El uno no se suele considerar primo, o bien un primo trivial, siempre presente; nosotros lo desechamos como primo; admite una n-upla en función de los demás:

0 = { 0 0 0 0 0 0 ... }

y las n-uplas que representan los números 1, 2 ,3, 180 son:

1 = { 0 0 0 0 0 0 ... }

2 = { 1 0 0 0 0 0 ... }

3 = { 0 1 0 0 0 0 ... }

180 = { 2 2 1 0 0 0 ... }

3/2 = { -1 +1 0 ... }

4/3 = { +2 -1 0 ... }

32/27= { +5 -3 0 ... }

En general:

A = { a1 a2 a3 a4 a5 }

sobreentendiéndose en este caso que los exponentes superiores al último representado son nulos, siendo los demás positivos, nulos o negativos, es decir números enteros. Llamamos como antes 'A', al Número y 'a' ,su n-upla o vector (ahora lo demostraremos) asociado.

Los productos y cocientes de números quedan también representados, pasando a ser suma o diferencia, elemento a elemento de las núplas correspondientes:

(10/9)*(9/8) = { 1 -2 1..} + { -3 2 0 .} = { -2 0 1..} = 5/4

y la potencia entera:

Estas n-uplas constituyen un Espacio Vectorial, como vamos a mostrar. En efecto, se cumplen las condiciones de espacio vectorial (véase el párrafo 00l, capítulo 00) con las operaciones de suma de vectores y producto de vector por número real, que corresponden en aritmética, al producto de números y la potencia de un número.

        a + b = { a1 a2 a3 a4 a5 } + { b1 b2 b3 } = { a1+b1 a2+b2 a3+b3 a4+0 a5+0 }

con las propiedades adecuadas de la suma (conmutativa, asociativa, distributiva).

con todas las propiedades de ese producto (distributiva, asociativa).

Existe además en Vector Nulo o Neutro (n-upla nula) y el vector opuesto de cualquiera, es cual sumado con el da el nulo (n-upla con valores de signo opuesto).

El conjunto de todas las n-uplas con componentes (los exponentes) enteros es un Espacio Vectorial respecto a las operaciones citadas; le llamaremos  E_P, espacio primal de los números racionales positivos, es decir, de los intervalos.

Ya se ve, y esta es la razón de su introducción, que este espacio nos sirve admirablemente para representar intervalos y operaciones con ellos. Posee además otras propiedades que ahora veremos. Representemos algunos intervalos en el subespacio de tres dimensiones correspondientes a los primos 2, 3, 5. ( véanse figuras adjuntas)

SUBESPACIOS EN E_P

Es claro que ninguna combinación de estos vectores hará aparecer un no nulo en componentes superiores a la segunda. Así que este conjunto de números fraccionarios citados constituyen a su vez un espacio vectorial completo; pero al que llamamos Subespacio  E_P2 por estar contenido en el espacio más general EP y contar con todas sus componentes nulas excepto las dos primeras. Prescindimos pues de las demás y representamos simplemente los vectores con 2 coordenadas. 9 = (0,2), y 256/247 = (8,4) .

Ya veremos ( lo vemos ya) que las escalas pitagóricas están contenidas por completo en el espacio EP2, mientras que las naturales de Zarlino lo hacen en el EP3. Es muy interesante inquirir por qué no se han desarrollado escalas en espacios mayores, es decir, con más primos.

REPRESENTACIÓN EN EP Y PARALELISMO CON LOS CONCEPTOS musicalES

Todo el sistema interválico y escalar tiene aquí su representación adecuada.

Adoptada una frecuencia de base, que tomamos como referencia, como fundamental en la representación y que corresponde al 1, origen de coordenadas (n-upla nula), cualquier otra frecuencia relacionada con ella mediante intervalos naturales aparecerá como otro punto del espacio EP; el intervalo que 'lleva' una a la otra será el vector que les une, con origen en la frecuencia de partida, y punta en la de llegada. Un nuevo intervalo sobre esta última frecuencia nos lleva a otro punto, y así sucesivamente. El intervalo es entonces un vector del tipo llamado libre, que puede trasladarse paralelamente a sí mismo sin dejar de ser él mismo.

