ESCUELA DE Lingüística, LÓGICA Y ARTES DEL LENGUAJE │
MADRID
C u r s o 1 9 9 4
I. M U S I C A
Programa Provisional
Francisco Javier Sánchez González
Profesor de la asignatura
─────────────────────────────────────────────────────
PROGRAMA de la ASIGNATURA: I, MÚSICA───────────────────────────────────────────────────── Prólogo Breve descripción del Curso Indice0. CONOCIMIENTOS DE SOPORTE
00. MATEMÁTICAS para MÚSICOS. 00a. Conjuntos. 00b. Tipos de Números y su uso en la experiencia humana. 00c. Enteros, Divisibilidad y Primos. 00d. Fracciones. 00e. Constantes y Variables 00f. Potencia, Exponente, Base, Logaritmo. 00g. Algunas propiedades relevantes de potencia y logaritmo. 00h. Representación de puntos en el plano y en el espacio 00i. Distancias y Normas 00j. Disimilitud. 00k. Descomposición de un número en primos 00l. Espacio Vectorial. 00m. Variables y Funciones. 00n. Espacio Vectorial de funciones. 00ñ. Tiempo y Frecuencia. 00o. Funciones Periódicas. Espectro y Análisis de Fourier 00p. Composición de series armónicas. 00q. Algunos breves conceptos de estadística. 00r. Otros conceptos matemáticos útiles en la teoría musical. 01. PSICOACUSTICA. 01a. Por qué psicoacústica en música 01b. El tiempo, el mundo sensible, esp. el sonoro, y la medida 01c. Tonos y frecuencia del fundamental 01d. Intervalos Tonales y su Percepción 01e. Interpretación neurológica de la Altura Tonal 01f. Fenómenos Sonoros musicales 01g. Paso del contínuo al discreto: del Rasgo al Suceso musical. 01h. El Salto perceptivo. 01i. El Umbral de Cambio. 01j. El Suceso musical. 01k. El Cambio. Hipotesis psicológicas 01l. Grado de Ocurrencia 01m.Paso del discreto al colectivo: del suceso al motivo 01n. Una descripción funcional temporal del perceptor musical 01. PSICOESTETICA. 02a. Percepciones de Alto Nivel. Psicoestética 02b. Principios Psicoestéticos 02c. Creación de la forma 02d. Los Números en la percepción y en la Música. 1. INTERVALOS 1a. Intervalos tonales 1b. Medida de Intervalos mediante Fracciones 1c. Armónicos y Espiral armónica 1d. Intervalos Naturales 1e. Medidas Logarítmicas de de Intervalos 1f. El cent 1g. Afinación absoluta y relativa basada en el semitono temperado 1h. Afinación absoluta y relativa basada en la coma Hölder 1i. Composición de intervalos 1j. División y Descomposición de intervalos 1k. Descomposición sistemática de intervalos supernumerarios 1l. El espacio EP. Espacio Vectorial de los Intervalos 1m. Subespacios en EP 1n. Representación en EP y paralelismo con los conceptos musicales 1ñ. El Espacio Melódico, EM 1o. Agregaciones de más de 2 notas. Acordes.2. CONSONANCIA
2a. Conceptos y Teorías de la Consonancia y Disonancia. 2b. Interpretación neurológica de la Consonancia. 2c. Hipótesis sobre Percepción de la Consonancia. 2d. Teoría de la Consonancia de Euler. 2e. Complejidad Primal de naturales y racionales. 2f. Disonancia de dos naturales. 2g. Distancia Melódica y Distancia Armónica. 2h. Disonancia mutua de varios naturales. 2i. Disonancia de varios naturales respecto a otro. 2j. Disonancia de dos frecuencias reales. 2k. Disonancia de varias frecuencias reales. 2l. Disonancia de un timbre armónico 2m. Otras Medidas de la Disonancia. 2n. Aproximación de frecuencias reales mediante racionales. 3. ESCALAS. 3a. Introducción. 3.1. TEORIA. 3b. El concepto de Escala 3c. Definición de escala 3d. Densidad. 3e. Tensión. 3f. Criterios de división de intervalos para formar escalas. 3g. El Tetracordio y los Géneros 3h. Representación triangular de los tetracordios 3i. Estructura de una escala 3j. Disonancia global de una escala 3k. Distancia entre dos escalas (melódica y armónica) 3l. Temperamentos. 3m. Calidad de un Temperamento 3.2. ESCALAS HISTORICAS FUNDAMENTALES. 3n. Generación ( posíblemente histórica) de las Escalas 3ñ. Pentatónicas. 3o. Pitagóricas. 3p. Orientales (Arabes, Turcas, Indias). 3q. Eclesiásticas. 3r. Mayor Natural ( Zarlino) . 3s. Menor Natural. 3t. Cambio de tónica modal y las Escalas Cromáticas. 3u. Temperadas. 3.3. ESCALAS PRACTICAS. 3v. Las escalas de los músicos. 4. MODALIDAD 4a. Introducción 4b. Un modelo de música modal. 4c. Escalas de los Modos. 4d. Interpretación musical de Intervalos y Escalas 4e. Micromelodía. 4f. Conclusiones. 4g. Ethos y Modos. 5. ARMONÍA 5a. Planteamiento del tema 5b. La Consonancia en la Armonía 5c. La Cadencia 5d. Principios Básicos de Conducción de Voces, rededucidos. 5e. Visión geométrica de una pieza armónica en los espacios EM y EP. 6. MICROTONÍA. 6.1. SISTEMAS MICROTONALES.6a. Divisiones iguales de la octava
6b. Algunos Sistemas Microtonales. 6c. Micromelodía 6d. Control de Tono en Instrumentos Orientales. 6e. Notaciones Microtonales. 6.2. Las ESCALAS REGULARES ARMÓNICAS. 6f. Introduccion 6g. Las Escalas Regulares 6h. Propiedades. 6i. Diagramas de Consonancia. 6j. Conclusiones. La Música es Prosodia sobre Universales.─────── Proponiéndonos estudiar la música, o, más bien, aquellos aspectos de ella susceptibles de ser objetivados, habremos de reflexionar sobre lo que la Música es y sobre lo que la diferencia de otras artes u oficios. Evidente su carácter sonoro, esto la contrapone a las artes visuales, que quedan fuera de su ámbito (aunque sensaciones concomitantes como repetición, motivo, forma, etc, establecen puentes entre una y otras : pero esto es asunto más general cubierto por la sinestesia). Circunscribiéndonos pues a lo sonoro, encontramos un grupo formado por la palabra y la música, y dentro de la primera, pero cercana a la segunda, la poesía. Pero enseguida encontramos una radical diferencia, en cuanto a la expresión: mientras en la palabra se alude a conceptos o ideas del mundo externo (lo que constituye la Lengua) en la música se alude a nociones no conceptuales. Podemos decir que en la palabra se cuentan cosas de fuera mientras que en la música se cuentan cosas de dentro. ) Qué define pues a la música y la diferencia de esas compañeras, a las que dio quizá el ser, o de las que quizá proviene? Si consideramos únicamente las características o rasgos sonoros que en palabra y música intervienen, observamos que ambas emplean como elementos relevantes el tono o altura del sonido, la intensidad de éste, su fragmentación en unidades de duraciones diferentes y el timbre de estos segmentos, formando una cadena o serie de segmentos cambiantes, al servicio de lo expresado. No siendo diferentes los rasgos sonoros que caracterizan a palabra y música, ha de ser su uso quien lo hace. Y especialmente la introducción de la Medida es lo que separa la música de artes afines. En efecto es el Número, la medida de esos rasgos, lo que hace música a la música, introduciendo Relaciones, Razones entre esas medidas: ello da la lugar a la Armonía en sentido general y también en el específicamente musical, como veremos. Pero es ya comprensible de manera inmediata, que las relaciones sencillas entre duraciones de los elementos o unidades que llamamos notas o golpes, da lugar a una regularidad de la que parten los sentimientos y las nociones de tempo, parte, compás, ritmo, etc. Y desde el punto de vista del tono, igualmente las relaciones sencillas de frecuencia dan lugar a los intervalos obligados o preferentes (octava, quinta, tercera,...) para construir escalas y acordes. Son estas regularidades las que resuenan dentro de nosotros, las que nos dicen cosas. Es decir, que la Música, para devenir ella misma, renuncia a la infinita y contínua variedad de duraciones y tonos, y se limita voluntariamente, para construir, en este universo limitado, formas más y más complejas. Y esto no es negado por la evolución de formas y estilos: estos varían, pero sólo para ser sustituídos por otros nuevos. ¿Por qué esta autolimitación? Nuestra respuesta puede estar en la percepción o aparato unido a cada sentido a través del cual percibe. Es un hecho evidente que percibimos medidas subjetivas de los rasgos citados ( de ahí su uso) y parece un hecho probado que sólo somos capaces de percibir relaciones sencillas es decir de 1 a 2, de 2 a 3, más difícil de 5 a 4 (recuérdense los compases habituales). Así que en música empleamos relaciones que podemos percibir, y en la percepción de tales relaciones, y de alguna manera que todos (casi todos) sentimos pero que no podemos explicar ( lo inefable), el espíritu se regocija. Pero cuando hablamos de números en la percepción humana, debemos tener en cuenta aquellos mecanismos que nos describen cómo el oído‑mente percibe ese número. For ejemplo sabemos que las octavas son un poco más grandes que el intervalo de frecuencias representado por la proporción 2 a 1 (1200 cents), principalmente en los rangos extremos (afinación del piano). Por lo tanto una octava de proporción 1.01 puede ser apreciada como justa por el oído, en esos rangos, y todo análisis de intervalos debe tener en cuenta esta 'distorsión'' que la percepción