se pierde al obtener el siguiente, y la resolución no es suficiente al limitarse a la mitad de un cuatrocientosavo del rango estudiado: por ejemplo, en 0‑500 hz, será de 0.63 hz, es decir unos 3 cents a 400 hz, 5 cents a 250 hz y 10 a 100 hz, como comentamos en el apartado 'Problemas del análisis', punto J.

Todos estos inconvenientes pueden ser total o parcialmente solventados gracias a una salida o interface digital, la GPIB o IEEE de la que el analizador está provisto. En efecto, tranmitiendo el espectro y otras informaciones a un ordenador, es posible efectuar un proceso inteligente de la información 'cruda' proporcionada: básicamente, almacenamiento, representación y salvaguarda gráfica del espectro, cálculo y representación de intervalos y escalas en diferentes unidades, eliminación de ruidos de audio, de grabación y armónicos, e incluso audición de las notas obtenidas para contraste y comprobación.

Estas y otras labores han sido realizadas en el L.T.P.M conectando el analizador a un ordenador personal tipo AT, IBM compatible, provisto de una interface GPIB. El programa está escrito en Basic, siendo compilado posteriormente para alcanzar mayor velocidad de ejecución, si bién no es la velocidad un parámetro crítico en el sistema, debido a su carácter interactivo (i.e. con diálogo y control humanos) que lo retarda considerablemente.

Tras su llamada, y durante su ejecución, el programa presenta cinco pantallas sucesivas, en las que aparecen:

Cualquiera de estas pantallas, en modo de alta resolución (EGA) puede ser reproducida en una impresora convencional.

Ordenador personal, PC, AT o compatible, provisto de la interface IEEE (o GPIB), y el cable correspondiente. Véase (2).

Programa ESCALA7, que procesa los datos del analizador, y manual de uso. Intérprete y Compilador Basic. Véase (3).

El método descrito se basa los siguientes supuestos psicoacústicos, algunos de los cuales (1,2,3,4), aunque habituales, no dejan de ser hipótesis y deben ser por ello explicitados. Otros (2'), también conocidos, no son habitualmente utilizados en el análisis de tonos:

1. Existe una proporcionalidad entre tono percibido y pico de espectro proviniente de la transformada de Fourier. Esta proporcionalidad es legítima cuando el tiempo de análisis es similar al que efectúa el oído.

2. Existe una proporcionalidad entre el fundamental y sus armónicos, que son sus múltiplos enteros. Existe entonces también proporcionalidad entre armónicos y tono percibido.

1'. Los puntos 1 y 2 han de ser matizados introduciendo en la proporcionalidad citada la influencia de oído, que requiere agudos más agudos y graves más graves para percibir correctamente los intervalos. Así una octava "correcta" puede tener 1205 o 1220 cents, dependiendo de timbre y tesitura. Deberemos introducir pues una corrección fisio‑sicológica en la valoración y atribución de los intervalos.

3. La finura y precisión del análisis de un tono es tanto mayor cuanto más tiempo su frecuencia es estable, tanto en el oído como en el analizador. Tonos cortos, o variables en intensidad (caso del trémolo) o altura (caso del vibrato) dan como resultado picos amplios y poco definidos; pero exáctamnte igual se comporta el oído al atribuir una altura a esos sonidos.

4. El tono percibido en un vibrato es intermedio entre las frecuencias extremos del vibrato y está más cerca del más fuerte y/o más duradero.

Primeramente se enciende el analizador y se seleccionan los parámetros del análisis: Espectro promediado, promedio aritmético de muchos espectros, y rango de frecuencias que cubra las que van a aparecer (ello queda resuelto en una audición y análisis somero previos). Para voz e instrumentos medios 500 hz. suele ser apropiado; para instrumentos graves, 200 hz y para agudos 1000 hz. Se llama al programa ESCALA3, que se carga en memoria y espera la transmisión del espectro recogido en ese momento en el analizador.