Adoptemos una frecuencia de referencia cualquiera, 64 hz., por ejemplo, y elijamos movernos en el subespacio EP2 ( que emplea sólo los 2 primeros primos, 2 y 3).

(-3,2) + (-3,2) = (-6,4)

o bién (figuras adjuntas):

Conceptos bien conocidos en los espacios vectoriales quedan perfectamente reflejados en nuestro espacio EP. La base del espacio, el conjunto de vectores que pueden engendrar todo el espacio, es uno de los más fecundos. Hasta ahora hemos utilizado la base natural, compuesta por vectores ligados a un solo primo, cada uno.

El cambio de base nos simplifica la comprensión y representación de este universo interválico, mediante la elección de una base adecuada a la escala utilizada. Por ejemplo, en la escala pitagórica, de la que ya sabemos, aunque se verá mejor en el capítulo 3, que consta sobre todo de tonos 9/8, será cómodo utilizar precisamente ese intervalo como vector de base. Eligiendo además otro vector de base independiente de él, es decir, no generable por él (es decir aún, no compuesto de tonos, como sería 81/64, dos tonos), podremos representar ese espacio pitagórico. Por ejemplo, eligiendo la cuarta justa (4/3) como nuevo vector de base, encontramos en efecto:

como es evidente en el lenguaje musical. Si incluso elegimos el tono y semitono pitagóricos (9/8 y 256/243) como base llegaremos cómodamente a las definiciones habituales en solfeo del tipo 'una octava son 5 semitonos y 2 semitonos'; otra muestra de la adecuación de estos espacios al lenguaje habitual de la música.

Véase que el cambio de base sólo afecta a la 'posición' de las líneas quebradas que representan las escalas, pero no a su 'forma' y por lo tanto, no las distancias entre puntos: el cambio de base 'gira' las figuras pero no las 'deforma', no cambia las distancias.

Es muy fácil hallar las nuevas coordenadas de un intervalo o punto al cambiar de base, pero no entraremos en ello para no sobrecargar en exceso las herramientas matemáticas puestas en juego para ilustrar escalas y consonancia ( a la espera de que la enseñanza musical vuelva a incluir las matemáticas como una importante base de la formación de los alumnos).

Podemos decir que el espacio EP es un espacio musical, en el sentido de que plasma las relaciones musicales, las percibidas como tales.

TEORÍA DE LA CONSONANCIA ESENCIAL

Directamente basada en la de Euler, solamente la simplifica, adaptándola alos espacios EP recien definidos, y al tiempo, la generaliza.

Si un número natural A es expresado como producto de primos, define su grado de complejidad esencial como CE(A), como:

i i

CE(A) = EC (A) -1 EC(A) = CE (A) + 1

Por ejemplo la complejidad de 8 (2 al cubo ) es 3.(2-1)=3 mientras que la de 9 es 2(3-1)=4, es decir 8 es más sencillo que 9.

El grado (de disonancia) de un intervalo reducido a números mínimos es simplemente el grado del producto de numerador y denominador. Así, la quinta 3/2 tiene el grado 3, el de 6 (2+1), la cuarta 4/3 tiene 4 (2+2), etc.

En general el grado de Disonancia Esencial de un conjunto de notas, como un acorde, vendra dado por la Complejidad Esencial del número cociente entre el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de sus frecuencias:

/ m.c.m (a,b,c,.) \

\ m.c.d (a,b,c,.) /

Con más generalidad definimos, para diferentes exponentes:

i i

siendo p un exponente que pondera los primos diferentemente según su tamaño; y, como antes,

El grado de Disonancia p-Esencial de un conjunto de notas, como un acorde, vendra dado por la Complejidad Esencial del cociente entre el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de sus frecuencias:

Por ejemplo, las frecuencias 220-330-440, la-mi-la, tienen una disonancia como acorde igual al grado de disonancia del cociente (3×4×110)/110 = 12, que es 2×(2-1)+1×(3-1) = 4; y lo mismo los acordes do-sol-do o mi-si-mi. El acorde mayor en su forma fundamental, como do-mi-sol, reducido a cifras sencillas, tendrá siempre unas frecuencias proporcionales a 4-5-6, lo que nos lleva a una disonancia igual a la complejidad de 60, que es 8 [(2×(2-1)+1×(3-1)+1×(5-1)], mientras que el menor, la-do-mi, proporcional a 5/6-1-5/4, o sea, 10-12-15, tiene un grado como el de 60, otra vez 8: Se observa que ambos acordes resultan igualmente consonantes o disonantes, lo que coincide con la apreciación general.

Otras inversiones de un acorde pueden variar la disonancia: por ejemplo, el caso sol-do-mi, proporcional a 3/4-1-5/4, o 3-4-5, da 8, como antes (a partir de 60) pero mi-sol-do, 5/4-3/2-2, o 5-6-8, da 9 (el de 120, 3+2+4 = 9): es una inversión ligeramente más disonante que la forma fundamental.

INTERPRETACIÓN musical DEL NUMERO N

El número N, definido en el párrafo anterior como el cociente entre máximo común múltiplo y mínimo común divisor de las frecuencias de las notas oídas simultáneamente, tiene una interesante interpretación sonora y musical. Primeramente, se comprende que dividir por el m.c.d de las frecuencias, elimina la tesitura del acorde, reduciendola a una escala común: de esta manera se igualan acordes en octavas diferentes. por ejemplo: N sería igual para los acordes do3-mi-3-sol3, de frecuencias (apénd.1): 262-262.5/4-262.3/2, que do5-mi-5-sol5, (1047-1047.5/4-1047.3/2): en efecto, para ambos, N1 = (262.4.3.5)/(262)=3.4.5; y N2 = (1047.4.3.5)/(1047)=3.4.5; son iguales, la tesitura no influye en la disonancia esencial; así, toda tríada proporcional a 4-5-6 tiene igual N y por tanto igual DE.

LOS ESPACIOS MËTRICO ( EP, CEp )

La familia de Disonancias Esenciales que acabamos de definir proporciona una una familia paralela de distancias a los Espacios Primales que ya vimos: en efecto, miden un intervalo como distancia entre notas, y diferentemente que el tamaño del intervalo medido en semitonos, comas o cents, que se ve en el párrafo siguiente (Espacio Melódico).

En efecto, las DEp que acabamos de definir son también distancias en ese espacio, pues cumplen las condiciones de tal:

1. d(a,b) => 0                     La distancia entre dos puntos cualesquiera es positiva o nula

2. d(a,a) = 0                        Solo es nula cuando ambos puntos son el mismo.

3. d(a,b) <=d(a,c)+d(c,b)  La distancia entre dos puntos es igual o menor que la suma  de distancias de esos puntos a un tercero cualquiera.

Puede demostrarse que en efecto, nuestra familia de DEp cumplen las tres propiedades, lo que nos conforma una Familia de Espacios Métricos, para cada valor de p, sienfo 1 <p < infinito.

La más característica, la Propiedad Triangular, la cual establece que la distancia entre dos puntos es menor o igual ( caso de tres puntos alineados) que la suma de distancias de esos puntos a un tercero, puede intuirse en el espacio para p=2. Se trata de un plano cuando tenemos sólo dos primos, y la distancia es la distancia en línea recta habitual en nuestro mundo.

Disponemos así de verdaderos Mapas que nos representan Notas a distancias unas de otras similares a la lejanía numérica o Disonancia. Todo fenómeno relacionado con lo tonal, Escalas, Grados, Modos, Modulaciones, Harmonía, Enharmonía, Microtonía, etc. puede ser representado en estos espacios que acabamos de introducir.