impone al número aritmetico. Así que la percepción influye en esas medidas, y en los números por lo tanto. Son siempre el 2 y el 3 quienes actúan, pero el 2 y 3 percibidos, que pueden no coincidir con la medida física. Número, vibración y oído, están pues inextricablemente unidos en la Música, o mejor, la hacen. Creemos pues que un acercamiento científico a la Música debe utilizar métodos objetivos de medida: pero estos métodos deben incluir la función de transferencia ( o filtro modificador) de la percepción humana. Sin embargo, una vez establecido ese necesario universo numérico, en forma de ordenación que sustenta el edificio musical, necesita la Música para devenir arte, conservar o introducir una cierta libertad, traducida en modificaciones que, sin atentar, a la estabilidad de ese edificio, introduzcan variaciones o matices que despiertan la sorpresa, el interés y la expresividad de compositor e intérprete. Podemos pues concluir que en la Música (y creemos que en todas las artes ) coexisten necesariamente, en conflicto permanente, esos dos conceptos, orden y libertad ( o libertad y orden, según la ideología del momento); el orden la hace comprensible, y la libertad, amable e interesante. Pero sólo orden aburre, y libertad sola no expresa nada, y aburre igualmente. Como reza la primera página de estos apuntes, la Música es Prosodia (libertad expresiva) sobre Universales (número y orden). El músico práctico, consciente de la extraordinaria complejidad del universo musical, tiende a desconfiar de la noción de número y otras nociones sencillas, considerándola simplista y, en todo caso, como una limitación a su libertad creadora, conquista del mundo occidental al que pertenece. Sin aludir al mundo oriental, más tradicional en su conjunto, el cual incide sobre todo en una fidelidad a unos principios (orden), hay que decir que ese músico occidental hace uso sin saberlo a veces, de esa sencillez numérica que podría desdeñar. Cuando hace sonar una quinta justa, o cuando compone, toca o percibe un compás de 3 por 4 está haciendo números sin saberlo (define Leibnitz la Música como "un oculto ejercicio aritmético del alma, inconsciente de su contar"). El músico práctico sabe, pero no sabe que sabe, como no sabe la libélula de su volar, pero vuela. El objeto de la teoría es precisamente poner de manifiesto este saber en forma de conceptos. Un ejemplo de orden necesario en la actividad más lúdica espontánea e 'inocente': cuando los niños juegan, siempre juegan a 'algo'; ese 'algo, es en definitiva un conjunto de reglas del juego, alas cuales los jugadores se someten voluntariamente para 'gozar más', ya que un juego sin reglas les aburriría enseguida. Cuando en el juego se dice que 'eso no vale, ) no quiere esto decir que se han violado las reglas del juego colectivo?. Así pues, hasta los partidarios de una concepción 'ludica de la música, deben, tomando ejemplo de sus maestros, los niños, admitir cierto grado de regulación y orden. Véase otra ilustración de lo anterior. En los arboles de la figura, ejemplos de orden y número plasmados en forma, como la música, se observan ejemplos extremos de orden cuyo rigor ahoga la impresión estética, y de desorden que desconcierta y ahoga también lo estético. Entre ellos hay un grupo en el que, si bien el juicio y elección no es fácil ya que afecta a lo social, histórico e individual, se siente sin embargo que es en ese grupo más equilibrado donde coexisten armónicamente orden y desorden, número y su violación: véase la figura y opinese sobre ello. Es inevitable que en un curso como el presente sean los elementos de orden, de sistema, de organización los que primen sobre los de desorden y libertad, mucho más elusivos por su naturaleza; queden por lo menos las líneas anteriores como un reconocimiento de esa dualidad necesaria para la estética. En el curso que presentamos recorreremos estos conceptos e intentaremos desarrollar sus implicaciones para profundizar en nuestra comprensión de lo musical. Porque ésta es en nuestra opinión, la mision y el método del musicólogo sistemático: partir del hecho musical, abstraer un modelo y sus partes, analizarlas una a una con todas las herramientas prácticas y teóricas que puedan ponerlas de manifiesto y devolver todo esto a la música para comprobar si mejora nuestra comprensión de ella y se potencia al tiempo su desarrollo. Si estos estudios contribuyen a ello, y a que esta rama de la músicología, tan abandonada en nuestro país, se encardine en algunos estudiosos que la amplíen, habremos cumplido una tarea satisfactoria. Madrid, febrero 1994
Prólogo
Breve descripción del curso ─────────────────────────── Este curso describe las investigaciones y reflexiones personales de su autor durante el período 88‑91, en el LTPM (Laboratorio de Tratamiento de Palabra y Música, en el C.S.I.C), sobre usos y aspectos fundamentales de la Altura Tonal en la Música. asimismo aprovecha la experiencia y filtro que aportaron los cursos 88‑89, 89‑90, 90‑91, 91-92 y 92-93, sobre todo el segundo, de los Cursos de Doctorado en Música em la UAM. Tras una introducción a los conceptos elementales de matemáticas que juzgamos indispensable para recordar y acostumbrar a alumnos de muy variada procedencia y formación a un lenguaje y herramientas comunes, hablamos brevemente de la influencia y características de la percepción de los rasgos musicales, especialmente la altura o tono, tema y objeto principal de este curso. Estas introducciones constituyen el tema 0. El tema 1 trata del intervalo, concepto fundamental en la altura tonal. Medidas y unidades de intervalos, operaciones entre ellos, son revisados en detalle, facultando al alumno para su cómodo manejo y comprensión. Acaba el tema con una visión original del mundo interválico: el espacio EP, o espacio primal de intervalos, que refleja perfectamente las ideas y prácticas habituales, unificándolas en una plasmación coherente; prepara además este espacio el tema que sigue. Consonancia y disonancia constituye el tema 2, y es el central o vertebral de este curso. Basada en la genial medida de Euler, que une el número, la percepción y la música en un todo armonioso y comprensible, se definen nuevas medidas de la disonancia, la Disonancia Primal, la Disonancia Ponderada de grupos de notas, todas ellas basadas enlas distancias en el espacio EP antes definido. Incluso se hace una pequeña incursión en el mundo poco explorado del timbre al definir la Disonancia Tímbrica; esperamos desarrollar esta línea en cursos posteriores. El mundo muy tratado de la Escala es revisado en el tema 3, primero con una visión teórica, definiendo nuevas magnitudes que reflejan su gestación y comportamiento, como Densidad, Tensión y Estructura Jerárquica; después se pasa revista a las principales escalas históricas, citando sus intervalos, su disonancia global y otros caracteres. Se clasifican estas escalas contraponiendo aquellas que proceden de cálculos de relaciones sencillas o naturales (todas las antiguas) a las que provienen de cálculos no naturales (prácticas o especulativas) como las temperadas. El tema anterior introduce el 'más musical' de la Modalidad, tema 4, que trata ese tópico con un gran generalidad, intentando cubrir y relacionar el mundo de la música griega antigua, gregoriano, músicas orientales y folklores. Es posible que ello ayude a comprender y valorar músicas que aún ahora, cuando la armonía ha reinado durante centurias, siguen empleando y desarrollando el Modo como ambiente musical de gran efectividad. El tema 5 intenta aplicar los conceptos anteriores, sobre todo los del tema 2, a una descripción unitaria de la Armonía, incidiendo en los temas acústico‑naturales, y explicando el movimiento armónico, la cadencia, como una contradicción dialéctica entre disonancia y consonancia, o mejor, como evolucion del grado de disonancia. Finalmente, el tema 6 introduce un área poco familiar al músico y musicólogo español: la Microtonía, que amplía al infinito las posibilidades y elementos musicales, la paleta musical, constituyendo un mundo inmenso cuya exploración llevará siglos. Se aluden a las filosofías naturales o temperadas usadas para generar escalas y se citan los sistemas principales, junto con su notación, especialmente el utilizado en el Mozarteum de Salzburgo, con el cual el LTPM mantiene relaciones de investigación. En el desarrollo y forma actual de estos temas han sido de gran utilidad las observaciones y críticas del alumnado, que han filtrado los nuevos conceptos propuestos este curso. No obstante serán necesarias nuevas revisiones antes de llegar a una teoría acabada (ninguna lo es del todo) y, sobre todo, acorde con la experiencia musical, sin cuyo acuerdo, todo lo anterior quedaría como especulaciones numéricas independientes de lo musical, y sin valor en ese campo.
