Señales pseudoperiódicas y frecuencia instantánea

El concepto de tono ligado a la percepción de una frecuencia (veces por segundo que se repite un hecho) en el dominio aproximado de 20 a 6000 hz. implica fenómenos invariables, estables, es decir, que el fenómeno repetido y su percepción no varían nunca la tasa de repetición, la frecuencia: son fenómenos eternos.

Pero. claro, en este mundo de seres perecederos que perciben fenómenos episódicos y variables, no hay tales eternidades, ni habría un perceptor-oyente de ellas, aunque existieran. Se renuncia, pues, en los fenómenos humanos o animales a estos fenómenos estables y eternos, estos fenómenos periódicos, y se sustituyen por lo mucho más manejables y relevantes para nosotros en nuestra vida, por los conceptos de fenómeno cuasíperiódico o pseudoperiódico, y tono y frecuencia instantáneos, relegando los anteriores a la teoría físico-matemática.

En este nuevo dominio de fenómenos cortos y estables a corto plazo se encuadra lo que llamamos tono, que es una percepción de altura relativamente estable durante un ratito, lo que podemos llamar una nota, con su duración y figura asociadas.

Lo que en un fenómeno periódico era igualdad, igualdad de la señal consigo misma desplazada en el eje temporal un cierto intervalo de tiempo, el periodo, pasa a ser ahora un parecido de una porción de la señal consigo misma, desplazada un intervalo de tiempo, que llamamos ahora pseudoperíodo.

Y este nuevo concepto no es solamente un constructo o invento matemático, sino que es también, indudablemente, nuestro mecanismo para percibir: este mecanismo es una estimación, a intervalos más o menos regulares, que el oído efectúa del sonido que le llega continuamente, sacando conclusiones que percibe como tono, y admitiendo ese tono como una percepción cambiante que evoluciona. A ese tono cambiante le llamamos melodía, concepto perceptivo y musical que implica indispensablemente la percepción de un tono cambiante.

El concepto de señal cuasíperiódica está lleno de imprecisiones, como Cuánto ha de ser ese parecido? ¿Cuánto puede variar el tono de una estimación auditiva a la siguiente? etc.

Afortunadamente contamos con la evaluación práctica del oído, que sólo admite la noción de tono estable para un intervalo temporal mínimo. Este intervalo depende de la frecuencia, o de la pseudofrecuencia y puede ser incluso menor que dos pseudoperiodos de la señal. Es decir, parece que el oído, en el momento que empieza a repetirse algo, reconoce ya la repetición, de igual manera que al repetir una secuencia de números percibimos la repetición con los primeros, o al oir un ritmo reconocemos su ciclo al empezar el segundo, sin tener que acabarlo.

(Ante la duda de mi distinguido escribidor, fabricamos una señal periódica y comprobamos que, en efecto, se percibe el tono con tres periodos, con dos y hasta con uno y medio. (Óigalo:\unoy medio).

Naturalmente, la percepción tonal, con tan poca repetición es muy pobre y muy imprecisa, hacen falta más tiempo y más periodos  para que la sensación tonal se estabilice, se precise y se afine, en definitiva.

Estos requerimientos son también los de la propia música. Cuando oímos una música muy rápida, como el vuelo del moscardón, por ejemplo, no es que oigamos unas notas cuya duración viene a ser un octavo de segundo. Si se tocara con un violonchelo, con una frecuencia de 100 hz. el octavo de segundo, tendríamos unos 10 periodos por nota, lo cual no da una precisión muy alta, salvo que nosotros conocemos la escala previamente y asignamos la frecuencia imprecisa que vamos oyendo a una nota previamente conocida, por anteriores ejecuciones, por la armonía, etc.

Por eso los sonidos graves precisan más tiempo para percibirse, y así se considera virtuosismo en un contrabajo lo que sería un tiempo medio en un flautín.  Hablamos de tañer y de percibir, conceptos ligados, pero sigamos con lo anterior. El tiempo de escucha o estimación, es pues un factor decisivo en la percepción del tono y estimación de la frecuencia. Un tono siempre cambiante, como una sirena o un glissando no se percibe como tal tono, sino como un deslizamiento impreciso, de igual manera que no se puede fijar la posición de un móvil porque al intentarlo ya se ha movido.

 Abordemos ahora la generación o simulación de una señal pseudoperiódica con una frecuencia instantánea determinada. Deduciremos su ecuación a partir de la señal periódica verdadera, que sabemos que no es más que una suma de senoides (los llamados sonidos puros) de frecuencias múltiples de una de ellas, el fundamental, con pesos o factores variables para cada una de ellas, los harmónicos.

Cada harmónico tiene además un desfase diferente, es decir, que empieza a crecer desde cero (fase cero) en instantes diferentes, la expresión ya conocida es:

La frecuencia fundamental de esta señal es la de la más baja de los sumandos y vale la inversa del periodo, que es precisamente 1, porque tras un incremento de t de valor 1, el producto vale 2pi y el seno de 2pi es igual al seno de 0, es decir, cada vez que el tiempo salta un segundo, el seno vuelve a valer lo mismo. Los harmónicos se repetirán cada vez más velozmente a medida que aumenta i, precisamente i veces más rápido que el fundamental, valiendo el periodo 1/i y la frecuencia i.

Ahora bien, si queremos que la señal sea pseudoperiódica, bastará con que hagamos lentamente variables cada uno de los elementos que hasta ahora eran constantes, es decir, variaremos lentamente las amplitudes Ai de los harmónicos i, como sus fases teta sub i, como sus frecuencias instantáneas, que hasta ahora eran i veces f₀ , y que ahora variaremos de dos maneras: variando esa f sub 0 fundamental y variando los enteros i que ahora se vuelven aproximadamente enteros.

Si ahora queremos que el fundamental tenga una frecuencia f, pues multiplicamos todos los harmónicos por f en el paréntesis del argumento del seno.

Todos estos parámetros citados pasan a ser variables, es decir, funciones de t, pero, claro, variando con t más lentamente que los senos de que se compone la señal pseudoperiódica, por que, si no es así, la forma de la onda pierde todo aspecto de periodicidad y toda percepción tonal, produciéndose sonidos que podemos llamar campanales, porque s  generan parciales no harmónicos. Se trata aquí de las técnicas llamadas de FM utilizadas en sintetizadores como el Yamaha DX7, popular hace unos años.

Por último, como el manejo digital de las señales precisa señales muestreadas, la variable tiempo pasa a ser ahora un simple índice de muestra, correspondiendo cada unidad a un periodo de muestreo, o sea, a la inversa de la frecuencia de muestreo F_m.

Esta es pues la expresión que genera muestras cuya conversión posterior a señal analógica produce una señal pseudoperiódica con frecuencia variable F_n , con todos los demás o parte  de ellos, parámetros variables a si mismo con el tiempo.

(Seguirá)

 

Ecuaciones para señales pseudoperiódicas