O. Se selecciona entonces el fragmento musical a analizar, bien se trate de una grabación o de ejecución simultánea (conviene la grabación para referencia y repetibilidad del análisis). Se hará sonar la música y la señal electrica correspondiente (micrófono o línea) se conectara a la entrada del analizador, que comienza a obtener espectros, mostrando en su pantalla el promedio cambiante. Se detienen música y análisis al acabar el fragmento; tras un golpe de tecla el espectro pasa al ordenador.

A. Espectro crudo. Una vez recibido reproduce el espectro tal como aparece en el analizador, que llamaremos espectro crudo, y pide al operador una serie de parámetros en la parte inferior de la pantalla: rango del analizador, entorno de frecuencias de los picos, área de frecuencias de búsqueda de picos y de amplitudes por debajo del máximo, suavizado de picos, elección de frecuencia base (tónica modal), y etiqueta o letrero que alude al fragmento analizado.

B. Espectro analizado. Los números o parámetros tecleados dan como resultado un análisis previo que aparece en pantalla ( véase figura 1): se observan en ella la etiqueta, con la fecha del día, el espectro, con los picos marcados dentro del área recuadrada de búsqueda, la escala de frecuencias y, a la izquierda, la lista de notas obtenidas:

Primero el máximo total, con su octava y nota, frecuencia aproximada e intensidad en decibelios. después la serie de picos con iguales parámetros, aunque la afinación es ahora relativa a un DO arbitrariamente adoptado por el operador (ya que la música modal emplea afinación absoluta variable) y las frecuencias e intensidades están corregidas para obtener una precisión mucho mayor que la del analizador, mediante interpolación parabólica de los datos de éste. Así, el el primer pico, de 388 hz, será considerado como Do a petición del analista, y los picos restantes recibirán nombres transpuestos a esa referencia (véase el apartado 'Notación'). Se observa que la escala de la flauta analizada no coincide con nuestras escalas.

Tras repetidas correcciones de los parámetros, el analista puede obtener una copia de la pantalla en impresora, para cotejo y salvaguardia; estas son las figuras que aparecen en el presente trabajo.

El espectro de base puede asimismo ser suavizado o sea, promediado entre frecuencias vecinas, anulando diferencias menores, resaltando "zonas" y limando picos.

C. Tabla de intervalos. Dando su conformidad a la información obtenida, se obtiene una segunda pantalla ( fig.2 ): el ella contemplamos los valores de los intervalos en cents entre todas las notas, y con respecto a una referencia o base, que puede o no ser una de ellas. Cada columna representa los intervalos de la nota encima a la izquierda con todas las siguientes, es decir, de frecuencia mayor.

D. Diagrama de intervalos. Nueva conformidad (expresada con respuestas apropiadas según petición en pantalla) da lugar a un nuevo gráfico ( ver fig.3 ), donde se contemplan las notas anteriormente seleccionadas en una escala de una octava dividida en 1200 cents. Se aprecian perfectamente la situación y distancia relativas entre todas las notas, así como su intensidad en decibelios. Las notas de igual nombre pero diferentes octavas aparecen en la pantalla en diferente color (no apreciable en los gráficos de impresora).

E. Lista de las notas. Nueva conformidad nos trae la última gráfico (fig. 4) que consiste en una lista de la base y notas seleccionadas con las siguientes informaciones:

Este último parámetro se refiere a la emisión de las notas obtenidas en el análisis por el sintetizador standard del AT, que emite cualquier frecuencia audible entera: de ahí el error. Se emiten las notas en escala ascendente ligada y descendente destacada, de manera contínua hasta interrupción por el operador. Este error ha sido corregido o paliado posteriormente mediante la emisión de una nota vibrato entre las dos frecuencias vecinas, que aproxima la frecuencia percibida a la deseada, según nuestra cuarta hipótesis psicoacústica.

La audición de esas notas proporciona una prueba adicional de la fidelidad del análisis, y puede ser grabada en cinta y/u oída simultáneamente con la música para comprobación auditiva.