───────────────────────────────────────────────────────────────── E D U C A C I O N M U S I C A L. T E M A A . 1 5 P E R C E P C I O N ───────────────────────────────────────────────────────────────── INTRODUCCION Aunque se ha olvidado muchas veces, la Música ocurre dentro del oyente; su mecanismo perceptivo, su audición, su educación, idiosincrasía, situación emocional, 'hacen' la Música a partir del contínuo sonoro que se le ofrece. Por lo tanto, con algo de extensión se revisan los modos de percibir la música. ─ En especial se revisan los rasgos llamados musicales (tono, timbre, duración, intensidad, revisando especialmente el primero, como percepción individual, y como percepción comparativa: Intervalos y Consonancia, que forman la base de la música desde hace varios milenios. INDICE A.15.1. Fenómenos Sonoros musicales A.15.2. Por qué psicoacústica en música A.15.3. El tiempo, el mundo sensible, esp. el sonoro, y la medida A.15.4 Los rasgos musicales. A.15.4.1. Sonoridad e Intensidad. A.15.4.2. Tono y frecuencia del fundamental A.15.4.3. Cantidad o Duración A.15.4.4. Timbre y Espectro A.15.5. Paso del contínuo al discreto: del Rasgo al Suceso musical. A.15.5.1. El Salto perceptivo. A.15.5.2. El Umbral de Cambio. A.15.5.3. El Suceso musical. A.15.5.4. Grado de Ocurrencia A.15.5.5. Hipótesis sobre Percepción de Cambios y Sucesos. A.15.6.Paso del discreto al colectivo: del suceso al motivo A.15.7. Una descripción funcional temporal del perceptor musical A.15.8. Intervalos tonales. Definición. A.15.8.1. Intervalos Tonales y su Percepción A.15.8.2. Intervalos Naturales A.15.9. Consonancia y Disonancia. A.15.9.1. Teoría de la Consonancia de Euler A.15.9.2. Distancia Melódica y Distancia Armónica A.15.9.3. Disonancia de un timbre armónico A.15.9.4. Hipótesis sobre Percepción de la Consonancia A.15.10. Percepciónes de Alto Nivel. Psicoestética A.15.10.1. Principios Psicoestéticos A.15.11. Bibliografía A.15.1. Fenómenos Sonoros musicales──────────────────────────────────
Detengámonos ahora en la gestación interior de aquello que llamamos fenómenos sonoros. Lo llamamos gestación interior porque es en la conciencia donde ocurre, si bien, con la colaboración (o causa) del mundo exterior. Así, para que oigamos han de producirse varios estados simultáneos: exterior1. una parte de la realidad ha de moverse 2. con movimiento de ida y vuelta, no basta un mero desplazamiento. 3. con una tasa de repetición determinada, no muy pequeña, no muy rápida. 4. con masa y forma suficientes para mover el medio contíguo al móvil 5. no debe haber otros móviles cuyo movimiento enmascare (con su ruido) el anterior.relación mutua
interior6. no debe haber obstáculos entre el móvil vibrante y nosotros 7. debe haber un medio transmisor 8. hemos de estar cercaEn resumen, debe haber vibración, transmisión, audición y percepción. entonces podemos decir que oímos y que 'hay sonido' (detengámonos un instante para considerar que, en efecto, en ausencia de oyentes, no puede hablarse propiamente de sonido). A.15.2. Por qué psicoacústica en música──────────────────────────────────────── ¿Está justificada la introducción de conceptos psicológicos en una asignatura sobre música?. Creemos que sí: más aún, es indispensable. La Música es hecha por humanos para humanos; todos ellos comparten parecidas maneras de oir y percibir lo oído, de modo que lo producido ha de ser compatible con esa percepción. Es perfectamente admisible una música que emplee vibraciones infrasónicas ( de 1 a 20 hz, poer ejemplo), pero esa música sería inaudible, y por lo tanto, no 'es' música. Igualmente una música tan pianísimo que sea asimismo inaudible, o tan fortissimo que cause dolor y no placer (no hablemos de calidad sino de intensidad). Estos ejemplos obvios ya demuestran la adaptación de las producciones humanas a su percepción. Pero hay infinitos ejemplos no tan notorios que revelan lo mismo: por ejemplo la sensación de intervalo está ligada, como veremos, a relaciones entre frecuencias, y no a diferencias; se construye pues la música de acuerdo con ello. Es decir, existe una Función de Transformación que atribuye a cada fenómeno sonoro una Apreciación o Medida Subjetiva, que hay que estudiar para comprender lo percibido. Este estudio no ha sido necesario en la música tradicional, ya que como decíamos, compositor, ejecutante y oyente comparten hasta cierto punto esa Función de Transformación, aunque no sean consciente de ella. Pero conocer los fenómenos en su naturaleza física si es tarea del científico (acústica física), del técnico (por ejemplo en grabación y radiodifusión) y hasta del artista que maneja máquinas como computadores y sintetizadores, y ha de dotar a sus sonidos de unos rasgos (altura, intensidad, duración) de medida determinada, previamente a su audición. ──────────────────────────────┐ Int.Subj. ├ │ ├ │ ├ │ max int ├ / │ subjeti ├ / │ │ ├ / │ ├ / │ │ ├ / │ ├ / │ │ ├ / │ ├ / │ │ no oye └┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┘ umbral umbral Int.Obj. audición dolor Fig. A.15.1: Función psicoacústica. Esa Función Psicoacústica puede dibujarse fácilmente cuando tanto la Variable Objetiva o Física como la Subjetiva o Perceptiva admiten un valor representable por un número (real o natural). Colocando en abscisas la variable objetiva, o Estímulo, y en ordenadas la Subjetiva o respuesta, hacemos corresponder a toda valor de la primera otro de la segunda, mediante un punto. Se obtiene generalmente una curva continua. Por ejemplo para estímulo Intensidad Sonora y respuesta Intensidad Subjetiva encontraríamos una figura como la contigua. Pero hay numerosísimos temas que tienen que ver con la percepción: fatiga e interés, tensión y relajación, expectativas y sorpresa, educación musical; hasta el fenómeno estético, con toda su complejidad y grandeza, es algo que ocurre dentro del perceptor humano, y cae por tanto también en el ámbito de lo psicológico. A.15.3. El tiempo, el mundo sensible, esp. el sonoro, y la medida ────────────────────────────────────────────────────────────── Los conceptos físico‑matemáticos vistos en la sección A.13. pueden ser aplicados al mundo que llamamos realidad, representando con ellos Cantidades que nos surgen en nuestra experiencia. Así podemos representar las Magnitudes del mundo físico (Cualidades que percibimos) con letras, como l, longitud, t, tiempo, p, peso, etc. Elegida una magnitud, es preciso además adoptar una cierta cantidad de esa magnitud como referencia para la Medida. La llamamos Unidad. Si elegimos como unidad de tiempo 'un abrir y cerrar de ojos' y lo llamamos segundo, podemos comparar con él cualquier duración , o sea medirla en esa unidad. Así, diremos que el 'agacharse y levantarse' dura cuatro 'segundos' Otra Cualidad que percibimos y medimos es la Repetición. recordando un suceso que ya se ha producido. La medimos en Veces, concepto que queda recogido en el número natural, pero que podemos ampliar al real (cinco veces y un tercio). Percibimos esa cualidad con la Vista (sucesiva o simultáneamente) y con el Oído (sucesivamente). Tengamos en cuenta ya desde ahora que para que se se repita algo (que llamamos suceso) primero debe existir, es decir algo debe empezar y acabar, lo que le dota de existencia y de una duración; detallaremos esto más adelante. asimismo veremos que la repetición estricta es imposible (el segundo tiene un precedente, el primero no). En el Tiempo conviene distinguir entre el Absoluto, como la fecha y la hora, y el relativo a otro, que llamamos Duración, diferencia de dos tiempos absolutos. Otras percepciones temporales en la Música son la Simultaneidad y la Sucesión, ligadas al tiempo absoluto. La repetición de sucesos con intervalos iguales da lugar a conceptos musicales como Ritmo y compás. En la percepción podemos atribuir al mismo fenómeno diferentes cualidades, dependiendo del Rango o tamaño de los valores de la magnitud correspondiente: en la vista la repetición pasa a ser Textura cuando la distancia entre objetos repetidos está cerca del poder discriminador del ojo. En el oído percibimos como Duración repeticiones a intervalos de un segundo (frecuencia 1hz), pero como Tono repeticiones a intervalos de una centésima de segundo (100hz). Resulta pues que los elementos fundamentales de la Música (al menos hasta épocas recientes), el Tono y la Duracion, nacen de una misma magnitud y una misma herramienta anímica: el Tiempo y la Memoria, aunque trabajando en rangos o dominios diferentes. Debido a su importancia, trataremos aquí sobre todo del aspecto tonal, dejando tiempo e intensidad (ritmo) para el tema A.5. asimismo describiremos los principales mecanismos de percepción con influencia en la audición y comprensión natural del habla. Con ello adquirimos una orientación sobre las medidas 'naturales' (rasgos perceptivos) que el par oído‑mente realiza al percibir y una vía por lo tanto para plantear qué parámetros correlativos deben ser calculados en la señal palabra. A.15.4 Los rasgos musicales. ──────────────────────────── Los rasgos tradicionalmente considerados como caracterizadores de un sonido musical son altura (tonal), duración, intensidad, y timbre. En el habla existe una jerarquía diferente según el aspecto lingüístico que nos interesa. Está claro que en el semántico o de los significados de las palabras, el timbre es el principal, seguido probablemente por la altura, duración e intensidad. En cambio, en la música es quizá el tono y sus relaciones el que prima frente a otros; otras opiniones sustentan que es el ritmo el principal. Si representamos en un cuadro los parámetros físicos en horizontal (abscisas) y los rasgos perceptivos en vertical (ordenadas) podemos escribir en las casillas correspondientes a cada par un número que expresa el grado de influencia correspondiente, (por eso hemos llamado a los primeros 'correlatos físicos' de los segundos. El signo se incluye cuando ambos parámetros admiten un sentido, son unidimensionales, como los tres primeros. Para los dos cuartos (timbre y espectro) no hay sentido positivo o negativo. Este cuadro, solo aproximado, muestra la interrelación de todos los rasgos, aunque la contribución más importante es la de la diagonal principal, única considerada habitualmente.9. hemos de tener nuestro oído en buen estado 10. hemos de estar atentos 11. tiene que interesarnos lo que 'suena'duracion intensidad fundamental espectro cantidad +10 +1 +1 1 sonoridad +3 +10 +5 1 altura +1 ‑1 +10 2 timbre 1 2 3 10Otro concepto importante es el rango de variación del correlato físico para el que existe sensación‑percepción del rasgo; ya que es claro que no puede atribuirse tono a frecuencias de 30 khz. Y dentro del rango perceptible, consideraremos el rango propio del habla, que es más limitado, está contenido en el absoluto.