EL ESPACIO MELÓDICO, E_M

Hemos visto la forma logarítmica de los intervalos y su composición y descomposición en esta forma. Imaginando las frecuencias como puntos sobre una recta, podemos considerar estos intervalos como vectores que nos llevan una frecuencia a otra.

f1 f2 f3

I1 I2

I

Viendo que la suma existe (I, suma de I1 e I2, es otro intervalo), el intervalo opuesto ( -I1 es el descendente si I1 es ascendente), y el producto por números reales ( por ejemplo, 3,123.. veces I1), es taambién otro intervalo; se ve enseguida que el conjunto de estos intervalos expresados, en forma logarítmica (como cantidades de semitonos, comas o cents) es un espacio vectorial idéntico al de los números reales, conocido por R en la literatura matemática.

DISTANCIA MELÓDICA Y DISTANCIA HARMÓNICA

Dos notas cualesquiera están separadas por dos tipos de distancia: la Intervalica y la Harmónica. Si ascendemos por una escala mayor, la primera de ellas crece sin parar mientras que la segunda es grande pero decrece en la quinta y más aún en la octava. Podemos imaginar una espiral donde la distancia interválica transcurre sobre la curva: pero ésta, al curvarse, vuelve a pasar cerca del punto de partida: se trata de la distancia harmónica ( véase nuevamente la Espiral Harmónica).

Estos dos conceptos de distancia, y sus percepciones, juegan un papel importante en los de contrapunto y harmonía.

DISONANCIA DE UN TIMBRE HARMÓNICO

Los conceptos anteriores pueden ser generalizados a la tímbrica ( o retrotraídos a ella, si se la considera madre de la harmonía):

Como en un timbre harmónico todas las frecuencias son múltiplos de un fundamental, si sus frecuencias relativas son f, 2f, 3f...y sus intensidades son w1, w2, w3,.. etc podemos considerar ese timbre como un aglomerado (clusters) de notas elementales simultáneas proporcionales a 1,2,3,4,.... Su disonancia crecerá entonces con el orden y complejidad de los harmónicos que intervienen: yn timbre con los harmónicos 1,2,3,4,y 6 será sencillo, casi banal. En cambio si incluye 7, 11, 13, 19, será rasposo y raro, incluso desagradable.

Por eso se golpea la cuerda del piano en lugares determinados, que evitan harmónicos indeseados, como el 7, el 11, etc..

VISIÓN GEOMÉTRICA DE UNA PIEZA HARMÓNICA EN LOS ESPACIOS E_M Y E_P.

Los dos espacios donde evolucionan las voces son la recta o Espacio Melódico y el Espacio Primal (E_P) o Espacio Harmónico.

Elegimos una base del este segundo espacio formada por los vectores Octava (vector primal (1,0,0)), Quinta (-1,1,0) y Tercera Mayor (-2,0,1); y representamos este espacio en el plano colocando el eje de quintas vertical, positivo hacia arriba, y el de terceras mayores horizontal, positivo a a la derecha. El tercer eje, de octavas lo imaginamos perpendicular al papel, positivo hacia el observador. Se obtienen así un conjunto de capas u hojas, cada una de las cuales está en relación de octava con las vecinas y en la que todos los nombres de las notas son los mismos. Este espacio primal es el subespacio EP3, ya que sólo el 2, el 3 y el 5 aparecen en sus relaciones. Con esta base lo llamaremos EPA3, Espacio Primal Harmónico de orden 3, o simplemente EPA.

Toda poligonal es un acorde y su disonancia interna viene a ser la suma de los segmentos de la poligonal que les une. Se vuelve a observar la equivalente disonancia de los acordes mayor y menor.