Tras el análisis de este fragmento, se repite todo el proceso para el siguiente, volviento al punto O, y así sucesivamente hasta acabar la melodía. Podemos entonces obtener finalmente:

F. Curva de evolución. Este gráfico puede obtenerse opcionalmente como representación global de la evolución de los intervalos en una melodía, agrupando en el mismo la información sobre intervalos citada en el apartado D. Se representa cada nota mediante un tramo vertical situado sobre los valores de intervalo en cents, y a una altura que corresponde a cada fragmento; en ordenadas tenemos pues el tiempo creciendo de abajo arriba, si bien no a escala, ya que que cada tramo corresponde a un fragmento de duración arbitraria; en abscisas, los intervalos en cents. Se perciben entonces las evoluciones de una misma "nota" durante el desarrollo de la melodía, como muestra la figura 5, representación de un canto solo de Sri Lanka.

El examen de las tablas y gráficos descritos proporciona múltiples informaciones: por ejemplo, el gráfico de la figura 3, nos ofrece un diagrama de intervalos entre notas y frecuencia de aparición de ellas: es decir, si una nota suena frecuentemente y durante largos intervalos de tiempo o no; esto se relaciona con la jerarquía de las notas en la escala, o sea, con el modo o tono; en efecto, la tónica y dominante aparecerán como picos importantes en el gráfico de una música tonal, mientras que en una modal, sea gregoriano, maqam o raga, resaltarán variablemente según el modo y su estructura. Puede inferirse que nuestro método permitiría, con algún desarrollo, incluso la clasificación y reconocimiento del modo ejecutado.

Puesto que un cambio de tono o modo (modulación) cambia usualmente una o varias de las notas de la escala empleada, será buena práctica obtener un grupo de gráficos como el citado para cada una de las partes moduladas. Incluso un cambio de modo con iguales notas pero diferente jerarquía ( tonica, sensible, base, vadi, etc) obtendrá diferente reparto de importancia en amplitud, e incluso pequeñas variaciones no detectadas al oído (enarmonías o similares).

En el canto solo de la figura 5, por ejemplo, se aprecia la tendencia general de las voces a subir de tesitura, y la mayor estabilidad de las notas en la segunda parte (los cuatro segmentos superiores), repetición de la primera.

Hemos centrado el diseño y aplicación de nuestro programa en música modal, pero su aplicación a la música armónica es inmediata: el estudio de la ejecución práctica de instrumentos de arco y viento depara sorpresas o confirma suposiciones subjetivas. El cuarteto de cuerda puede ser analizado, sus cadencias observadas al detalle, los coros, la orquesta, incluso el piano puede ser comparado en su afinación con las cifras teóricas de frecuencias e intervalos.

El sistema que estamos describiendo, basado en un análisis sistemático y estadístico de una melodía, no mide o representa dicha melodía; esta labor puede realizarla otro programa, el llamado SETS (Sistema Eficiente de Tratamiento de Señales), también desarrollado por el autor en el LTPM (4).

El criterio seguido para reconocer las notas, selección de máximos locales en el espectro se ve afectado de los siguientes problemas, que describiremos junto a la solución adoptada.

A. Armónicos. Como es bien sabido, todos los sonidos son una mezcla de frecuencias, siendo estas, para el caso de sonidos con tono, armónicas o múltiplos de la frecuencia fundamental, representante del tono de la nota. Esto implica que el primer armónico de una nota tiene una frecuencia muy vecina a la de la nota octava, interfiriendo pues con la medida de esa nota. Por ejemplo, véase en la fig.1 el primer máximo fuera de la ventana de búsqueda, octava del primer pico marcado.

El análisis, pues, se restringirá a rangos o ámbitos de una octava para impedir esa interferencia. En el caso de la música modal, que procede generalmente por grados conjuntos y se mantiene el ambitos de cuarta o quinta por intervalos largos de tiempo (incluso minutos), no resulta lo anterior un verdadero impedimento.

B. Pedal. Suele ser una nota contínua o tenida, a intervalo de octava ( y quinta) de la base o tónica modal; se trata de un problema similar al anterior y de resolución ( cuando es posible) similar.