Por otra parte, también es importante cómo cambia el rasgo al cambiar el correlato, la llamada función psicoacústica. Esta variación es logarítmica en primera aproximación, con lo que , si representamos esta función tomando como abscisa el correlato, pero en escala logarítmica ( o sea, las distancias son los logaritmos del correlato, pero los valores son los del correlato ), y en ordenadas se representan saltos 'constantes' del rasgo, la función es una recta, de pendiente positiva. En la fig. A.15.1 vimos una función psicoacústica en escala normal, no logarítmica. Esta recta, que llega al eje de abscisas (al que corresponde en ordenadas el valor 0 perceptivo, o umbral de percepción) y al crecer se interrumpe en algún punto, el techo de percepción, que corresponde, bien a la no percepción, bien al dolor, bien a la indefinición del rasgo. Veamos ahora los rasgos uno por uno, con especial atención a su comportamiento en el producción‑percepción de la música y habla humanas. A.15.4.1. Sonoridad o Intensidad.────────────────────────────────── Las frecuencias bajas (menores que 1000 hz) son tanto menos sonoras cuanto menor es esa frecuencia. Y las muy altas, (mayores de 4000 hz) lo mismo, pero al aumentar: se oyen poco las frecuencias extremas, hasta desaparecer a 20 hz, aproximadamente, por debajo y a 20000, por arriba. Así, la intensidad de cada componente del espectro (ver más abajo) se verá afectada por un peso dependiente de su frecuencia, de modo que armónicos fuertes situados en formantes de frecuencia alta de verán favorecidos en sonoridad (intensidad perceptiva). Tal es el caso de /i/, que nos suena con intensidad parecida a /a/, pese a que la amplitud de la señal temporal de la primera, no llega a la mitad de la de las última. Una estimación fina de esa sonoridad debe tener en cuenta este hecho. Sin embargo, por su sencillez, tomamos como sonoridad la intensidad en Decibelios, ya que la percepción de los rasgos es en primera aproximación, logarítmica (ley de Weber). Calculamos esta intensidad en dB como: Intensidad (dB) = 10 .log (P1/P0), siendo P1 la potencia física de la señal y P0 una potencia de referencia. correspondiente al umbral de audición a 1000 hz. La Sonoridad, parámetro perceptivo, no coincide exactamente con la Intensidad: hay menos rango de intensidades en graves y agudos, con lo que los saltos perceptivos son mayores. Diremos solamente que en las zonas medias se percibe que el sonido duplica su sonoridad cada 10 dB aproximadamente, lo que corresponde a los saltos de matiz habituales; pp, p, mf, f, ff, etc. A.15.4.2. Tono y frecuencia del fundamental──────────────────────────────────────────── Diferentes tipos de señal periódica presentan espectros diferentes, lo que repercute inmediatamente, como es sabido, en el Timbre del sonido. El Tono, en cambio, está ligado a la frecuencia del Fundamental de la serie de armónicos. Por último la sensación de intensidad reside en la amplitud media del conjunto de armónicos. Pero la relación entre estas magnitudes y sus correlatos perceptivos no es simple, como apuntábamos más arriba (A.13). Así que para un sonido con tono, éste está ligado aproximadamente al fundamental, esté presente o no, o más bien , al máximo comun divisor de los armónicos presentes. Es decir, si hacemos sonar conjuntamente sonidos simples de 400, 500 y 600 hz por ejemplo, oiremos un tono igual al que oímos al hacer sonar un sonido simple, senoidal, de 100 hz. Esto, que en el dominio de la frecuencia, hablando de componentes senoidales, parece más bien misterioso, deviene claro al pasar al dominio del tiempo: en efecto, la forma de onda resultante de sumar varios senoides de períodos divisores de uno (fundamental) tiene invariablemente un período igual al de ese múltiplo fundamental,o sea que el período resultante es el mínimo común múltiplo de esas frecuencias. y ┤ una suma de armónicos de f=1/T A ┤ ┤ ┤ . . ┤ .. . . .. ┤ . .. . . . .. 0 . ────── . ──┬─ . ─ ─── ─── . ─────┬──────── . ────── . ─ ┤ .T/4. T/2 3T/4 T ┤ .. . . t ┤ . . ┤ . . ┤ . . La adición de más y más armónicos (múltiplos de la frecuencia del fundamental) no hace más que complicar, rizar, sacar picos en esa forma de onda, pero no altera su período. Por ejemplo la siguiente forma de onda de período T podría tener un espectro como el de la figura adjunta, en la que se percibe la repetición de la forma de onda a partir del instante t = TLos sonidos de frecuencia baja nos producen una sensación honda, redonda llamada grave o baja. Los de frecuencia alta, sensación superficial, irritante, preciso llamada aguda o alta. Vemos que agudeza del tono y frecuencia varían conjuntamente: cuando sube una sube la otra y viceversa. Puesto que la sensación admite una descripción poco precisa al hablar de tonos emplearemos sus frecuencias correspondientes: pero no debemos olvidar que tono e intervalo son conceptos subjetivos, nacidos de la percepción.
De modo que, aunque suelen considerarse como sinónimos, frecuencia de vibración y tono no son conceptos intercambiables. El oído, con sus funciones fisiológico‑psicológicas percibe y juzga la vibración, la traduce a sensación‑percepción. Esta traducción ha de ser estudiada y considerada antes de deducir leyes sobre consonancia y armonía, y fue tratada en nuestro primer curso de Acústica musical. En cuanto al sentido o dirección atribuido al tono, solemos decir que este 'sube' cuando la frecuencia de vibración aumenta y que baja cuando disminuye ( y así se representa en el pentagrama), pero no debe olvidarse que se trata de un convenio, como lo prueba el hecho de que algunos los instrumentistas de cuerda llaman 'bajar' a acercarse al puente sobre el mástil, lo que proporciona sonidos más agudos. Pero en el mundo de la música y de la audición, no existen señales periódicas, ya que haría falta un tiempo infinito de escucha; en este mundo práctico, perceptivo, basta que la señal sea periódica en un cierto intervalo de tiempo, pequeños unos cuantos períodos, para que la sensación de tono aparezca en nuestros oídos. Más aún, aunque es ese intervalo de tiempo en que oímos la señal no sea exactamente periódica, se conserva la sensación de tono; si bíen para grandes variaciones de escucha más y más ruido junto con el tono, hasta que se diluye esa sensación en ruido. Por lo tanto las señales verdaderamente interesantes para la música son las Señales Pseudoperiódicas, o aproximadamente periódicas en un cierto intervalo de tiempo. Con ellas se construyen gran parte de los sonidos musicales y se edifican las relaciones tonales que constituyen parte tan importante de la música. En lo que sigue, cuando hablemos de frecuencias y sus relaciones, nos referiremos siempre a esta pseudoperiodicidad o periodicidad limitada ( ya nos referimos a esto en A.13.6.1 y se mostraba en las figuras A.13.6 y A.13.7). En el habla, la curva de tono o melodía constituye el elemento primordial de la prosodia, y contiene una riquísima información en todos los niveles de la lingüística (léase A.11.3. a este respecto). A.15.4.3. Cantidad o Duración ────────────────────────────── Resulta muy difícil evaluar cómo la percepción atribuye duraciones a los segmentos de que consta el devenir sonoro musical; para ello hay que saber primero cómo la percepción segmenta la señal en cadenas de sucesos. Ni siquiera estamos convencidos de que lo haga, pudiendose quizá reconocer las palabra y frases musicales mediante una percepción global, un timbre colectivo para el total de la emisión. La atribución de una cantidad, o duración perceptiva, a una nota, sílaba o golpe, es compleja, pero podemos afirmar que una vez establecida la unidad (véanse los párrafos sobre Cambios y Sucesos), la percepción es aproximadamente logaritmica: ello quiere decir que se perciben cambios relativos: a ello alude la nomenclatura habitual, que usa nombres de figura para duraciones en relación de doble o mitad: blanca, negra, corchea; ello indica su importancia perceptiva. A.15.4.4. Timbre ───────────────── El timbre es en realidad un rasgo que agrupa todas las características no incluídos en los demás, e incluso alguna sí incluída. Aludiendo al 'color' del sonido, depende tanto de características que se describen mejor en el dominio temporal (transitorios), como de las definidas preferentemente en el dominio frecuencial, como sonidos estables (vocales y nasales, por ejemplo), si bien sólo este último dominio frecuencial suele ser considerado como parámetro físico ligado al timbre. En el lenguaje corriente, incluso especializado en tratamiento de señal, se tiende a considerar conceptos equivalentes timbre, espectro y transformadas de Fourier, lo cual implica confundir conceptos perceptivos con otros meramente formales y matemáticos. Y no es solución asegurar la diferencia de esos conceptos: estamos obligados a establecer su relación, con vistas a aproximarnos a la estimación perceptiva de un timbre mediante una transformada de la señal correspondiente. Establezcamos desde ahora las siguientes premisas: 1. Timbre es una cualidad perceptiva de un sonido; nos permite distinguirlo de otros, incluso con igualdad de otros rasgos, como duración o cantidad e intensidad (envolvente), tono, etc. según se vio en la seccion anterior. 2. El timbre está relacionado con el contenido frecuencial de una señal estable o permanente: el cómo es una cuestión a dilucidar. 3. La cóclea reacciona a las frecuencias en zonas específicas, de modo que al crecer la frecuencia, se aleja la zona correspondiente de la ventana oval, principio de la cóclea. Esta reacción es extensa: una frecuencia pura excita una zona amplia. (tema A.5). 4. Los cambios de tono (simultáneos con los cambios de fundamental y armónicos) no producen un gran cambio de timbre, si no son grandes ( un 40%, por ejemplo). La estructura fina del espectro no influye pues en el timbre, pero sí las grandes zonas preponderantes del espectro. Estas zonas, correspondientes en el habla a la posición de boca y órganos vocales, son conocidos como Formantes, que son considerados como los 'responsables' del timbre o color de los fonemas sonoros (con tono) (ver A.11.6). En la música se producen también estos formantes en los instrumentos musicales: presentan zonas de frecuencia características del instrumento y su calidad. Influye asimismo el espectro excitador (tema A.13) y la envolvente o evolución temporal de la intensidad en un sólo suceso. Por lo anterior, tomaremos como estimación del timbre de un segmento de música o canto, al espectro alisado, suavizado, de la señal derivada, con mayor influencia de las zonas preponderantes. A.15.5. Paso del contínuo al discreto: del Rasgo al Suceso musical. ────────────────────────────────────────────────────────────── Conviene detenerse ahora en la gestación interior de lo que llamamos suceso en general, y suceso sonoro en particular. Lo llamamos gestación interior porque es en la conciencia donde ocurre, si bien, con la colaboración ( o causa) del mundo exterior, como se aludía en A.15.1. ) Qué es un suceso ? algo que ocurre. Pero ) no ocurre algo continuamente ?. Es claro que para que digamos que ha pasado algo, para que por ejemplo un periodista decida contar algo, hace falta segmentar partes de toda la ocurrencia general. Y estas partes se seleccionan porque hay un aspecto interesante, diferente, anormal, es decir, que cambia bruscamente respecto a lo habitual. Por ejemplo un accidente de circulación es un cambio en las condiciones normales de circulación, junto con un posible cambio en la salud de los usuarios. Pero pasemos ahora a la música. Toda música es percibida ( y pensada) como un conjunto de hechos poco numerosos combinados de maneras diferentes. Estos hechos son sonidos a los que dotamos de una existencia limitada en el tiempo; sentimos que comienzan y que acaban. Así la música cobra un aspecto similar a la palabra, en cuanto sucesión ( o simultaneidad) en el tiempo de un número limitado de ocurrencias o sucesos. Nuestros conceptos de notas, golpes de ritmo, acordes, incluso ruidos, se adaptan a ese enfoque. A.15.5.1. El Salto perceptivo.────────────────────────────── Para que un sonido tenga principio y fin es indispensable que esos límites de su existencia sonora, por decirlo así, estén marcados de manera perceptible. Son evidentes el crecimiento desde el silencio y el apagado hasta el silencio. Pero hay otros métodos menos evidentes: por ejemplo, cualquier cambio claro y rápido de alguna característica perceptible del sonido es notada como fin del sonido anterior y principio del siguiente, por ejemplo, cambio de tono, o de timbre. Encontramos ya el valor decisivo que el cambio o salto perceptivo tiene para la segmentacion perceptiva del sonido en unidades o segmentos parciales (piénsense en notas) dentro de las que esos rasgos perceptivos son sentidos como constantes. El Salto perceptivo es pues el germen de toda obra musical y no musical. Incluso el sonido mismo es movimiento, cambio, salto de posición. Definamos algo mejor este concepto. Puesto que es evidente que en cualquier sonido todos los rasgos (altura, intensidad, timbre, etc) varían, ) cuando decimos que hay un salto perceptivo ? Podemos representar la evolución de un rasgo cualquiera, por ejemplo la intensidad (en ordenadas) en el tiempo ( abscisas ), segun se hace en la figura A.15.1. Pero, para acercarnos más a la percepción, como decimos en otro lado, representaremos preferentemente el logaritmo de la función. Podemos además representar a partir de esta figura, otra en la que representamos los cambios o saltos de ese rasgo (debajo). En este caso la constancia o no cambio del valor del rasgo proporciona un valor nulo en nuestro segundo gráfico, mientras que obtendremos ordenadas tanto más grandes cuanto mayores sean los cambios. Este segundo gráfico representa esencialmente la derivada, o velocidad de variación, del gráfico anterior. En este caso la diferencia de valores, salto, representa realmente el logaritmo del cociente de valores del rasgo. Este logaritmo será pues cercano (proporcional) a la sonoridad en decibelios si el rasgo es la intensidad, al intervalo en cents si es altura tonal (véase más arriba para sonoridad y A.13 para tono) ya salto de figura (por ejemplo de blanca a negra, o de negra a corchea) si es duración ( A.15.4.3.). A.15.5.2. El Umbral de Cambio.─────────────────────────────── Volviendo al sentido y tamaño de los cambios, observamos cambios pequeños y grandes, siendo estos últimos simplemente más grandes que los otros. Hay pues un umbral o límite inferior de salto, por encima del cual se siente cambio, y por debajo, no. Así que la atribución de grande o pequeño depende de ese umbral que separa grande de pequeño. De esta manera serán considerados saltos decisivos, perceptivos, aquellos que superan el umbral, y saltos no perceptivos (( imperceptibles!) los que no. Nótese además la importancia decisiva del tiempo en esta gestación del cambio perceptivo: un cambio lento no será percibido como salto, pues se produce una adaptación progresiva al valor del rasgo que excluye toda sorpresa. El cambio ha de ser rápido; y esta rápidez viene dada por ese cociente de magnitud de cambio por el tiempo transcurrido: velocidad de variación del rasgo, reflejada el segundo gráfico. Observaremos que el número de sucesos atribuíbles a un mismo segmento musical dependerá directamente del umbral: si lo colocamos muy alto, no habrá ni siquiera un suceso, no hay cambios que alcancen ese nivel. Si muy bajo, cualquier cambio dispara el mecanismo de cambio (salto limitador). ) Quien coloca pues ese umbral? la percepción. y ) como?. a partir del contexto musical donde transcurre la melodía, contexto dado por el estilo musical de la época y lugar, a partir de cómo ha interiorizado el individuo oyente estas reglas (es decir, influye la cultura musical), y a partir de las condiciones de escucha (ruido ambiente, atención, etc). No se trata de que no se perciban en absoluto otros cambios que los extremos de los sucesos, sino de que se les atribuye a aquellos un significado diferente, el de matiz, modificación; pasan a ser adjetivos, mientras que los anteriores son sustantivos. Por ejemplo, consideremos el rasgo altura tonal de un canto. El umbral de salto depende del tipo de cultura musical que emana e interpreta ese canto: saltos de un semitono serán admisibles como matiz en una música pentáfona, mientras que en una escala de 72 notas (como las de Carrillo, o Haba), ese intervalo es una 'sexta'(salto de seis teclas o grados). Un cuarto de tono puede será ignorado en la música occidental, mientras que en la árabe puede ser un cambio de grado (de sensible a tónica en el modo segah, por ejemplo). Cambios de tono menores que los intervalos de una escala serán sentidos como matices. El vibrato, por ejemplo, no se siente como cambio de nota, sino como matiz del sonido; si se hace mayor, puede pasar a ser percibido como trino, que ya es un cambio alternativo de nota. Por otra parte, la percepción de sucesos seguidos precisa una duración mínima para ellos, o sea, una separación mínima entre cambios. Esto podemos llamarlo resolución o poder separador del perceptor respecto a ese rasgo ( su estudio nos alejaría demasiado de estas notas): si tocamos sonidos seguidos y muy cortos, cien por segundo, ya no oiremos sucesos, sino un tono, el correspondiente a 100 vps: hemos entrado en otro dominio, el del tono o altura musical. A.15.5.3. El Suceso musical. ──────────────────────────── Definiremos como Suceso musical al segmento sonoro que tiene lugar en el intervalo de tiempo que transcurre entre dos saltos perceptivos, significando pues cada uno de esos saltos, el fin del suceso precedente y el comienzo del siguiente. O bien, el suceso sonoro es el sonido percibido entre dos saltos mayores que la separación del código musical que les ambienta, y suficientemente alejados en el tiempo entre sí. Magnitud del cambio, código musical y duración son características decisivas. ¿Ejemplos de sucesos musicales? están en toda la música, son la música: notas, frases, periodos, temas, sonatas, sinfonías, concierto, acordes, cadencias, modulación, adorno ... Conviene hacer notar que, cuando hablamos de rasgo de un suceso nos referimos a algo cualitativamente diferente del rasgo en general: en efecto, la percepción de un segmento o tramo sonoro como un suceso entraña ademas que se atribuye al suceso entero un valor de los rasgos anteriores, valor que representa un resumen o media (siempre perceptiva) de los valores que el rasgo haya tomado 'durante' el suceso. Llamamos nivel 1 de rasgo al del suceso, siendo el 0 el del rasgo en bruto, antes del suceso. Estos valores no serán ya percibidos en su variación sino globalmente atribuído al suceso. Piénsese en una nota de un instrumento musical: existirán desde el punto de vista físico variaciones de frecuencia fundamental, de intensidad (envolvente), incluso de timbre; y sin embargo se tiende a dotar al suceso de un solo valor para cada rasgo, el tono de una nota, su intensidad, etc. El rasgo del suceso es un representante del rasgo temporal. En lo que sigue nos centraremos sobre todo en los sucesos atómicos o puntuales, las notas o golpes de ritmo, que llamaremos simplemente sucesos. A.15.5.4. Grado de Ocurrencia ───────────────────────────── El sonido, como sabemos, pero olvidamos con demasíada frecuencia, es algo que se oye; pero esta actividad implica unas condiciones fisiológicas y psicológicas. Suponiendo las más obvias (cercanía intensidad, rango de frecuencia, etc) existe una de ellas exclusicamente psicològica: la Atención. Si no atendemos, si no centramos nuestro interés en algo que ocurre, entonces no ocurre, ya no ocurre. Puesto que el interés y la atención dependen de la novedad de lo que esta ocurriendo, podemos deducir que el grado de ocurrencia instantánea de un suceso disminuye gradualmente a medida que aumenta su duración, ya que ello supone que la última novedad, el principio del suceso, ocurrió hace más y más tiempo. La curva o función que podemos llamar Grado de Ocurrencia u Ocurrencia de un suceso varía a lo largo de su duración física, decreciendo a partir de un máximo inicial (sorpresa). En cierto sentido, pues, todas las notas son percusivas, ya que esta curva de interés u ocurrencia presenta una envolvente de ese tipo; esto refuerza o coincide con la relativa indiferencia (sólo relativa) a la duración física de una nota, que equipara en cuanto a 'música' las notas tenidas a las picadas, las procedentes de instrumentos contínuos (violín) a los percutidos (guitarra). 