C. Otros instrumentos. Si tocan notas vecinas en octavas superiores, no interfieren; si lo hacen en octavas inferiores interfieren sus armónicos como en el caso A.; si en la misma octava, ambas notas se funden y son indistinguibles: formarán una 'nota' mezcla de ambas, salvo que sus frecuencias difieran más del cuatrocientosavo del rango.

D. Vibrato. La oscilación de frecuencia, cuando tiene lugar durante la duración del análisis, o sea, cuando la frecuencia no es estable. Compárese las figura 6, una nota estable, con la 7, nota vibrada una vez por segundo.Aquí nos encontramos con una dificultad que reside no en un error del aparato, sino en la dificultad de atribuir un tono a un sonido vibrado. El efecto citado en la cuarta hipótesis psicoacústica se obtiene mediante un promedio o "suavizado" de frecuencias vecinas, que resalta una frecuencia media entre varias, como muestra la figura 8.

D'. Glissando. Picos vecinos correspondientes a intervalos iguales de análisis (muestreo en frecuencia¡).

E. Ausencia de fundamental. Grabaciones de mala calidad (y casi todas las antiguas) pueden suprimir frecuencias bajas hasta 200 o 300 hz. Ello incluye las frecuencias fundamentales de palabra y cantos masculinos e instrumentos de tesitura baja. No disponiéndose de esas frecuencias, se analizará entonces la zona del primer armónico, una octava alta del fundamental, suponiendo la proporcionalidad entre ellos citada más arriba (hipótesis 2).

F. Notas de poca intensidad. Pueden ser enmascaradas por notas cercanas de mayor intensidad, que originan picos altos cuya "falda" entierra los bajos. Para evitar esta desaparición puede actuarse sobre el nivel de esas notas, ampliando las que queremos destacar y atenuando o incluso suprimiendo (eliminando los fragmentos en que aparecen) esas notas fuertes vecinas.

a. Red. Estos son debidos a la presencia del llamado ruido de 'red', compuesto por 50 hz y sus armónicos múltiplos, 100 y 150 sobre todo. Se eliminan atenuándolos con un filtro analógico pasa‑alto, y, ya digitalmente, eliminándolos uno por uno mediante pregunta y decisión (del tipo 'Si frecuencia=50 hz entonces desechar'). Fig 5, por ejemplo.

b. Grabación. El ruido de cinta (llamado 'hiss') es de tipo blanco y no interfiere con los picos del espectro. El ruido de motor, en cambio, cuando aparece ( en grabaciones de baja calidad, únicas accesibles a veces), presenta picos armónicos y hay que eliminarlo almacenándolo previamente y restándolo al espectro a analizar; o bien, manualmente, no tomándolo en consideración.

c. Timbres roncos o sonidos guturales dan un espectro no de picos sino extenso, que pueden enmascarar los picos "de nota"; si así fuera deberán ser eliminados de la grabación.

H. Velocidad de reproducción. Si no es constante en el intervalo del análisis, como en el caso de 'lloro', oscilación alrededor del herzio, (una oscilación por segundo), falsea las frecuencias relativas de las diferentes notas, analizadas en diferentes momentos y con diferente velocidad de reproducción. Si la velocidad es constante, aunque diferente a la grabación, se producirá únicamente un cambio de tesitura, pero las relaciones interválicas serán válidas e iguales a las originales.

I. Selección de frecuencia de pico. La forma de los picos obtenidos es muy variable, sobre todo al presentarse variaciones de frecuencia a lo largo del análisis. Cabe entonces la duda de tomar como frecuencia del pico o altura de la nota representada poe él, bien el punto máximo o cima, bien la media o centro de gravedad de las frecuencias representadas en ese pico; estas frecuencias no serán iguales salvo el los picos simétricos.

J. Precisión de la medida. La tranformada discreta de Fourier de 1024 puntos empleada en nuestro analizador ofrece únicamente 400 líneas o frecuencias útiles (consúltese el manual en (1) o, para más detalles, (7). Ello significa un error menor de media línea, o sea desde un 50 por ciento (¡ hasta una quinta !) para la primera línea, hasta .5/400 = 0.125 por ciento ( 2.16 cents) para la última. Para la frecuencia media el error es no mayor de 4.3 cents, lo que nos deja un intervalo de octava de trabajo, la mitad izquierda del rango con error menor que 4.3 cents. Para intervalos, que dependen de dos frecuencias, el error esperado es doble, lo que resulta inaceptable.