'largos'. De hecho la notación es similar. Pero además, todas los sucesos y unidades de orden superior (motivos, frases, formas) se transforman gradualmente de ocurrencia en contexto. A medida que crece uno decrece el otro: veámoslo. ├ ├ │ \ ocurrencia / ├ │ \ / ├ │ \ / ├ │ \ / ├ │ \ / ├ │ / \ ├ │ / \ ├ │ / \ ├ │ / contexto \ ├ │ / \ └┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┘ │ cambio tiempo Curva X de la Percepción del Cambio: Ocurrencia y Contexto. La irrupción de un valor diferente del contexto ocasiona sorpresa que crece repentinamente y va decreciendo poco a poco al desvanecerse su novedad. Paralela y simultáneamente la importancia de ese valor en el contexto, nula antes de su aparición, crece a medida que se prolonga ese valor, llegando a constituir todo el contexto si se prolonga indefinidamente. Es decir, todo cambio sorprende primero y pasa a ser normal (( crea norma!) después. Nada es igual pues tras su aparición. Por eso no existe en rigor la repetición: la segunda vez que ocurre un cambio o un suceso no constiuye la segunda vez de lo mismo: el primero no tenía precedente mientras que el segundo sí, el primwero. Un ejemplo meridiano en el arte: Las Meninas es una obra de arte; pero unas segundas "meninas" ya no lo son, son un plagio, pues están precedidas del original. A.15.5.5. Hipótesis sobre Percepción de Cambios y Sucesos.───────────────────────────────────────────────────────── HP.1. La percepción está basada en cambios, está compuesta de cambios. El cambio es percibido como sorpresa. HP.2. El grado de sorpresa de un cambio decrece con el tiempo a partir del máximo inicial. HP.3. El grado de existencia de un suceso depende del contexto. Todo suceso es una confrontación entre su interior y su exterior (contexto). La confrontación se da en el cambio entre uno y otro. HP.4. Todos los sucesos y unidades de orden superior (motivos, frases, formas) se transforman gradualmente de ocurrencia en contexto. A medida que crece uno decrece el otro. HP.5. Toda obra es un conjunto de cambios (sorpresas) percibido como tal conjunto. HP.6. El Cambio es una necesidad psicológica; en el arte, y en el resto de la percepción y de la vida. A.15.6. Paso del discreto al colectivo: del suceso al motivo──────────────────────────────────────────────────────────── Tras el paso del nivel 0 de rasgo al nivel 1, el del suceso, se asocian entre sí esos sucesos para obtener unidades de orden superior; a estas unidades les hemos llamado Motivos (véase A.10.7 ). Estas nuevas unidades admiten a su vez una calificación global en cuanto al rasgo, un valor de rasgo colectivamente asociado a esa unidad: por ejemplo diremos que una frase se repite en el agudo, lo que implica elevación media del tono, aunque algunas notas no estén por encima de todas las del primer grupo; aludíamos a esto en A.10.7.10. La agrupación de unas notas entre si supone a su vez una división o separación entre dos motivos separados: las notas frontera están separadas por der sucesos y por pertenecer a motivos diferentes. Pero los motivos, unidades de orden 2, pueden ser asociados entre sí, formando las categorías tradicionales (período, frase, tiempo, etc, ); y estas nuevas unidades admitirán valores de rasgo a su vez. Estamos pues articulando un universo en principio caótico en un arbol o estructura jerarquizada que permite la adquisición perceptiva del conjunto. Sólo ordenando de esta manera podemos concebir la multiplicidad extenda que constituye el universo en general, y el sonoro, en particular. En el principio era el Caos y vino el Número a poner Orden. Este papel divino esta representado por el Logos griego, cuyo sentido abarca la Inteligencia del Universo, la Lengua, La Razón, Dios, y probablemente muchos más. A.15.7. Una descripción funcional temporal del perceptor musical ──────────────────────────────────────────────────────────────── Consideremos a este aparato como un dispositivo que toma la señal que le llega, la filtra mediante mecanismos fisiológicos (rango de intensidad, de frecuencia, enmascaramiento) y psicológicos) (atención, interés, selección) y al resultado lo somete a múltiples operaciones de las que extrae una serie de medidas que recuerda. Este recordar es un almacenamiento contínuo, que se va renovando lentamente (nuevas elementos desplazan gradualmente los más antiguos) y se establece en varios rangos temporales (ordenes de magnitud) a los que se atribuye incluso diferente cualidad sonora. los rangos son principalmente: contínuo ‑‑‑‑‑‑‑‑ el de los tiempos muy pequeños o frecuencias muy grandes (300 a 20000 hz, correspondientes a ms), dominio del timbre el de los tiempos pequeños o frecuencias grandes (20a 8000hz) o dominio del tono discreto ‑‑‑‑‑‑‑‑ el de los tiempos medios o frecuencias mediass (1 a 20 hz) o dominio del suceso el de los tiempos grandes o frecuencias pequeñas (100 a 1000 mhz) o dominio del motivo el de los tiempos grandes o frecuencias pequeñas (10 a 1 mhz) o dominio del la forma En todos estos dominios principales el aparato almacenador o menoria, guarda las informaciones que van llegando y las compara contínuamente con las ya almacenadas para ver si son o no similares: si lo son, se 'engancha' en ellas y espera más de lo mismo, se acostumbra, o sea selecciona, afina el correspondiente aparato para percibir mejor esa particular información. Si no lo son se 'desengancha' y abre el abanico de posibilidades de llegada para ver 'por donde salen las cosas'. Por ejemplo, en toda la música modal y tonal se establece en los primeros momentos de la pieza una referencia, la tónica, respecto a la cual son considerados los sonidos sucesivos: el final viene marcado por un retorno a esa nota. Se verá esto al hablar de consonancia. A.15.8. Intervalos tonales. Definición.────────────────────── Definimos un intervalo tonal ( tonal para distinguirlo del intervalo temporal) como la distancia perceptiva que separa dos sonidos con tono. Es decir, junto con la percepción de la agudeza o gravedad de los sonidos con tonos ( que llamaremos tonos) se percibe su distancia o diferencia de agudezas, de manera análoga a como se perciben las alturas de dos personas y además su diferencia de alturas. Esa sensación admite el carácter de grande o pequeño, comparando unas distancias con otras; admiten pues un orden, de mayor a menor, por ejemplo. Aunque menos facilmente, podemos también comparar tamaños de intervalo, incluso cuando sus extremos son diferentes (una quinta en el agudo o en el grave). A.15.8.1. Intervalos Tonales y su Percepción───────────────────────── Se nos presenta en el tono una situación similar a la de los puntos en un espacio y la distancia entre ellos. Los tonos son aquí puntos y los intervalos su distancia, como se ve en la siguiente figura. En la base está la propiedad de la psique de percibir tamaños relativos: en efecto, es fácil percibir la mitad de un objeto grande y la de uno pequeño: pero es difícil percibir esa mitad del pequeño al adosarla a uno grande. En el tiempo ocurre lo mismo: percibimos cómodamente que dos tempos de velocidad de batido doble. Pero no si es una fracción extraña, como 1.123, por ejemplo. Si representamos por puntos golpes en el tiempo y por distancias el intervalo temporal entre ellos, es facil percibir la relación entre los ritmos o tempos: o o o o o o o o o x x x x x o inclusoo o o o o o o o o o
x x x x x x x pero es mucho más difícil: o o o o o o o o o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x que corresponden respectivamente a las relaciones 1:2, 2:3 y 4:5. En la percepción del tono, que reside, como hemos visto, en la igualdad de intervalos pequeños de tiempo de repetición, o sea período, pequeños, del orden de pocos milisegundos, ocurre lo mismo: percibimos mitades o tercios cómodamente. Mitad de algo grande es mayor que mitad de algo pequeño pero se percibe como el mismo intervalo de tono. Y este intervalo es llamado precisamente la Octava. Por igual razón son percibidos cómodamente intervalos entre tonos cuyas frecuencias entán en relaciones sencillas, como tres, cuatro, etc. Son los intervalos consonantes, base de toda la música hasta los últimos tiempos ( y quizá después de ellos). A.15.8.2. Intervalos Naturales───────────────── Volvamos a la serie armónica representada en nuestra Espiral Armónica (A.13.7.4). El primero y segundo armónicos están muy emparentados entre sí en la percepción: son 'el mismo' en cuanto que dos melodías separadas por ese intervalo suenan 'igual' y son empleadas de manera quizá espontánea por hombre y mujer cantando juntos ( a veces emplean la quinta, que ahora veremos). Inmediatamente se perciben como vecinos al fundamental el tercer armónico, razón 3/1, y su octava inferior, llamada quinta ( razón 3/2); entre el tercero y cuarto armónicos existe el intervalo 4/3, llamada cuarta, etc. Todos lor armónicos contíguos forman entre sí razones de la forma (n+1)/n, intevalos que recibieron el nombre de supernumerarios. Todos estos intervalos de producen, como se ve, en la vibración natural de algunos cuerpos, por ello los llamaremos naturales. Sin embargo no dejamos de reconocer que en la naturaleza se producen otros intervalos muy diferentes, entre los parciales de un cuerpo vibratorio, como en todos los cuerpos de dos o tres dimensiones (membranas, placas, campanas, etc.) o incluso de una, como en el caso de barras finas y rígidas. Dejaremos para más adelante la consideración de intervalos entre estos parciales no armónicos) y nos centraremos en los parciales armónicos, base de la inmensa mayoría de la música que conocemos en los tres últimos milenios. La importancia de estos intervalos naturales reside pues más en la sencillez perceptiva o consonancia, que en su naturalidad física. En el tema A.6 se vieron algunas escalas construídas con ellos A.15.9. Consonancia y Disonancia.─────────────────── La consonancia y su opuesta ( la disonancia) son sensaciones de la más alta influencia en lo musical, pues han dado lugar al juego de tensiones y distensiones en lo tonal que han producido melodía, escalas, modos y armonía. Aunque abarca varias sensaciones vecinas (agrado, fusión, suavidad, armonía) la tomaremos en sentido de Pureza‑Simplicidad o Riqueza‑Mezcla: los tonos consonantes entre sí se mezclan y dan lugar a un timbre simple, fácil de percibir, sencillo. No diremos agradable, pues ello implica una prefernecia: y ya sabemos que de la alternancia entre consonancia y disonancia nace la música: no pueden existir una sin la otra. A.15.9.1. Teoría de la Consonancia de Euler───────────────────────── El gran matemático Euler se interesó (entre muchos otras temas) por el problema de la consonancia y elaboró una interesante teoría basada en la descomposición en factores primos de los números que expresan las relaciones de frecuencia de los sonidos entre sí. Si un número natural A es expresado como producto de primos, Euler define su grado de complejidad C(A), como: i ai i A = 1 pi entonces: EC(A) = 1 + Σ ai@ (pi‑1) siendo pi (p sub i) los factores primos de A, ai ( a sub i) sus exponentes, y 1 y Σ los signos de producto y sumatorio. Por ejemplo la complejidad de 8 (2 al cubo ) es 1+3(2‑1)=4 mientras que la de 9 es 1+2(3‑1)=5, es decir 8 es más sencillo que 9, y dará lugar a intervalos más consonantes. El grado (de disonancia) de un intervalo reducido a números mínimos es simplemente el grado del producto de numerador y denominador. Así, la quinta 3/2 tiene el grado 4, el de 6 (1+2+1), la cuarta 4/3 tiene 5 (1+2+2), etc. En general el grado de disonancia de un conjunto de notas, como un acorde, vendra dado por la complejidad del cociente entre el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de sus frecuencias: / m.c.m (a,b,c,.) \ Dis (a,b,c,..) = EC ( ─────── ) \ m.c.d (a,b,c,.) / Por ejemplo, las frecuencias 220,330,440, la‑mi‑la, tienen una disonancia como acorde igual al grado del cociente 3@ 440/110 = 12, o sea 5; y lo mismo los acordes do‑sol‑do o mi‑si‑mi. El acorde mayor en su forma fundamental, como do‑mi‑sol, reducido a cifras sencillas, tendrá siempre unas frecuencias proporcionales a 4‑5‑6, lo que nos lleva a una disonancia igual a la complejidad de 60, que es 9, mientras que el menor, la‑do‑mi, proporcional a 5/6‑1‑5/4, o sea, 10‑12‑15, tiene un grado como el de 60, otra vez 9. Otras inversiones de un acorde pueden variar la disonancia: por ejemplo, el caso sol‑do‑mi, proporcional a 3/4‑1‑5/4, o 3‑4‑5, da 9, como antes ( a partir de 60) pero mi‑sol‑do, 5/4‑3/2‑2, o 5‑6‑8, da 10 (el de 120, 1+3+2+4 = 10). La teoría de Euler parece coincidir bastante bien con el sentimiento común del músico, y por otra parte ofrece una medida de una cualidad aparentemente tan elusiva al número como la consonancia. Es una interesante teoría, y más aún por su sencillez. Es posible encontrar una relación entre esta estimación de esta consonancia aparentemente sólo aritmética, y la percepción basada en la neurofisiología. En efecto, un sonido con tono tiene una frecuencia de repetición de una forma de onda, cuya duración es un período. La audición simultánea de dos sonidos de períodos primos entre si creará una forma de onda cuyo período será el producto de aquellos; es decir habrá un tiempo de concepción simultánea, el período de la onda, tanto mayor cuanto más complicada es la relación entre esos primos. Y la complicación y disonancia sera tanto mayor cuantos más sonidos primos añadamos. En el siguiente párrafo desarrollamos estas ideas. El caso es idéntico, pero en escala temporal mucho menor, al de un ritmo, tanto más difícil de comprender y concebir, cuantos más golpes (irreductibles) contenga. Helmholtz extendió esta relación basada en las frecuencias fundamentales de los tonos de varios sonidos a sus armónicos. Ahora la complejidad se dá entre los componentes de las familias de armónicos de cada sonido, complicándose la cosa; no obstante, él trata el tema en el dominio de las frecuencias, considerando los batidos o chirridos que armónicos de frecuencia vecina producen en el oído. He aquí la disonancia según Euler de los principales intervalos supernumerarios que forman la base perceptiva de nuestras escalas. ─────────────────────────────────────────── intervalo razón cents Euler ─────────────────────────────────────────── octava 2:1 1200 2 quinta 3:2 702 4 cuarta 4:3 498 5 ter.mayor 5:4 386 7 ter.menor 6:5 316 8 tono 9:8 204 8 semitono 16:15 112 11 ──────────────────────────────────────────── El lector juzgará si estos números corresponden a su estimación, recordando, eso sí, que su práctica musical ha influído en su valoración natural o primitiva. A.15.9.2. Distancia Melódica y Distancia Armónica─────────────────────────────── Es decir, dos notas cualesquiera están separadas por dos tipos de distancia: la Intervalica y la Armónica. Si ascendemos por una escala mayor, la primera de ellas crece sin parar mientras que la segunda es grande pero decrece en la quinta y más aún en la octava. Podemos imaginar una espiral donde la distancia interválica transcurre sobre la curva: pero ésta, al curvarse, vuelve a pasar cerca del punto de partida: se trata de la distancia armónica ( véase nuevamente la Espiral Armónica). Estos dos conceptos de distancia, y sus percepciones, juegan un papel importante en los de contrapunto y armonía. A.15.9.3. Disonancia de un timbre armónico───────────────────────── Los conceptos anteriores pueden ser generalizados a la tímbrica ( o retrotraídos a ella, si se la considera madre de la armonía): Como en un timbre armónico todas las frecuencias son múltiplos de un fundamental, si sus frecuencias relativas son f, 2f, 3f...y sus intensidades son w1, w2, w3,.. etc podemos considerar ese timbre como un aglomerado (clusters) de notas elementales simultáneas proporcionales a 1,2,3,4,.... Su disonancia crecerá entonces con el orden y complejidad de los armónicos que intervienen: yn timbre con los armónicos 1,2,3,4,y 6 será sencillo, casi banal. En cambio si incluye 7, 11, 13, 19, será rasposo y raro, incluso desagradable. Por eso se golpea la cuerda del piano en lugares determinados, que evitan armónicos indeseados. A.15.9.4. Hipótesis sobre Percepción de la Consonancia────────────────────────────── Veamos unas hipótesis sobre nuestra percepción en relación con este tema. PH0. La percepción extrae de un sonido periódico una sensación llamada Tono (pitch): y de una combinación (audición simultánea) de tonos, una impresión llamada Consonancia (Disonancia). Estos son hechos naturales. La Cultura y la Educación modifican sólo su valoración (pueden ser encontrados agradables o desagradables). La consonancia tiene su origen en una actividad neurológica. La educación puede enseñar a reconocer y usar este fenómeno perceptivo de una manera musical y artística, incluso rechazandole, evitando consonancias fáciles. PH1. Percibimos un intervalo, y su consonancia, como la más simple y más cercana de las consonancias compatibles con el código musical del oyente. Queremos decir con esto, que en un universo diatónico, esperamos y forzamos las notas que oímos, a pertenecer a ese universo. Si cambiamos a un universo cromático, tendremos más códigos, más categorías en que clasificar los sonidos que oímos. Si ampliamos a un universo microtonal, percibiremos como significativos e independientes lo que eran sólo variedades y matices en los más simples universos anteriores. Este forzar la afinación de un sonido para que encaje en nuestro código musical no implica que lo percibamos como correcto: simplemente carecemos de código especial para él, con lo que simplemente 'no existe', y es asímilado a otro vecino. Esto nos permite reconocer música interpretada por instrumentos desafinados. Una cómoda prueba: una escala temperada de 5 intervalos iguales por octava será probablemente percibida inicialmente como una pentatónica del tipo do‑mib‑fa‑sol‑sib‑do. Nuestro código usual, la temperada de 12 semitonos por octava, fuerza a estos sonidos a entrar en él. Este efecto permite la