No obstante, una interpolación en los valores cercanos al pico, nos permite reducir estos errores a valores despreciables, como demuestran medidas de precisión realizadas en nuestro laboratorio. Podemos pues asegurar errores menores de 1 cent en nuestras medidas. La interpolación es tiene en cuenta los tres valores mayores del pico, que son aproximados por una parábola de eje vertical, cuya cima es calculada tanto en frecuencia,

La notación adoptada es la basada en la división de la octava en 53 partes iguales, llamadas coma Hölder, como es sabido: con un error menor de 12 cents quedan aproximadamente reflejados los intervalos de las escalas habituales: las mayores pitagórica y temperadas aparecen sin alteraciones, la natural de Zarlino con la tercera, sexta y séptima una coma bajas (‑),etc. La escala de referencia es, con un ligero error (1.5 cent, max) la escala pitagórica o de quintas, y las desviaciones con respecto a ella se expresan mediante el número de comas que se suben o bajan, según la lista que sigue:

Esta notación es similar, pero no idéntica a las empleadas por Danielou en (5), pag.61, y la música turca tradicional (6), pag.62. La notación del primero, muy precisa, resulta algo enrrevesada, al utilizar una escala de base de Zarlino, con tonos mayores y menores, bemoles de cuatro comas e intervalo 1/4 extraño al concepto de coma. La segunda emplea como base la escala pitagórica o de quintas, pero emplea hasta 8 tipos de sostenido y bemol. Hemos preferido nuestra notación por encontrarla a la vez más sencilla e intuitiva.

Como unidad más precisa empleamos el Cent, o centésima parte del semitono temperado, lo que nos proporciona las fórmulas inmediatas de paso entre cociente de frecuencias e intervalo en cents:

donde 'ln' es el logaritmo neperiano, 'e' es la base de ese logaritmo, Int es el intervalo en cents y f1, f2 las frecuencias de las notas que componen el intervalo.

En cuanto a la tesitura, y tras comparar los sistemas francés, americano y de piano, elegimos el que consideramos más generalizado en nuestro ambiente, asignando a 440 hz. el nombre

de LA, octava 3; todas las demás frecuencias recibirán correlativamente su nombre.

Los gráficos y listas numéricas obtenidos son susceptibles de reelaboración y análisis más sofisticados, entrando dentro del dominio del reconocimiento de formas y la inteligencia artificial. Como apuntábamos, resultará relativamente sencillo encontrar, por ejemplo, cual de las escalas almacenadas es la más parecida a la que se acaba de analizar, permitiendo su reconocimiento y clasificación. Así podrán reconocerse estilos, países, orígenes y parentescos de músicas.

En el dominio de la reproducción o síntesis de las notas obtenidas, se empleará próximamente un sintetizador DX7, que controlaremos mediante interface MIDI desde Basic, que permitirá frecuencias más exactas y de timbre más rico que el AT. En conexión con programas secuenciadores, se podrá además interpretar música que emplee las escalas obtenidas del análisis, con la consiguiente naturalidad y acercamiento al original.

Es también nuestro propósito evaluar la utilidad de un análisis que tenga en cuenta simultáneamente todos los armónicos de un nota y no solo uno de ellos, en una especie de doble transformada (8).

A continuación vamos a presentar algunos ejemplos entresacados de nuestros trabajos en marcha para la estimación de escalas obtenidas en el cante hondo, el martinete, y las músicas instrumentales clásicas árabe y turca.

En las figuras 9, 10 y 11, correspondientes a la primera estrofa de un martinete cantado por Menese, se observa, entre otros, el interesante detalle siguiente: el carácter "mayor" que habitualmente se atribuye al martinete queda en entredicho ante la importancia de la cuarta, fa, en detrimento de la quinta , sol, (fig.9), y el altísimo valor del primer tono (do‑re, 245 cents.) y pequeño valor de segundo (re‑mi), entre 164 cents al ascender hasta 120, prácticamente un semitono, al descender (fig.10 y 11).( entredicho reforzado por el Lab, esencial al martinete y extraño a la escala mayor, detalle este no representado).

Se observa como una sola medida obliga a replantear y sutilizar un modelo resulta aproximadamente válido aplicando criterios subjetivos superficiales.

En las figuras 12, 13 y 14, se contempla el análisis de varios minutos de la raga Saraswati, de la india del Sur, interpretada por Ram Narayan al sarangi; se aprecia el carácter pentatónico de la raga ( sib no es esencial) con jerarquía de primera, segunda y quinta, con perfecta correspondencia con la teoría: la primera es el bordón, la segunda la samvadi (dominante modal), y la quinta la vadi (tónica modal); es decir, a partir de los diagramas pueden reconocerse escala, modo y afinación.

Es sistema descrito, pese a su carácter interactivo, o quizá por ello mismo, constituye en nuestra opinión una valiosa herramienta de análisis musicológico, de manejo sencillo incluso sin formación técnica. Proporciona inmediatamente un análisis interválico e incluso modal. Ofrece en forma visual y numérica inmediatas multitud de informaciones para archivo y tratamiento posterior; es susceptible de modificación inmediata para satisfacer cualquier nuevo requerimiento en su continuo desarrollo.

1 . High Resolution Signal Analyzer Type 2033. Instruction Manual. Bruel&Kjaer, Naerum. Denmark. 1981.

2. Manual de Gw‑Basic (Basíca), versión 3.2 o superior, por ejemplo GWBasíC, Manual de Referencia de Usuario. Tandon Computer España. 1987.

3. Manual del Sistema Operativo MS.DOS, versión 3.2 o superior. por ejemplo MS.DOS 3.2. Manual de Referencia del Usuario. Tandon Computer 1987.

4. Francisco Javier Sánchez González. "Tratamiento de Señales Pseudoperiódicas y estimacion de Parámetros prosódicos". Tesis de Doctorado. E.T.S.Ing.Industriales. 1979.

6. Ismail Hakki Özkan. Türk Mûsikîsi Nazariyati ve Usûlleri.Ötüken Nesriyat. Istanbul,1984.

8. Schroeder,M.R, y otros. "Period histogram and product spectrum. New methods of fundamental‑frecuency measurements", Journal of Acoustical Society of America, vol 43,p.829, 1968.

Estas medidas de tipo estadístico complementan apropiadamente las medidas de tipo puntual, momento a momento, del tono de una emisión.

1. Timbres roncos o sonidos guturales dan un espectro no, de picos sino extenso, que enmascara los picos "de nota".

3. Ausencia de fundamental por filtrado de paso alto en grabación de baja calidad.: se emplea un armónico superior

4. elección de máximo de un pico o de centro de gravedad, como indicativo o puntero de tono.

5. Poca intensidad ada picos bajos, enmascarables por frecuencias vecinas altas.

El método descrito se basa los siguientes supuestos psicoacústicos, los cuales, por habituales, no dejan de ser hipótesis y deben ser por ello explicitados:

1. Existe una proporcionalidad entre tono percibido y pico de espectro proveniente de la transformada de Fourier. Esta proporcionalidad es legítima cuando el tiempo de análisis es similar al que efectúa el oído.

3. La finura y precisión del análisis de un tono es tanto mayor cuanto más tiempo su frecuencia es estable, tanto en el oído como en el analizador. Tonos cortos, o variables en intensidad ( caso del trémolo) o altura( caso del vibrato) dan como resultado picos amplios y poco definidos; pero exáctamnte igual se comporta el oído al atribuir una altura a esos sonidos.

2. Existe una proporcionalidad entre el fundamental y sus armónicos, que son sus múltiplos enteros. Existe entonces también proporcionalidad entre armónicos y tono percibido.

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[2] .....