enharmonía, por ejemplo, donde un tono único es percibido como formando consonancias con diferentes grupos de tonos (acordes); o sea, else tono es perceptivamernte modificado para consonar con ambos grupos. PH2. Cualquier intervalo tiene un Tamaño perceptivo que crece contínuamente al crecer el intervalo. Tiene también un Color, un Carácter, que cambia a saltos repentinos, de acuerdo con los números primos involucrados en la relación de sus frecuencias. Los nombres dados a algunas notas o grados de la tonalidad (sensible, dominante) apuntan a ese 'color'. La percepción oriental de esos colores ha sido tradicionalmente más aguda y fina. Por ejemplo los nombres indios de los shruti (microintervalos) muestran ese carácter; como se ve en Danielou [ ]: tercera mayor natural 5:4 do.mi‑ Prasârini es difusa, penetrante, tímida, suave, reposante tercera pitagórica 81:64 do.mi Pritih es energica, sensual, jubilosa, sugiere placer,amor,delicia. Por supuesto, ese color puede ser percibido y usado sólo después de un entrenamiento adecuado; pero está ahí. Mediante PH1 puede (hasta cierto punto) ser simulado por otros intervalos vecinos, como se hace con la escala temperada; pero creemos que perdiendose así gran parte de su efecto expresivo y emotivo. Empleamos el término 'color' para conservar una acepción vecina a 'timbre'; en efecto, hay una especie de timbre característico en la tercera menor, diferente de la quinta o el tritono. Este color es fundamental en el carácter de los acordes, los cuales tienen una especie de individualidad en su carácter. Para resumir este punto, relacionándolo con el Número, diremos que cada intervalo tiene un tamaño y un color: su tamaño depende de su cardinal (medida entera); su color de su estructura de divisibilidad. PH3. Cuanto más tiempo oímos un intervalo, mejor percibimos su tamaño, su consonancia y su color. A medida que aumentamos la densidad de grados (disminuímos el intervalo entre grados contíguos), nuestro mecanismo analizador necesita más tiempo para discriminar entre ellos, como culaquier otro mecanismo (tipo Fourier u no); ello es debido a una imprecisión inherente a todo análisis frecuencial, no a defectos del mecanismo. Esto querría decir que, de acuerdo con PH1, podemos reconocer música pentatónica rápida, pero necesitamos que la microtónica sea lenta: de otro modo oiremos probablemente algo así como clusters o glissandos cuando hay intervalos microtónicos vecinos, o, si son disjuntos, los asímilaremos a otros más consonantes; por ejemplo, 720 (702+20) cents serán percibidos como una quinta si es breve su duración, incluso en un ambiente en que el intervalo de 28 cents pertenezca al código. Todo esto parece ser responsable del más fijo y exacto tamaño que exigen las consonancias más simples (octava, quinta) respecto a los tamaños más variables y flexibles de las consonancias más complejas ( semitonos moviles, pien, grados variables, etc.) PH4 Todo juicio perceptivo sobre consonancia se hace sobre las últimas notas oídas hasta el momento. Esto quiere decir que atribuímos una medida subjetiva de la consonancia a un cluster compuesto por los últimos sonidos, incluso aquellos que ya han desaparecido: se mantienen en la menoria cercana, y probablemente decaen en su importancia a medida que nuevos sonidos les reemplazan. El caso más simple es el de dos notas sucesivas: inevitablemente se percibe la relación de consonancia de la segunda respecto a la primera: la memoria convierte un arpegio en un acorde. Un importante corolario es: PH5. Cualquier medida de la consonancia debe incluir la nota de referencia (tónica, finalis, tonica modal, etc) si la música anteriormente oída la sugiere (música tonal, modal, etc). En estos tipos de música, la consonancia actúa durante toda la pieza: por ejemplo en instrumentos de cuerda, afinándolas en fuertes consonancias como quintas , cuartas y octavas. después, durante la interpretación, buscando las consonancias en ensayos repetidos en instrumentos de afinación variable, como violín. En música modal, la elección de determinadas consonancias entre los grados (lo que implica rechazar otras) fija las notas principales del modo; su estructura y jerarquías se construyen de esta manera (véanse las hipótesis M en A.6.5). A.15.10. Percepciónes de Alto Nivel. Psicoestética──────────────────────────── Hemos visto los rasgos que el aparato perceptor atribuye a los sonidos, como intensidad, altura, duración y timbre, percepciones que llamaremos de bajo nivel (aunque ya vimos que hay un salto de nivel entre intensidad de un sonido continuo e intensidad de un suceso). Simultáneamente a esas percepciones, se dan otras que podemos llamar de alto nivel, y que describimos a continuaciónn por su importancia decisiva en la estética y por tanto en la música misma. Una descripción musical en los términos anteriores no da cuenta de la riqueza infinita que no comprendemos pero sentimos. Caminemos pues en esta otra dirección: Existe un enorme terreno psicológico entre la percepción de la altura de un sonido y la emoción estética que nos produce una melodía que concluye en una resolución armónica, por ejemplo, aunque este segundo caso consiste asimismo en combinaciones de alturas: pero las vecindades de unos tonos con otros, la agrupación de esos tonos en motivos, el contraste y la relación de los pertenecientes a la melodía con los de la armonía; todos estos matices y combinaciones son la materia de la Música y no pueden ser explicados o descritos en términos de alturas exclusivamente. Se nos presenta pues la tarea de describir (consistente, esclaredoramente) la relación compleja, estructural, entre unos tonos para construir la Música; se parece esta situación a la descripción de una silla tras describir la madera con la que se hace. Y, siguiendo el ejemplo, pueden hacerse sillas de otro material, u otros muebles de madera; de igual modo la estructura a describir está condicionada a la materia prima pero no es esencial. Similarmente podemos rastrear principios psicológo‑estéticos que constituyen las estructuras estéticas y que no dependen del rasgo específico sonoro a las que se aplican; incluso trascienden lo sonoro y pueden darse en lo visual o en otras sensaciones. Expliquémonos: la vecindad perceptiva de dos percepciones de cuantía diferente de un rasgo, por ejemplo un sonido fuerte seguido de otro débil da lugar a una relación ( en principio no numérica) que llamamos Contraste. Pero este contraste puede realizarse también con un sonido agudo seguido de uno grave; o con un sonido muy rico (orquesta) seguido de otro más pobre (flauta). asimismo sentimos que contrastan un amarillo junto a un azul, una sombra a mediodía con la zona soleada contigua. En todos esos casos encontramos una percepción parecida, que sorprende, sobresalta incluso, separa: el contraste no depende de la materia prima empleada. El Contraste constituye pues un recurso con repercusiones en lo psicológico, y es empleado con frecuencia para producir la obra de arte. Lo consideramos por lo tanto unos de los Principios Estéticos; y al conjunto de esos principios lo llamamos Psicoestética, neologismo (creemos que lo es) que queda justificado por las líneas anteriores. Es la Psicoestética el objetivo último de estos temas sobre la percepción musical; un objetivo inalcanzable con seguridad pero que creemos muy fecundo en el esclarecimiento formal del sentimiento estético. Por otra parte estos principios son aplicados continuamente por el creador de belleza, lo sepa o no: su sentimiento estético le sugiere la inclusión de estos efectos en momentos determinados para crear la obra; es un filtro, un filtro estético. La formalización o exposición ordenada y orgánica de esta materia tienen además una aplicación moderna: la automatización de los procesos estéticos: surgida ya hace dos décadas la Inteligencia Artificial, el Arte Artificial no posee todavía un repertorio consistente de principios en los que basar su construcción y los que proponemos pueden contribuir a suplir esta deficiencia. A.15.10.1. Principios Psicoestéticos────────────── Consideraremos los principios psicoestéticos de la siguiente lista; esta lista no está ni completa, ni mucho menos, ni está completa la descripción del principio; tomese más bien como una propuesta a debatir. 1. Principio de Tensión y Distensión. 2. Principio de Flujo de Información. Abrume o Tedio. Sorpresa y Esperanza. 3. Principio de los Números Sencillos. 4. Principio del Contraste. 4. Principio de la Simplicidad o Economía. 5. Principio de la Variedad. 6. Actualización Perceptiva del Mensaje Temporal. 7. Principio de Modificación Prosódica de esos Principios. A.15.11. Bibliografía ─────────────── TEPLOV,R.M. Aspectos Psicol.de la educ.artística.(Artículo en) LURIA,LEONTIEV,VIGOTSKY. Psic. y Pedagogía Akal, Madrid,1973 SCHAEFFER,P. Tratado de los objetos musicales. Alian. Mús. Madrid, 1988 DomCARDINE. Semiología Gregoriana Abadia Silos, 198. CHANTAVOINE,J.Les Symphonies de Beethoven Belfond. Paris. 1965 GEVAERT,F.A. Histoire et Théorie de la Mus.de l'Antiquité. G.Olms. Hildes 1965 ERLANGER,R.D' La Musique Arabe Geuthner Paris49‑64 JEANNETEAU,J. Los Modos Gregorianos Abadía de Silos, 1985 LAVIGNAC,A. La Musique et les Musiciens Delagrave Paris 1928 MESSIAEN,O. Technique de mon Langage musical. Leduc, Paris 1944 PINILLOS,J.L. Principios de Psicología Alianza U.Madrid 1975 RIEMANN,H. Composición musical Labor Barcel.1950 SACHS,K. La Música en la Antiguedad Labor Barcel.1934 SANYAL,R. Philosophy of Music . Somaiya Bombay.1987 Sánchez,F,J. Acústica musical II. El Tono. 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