Prolongando a derecha e izquierda terceras mayores ascendentes y descendentes sucesivas, y arriba y abajo, quintas ascendentes y descendentes, obtenemos un mapa donde cada nota y cada acorde queda situado respecto a los demás de acuerdo con su distancia harmónica ( y distancia perceptiva). Los parentescos quedan explicitados mediante contigüidades, las vecindades mediante proximidades. Resulta un verdadero mapa topológico (contigüidades) y Métrico (distancias) que visualiza la percepción, o así lo esperamos. He aquí el diagrama (pag.sigiente):

Todo acorde aparece a su vez en forma de poligonal tanto más extendida cuanto más diosnante es el acorde correspondiente. Las inversiones de los acordes no aparcen ya que se trata de cambios de octava, sólo repercuten en un salto de plano, lo que no aparece en la figura. Aparecen los acordes de séptima menor (de dominante) como como un signo de anzuelo _\, los de séptima mayor, como una z invertida, _\^, los de quinta aumentada como una L vista en el espejo, etc. Todo acorde tiene su forma y toda forma su acorde, de modo que se trata también de una especie de escritura o codificación.

Empleamos la notación de comas Hölder que hemos introducido en el apéndice.1; ahora bien, como que se trata también de una escala aproximada, la coincidencia de nombres que pueda observarse es también solo aproximada. En realidad, nunca se repite ninguna nota ni en vertical (quintas) ni en horizontal (terceras mayores) , ni en oblicuo (terceras menores) pues ya sabemos que es imposible conseguir una octava mediante quintas y terceras; o, en términos de espacio vectorial, conseguir un vector de base mediante los demás, por ser independientes. Lo que se consiguen son notas vecinas en el espacio melódico, tanto más cuanto más nos alejemos.

Simplificando aún más la notación, por ejemplo, en la temperada occidental obtenemos un esquema (pag. siguiente) aún más sencillo donde las repeticiones se consiguen antes: cada tres vértices en horizontal (tres terceras mayores, seis tonos temperados), cada 12 vértices en vertical (12 quintas), cada cuatro vértices en oblícuo a la derecha (cuatro terceras menores, 6 tonos), similar al movimento del alfil en ajedrez, cada 12 vértices en oblicuo a la izquierda (12 semitonos), el otro alfil, cada dos 'saltos de caballo ascendentes (cuarta aumentada) etc. Es decir todas las maneras de subdividir el número 12 (semitonos en la octava) .

¿Qué significado musical tienen estas repeticiones? Son las Enharmonías, que asímilan como vecinas tonalidades realmente muy lejanas, basándose en la cercanía melódica o interválica. Se aprecian aquí diferentes tipos de enharmonía, dependiendo de las direcciones o sentidos que hemos visto antes.

MAPAS TONALES

a-a de vec5ndades t6na3es en 4n s5ste0a te0-erad6 y enhar0´6n5c6.

ESQUEMA DE PARENTESCO entre NOTAS NO TEMPERADAS

RELACIONES con la TEORÍA de las REGIONES de SCHÖNBERG

Veamos ahora la relación y convergencia entre nuestro Espacio Primal y la Tradición Harmónica.

Aunque no indispensable para la validez musical de los conceptos anteriores, si resulta un respaldo (confortante e inmenso respaldo) la convergencia del esquema anterrior con las nociones usuales en la Harmonía Tradicional. Particulharmente es notable la casi coincidencia con uno de sus teóricos y prácticos más notables, Schönberg, quien, en sus dos libros [ ] y [ ], entre 1911 y 1945, realiza una especie de informe (¿final?) de este importante recurso expresivo. En el segundo de estos tratados presenta, para las tonalidades Mayor y Menor, unos esquemas de las tonalidades vecinas, que son una imagen especular del esquema anterior, el cual como sabemos ha sido rigurosamente deducido de la distancia en el Espacio Primal Ep.

Los esquemas de Schönberg y el nuestro son los siguientes:

Se observan laas mismas contigüidades o parentescos tonales en ambos esquemas, aunque a diferentes lados (izquierda en uno lo que es derecha en el otro: los mapas son pues similares. De este modo observamos otra de la notables coincidencias entre la Percepción y el Número: como ya hemos dicho, muestra una vez más que la Percepción musical es, en gran parte al menos, numérica.

LA CADENCIA

Sentimos la cadencia como una Afirmación y Resumen de la Tonalidad. Observemos ahora las cadencias bajo el prisma que nos proporcionan nuestras medidas de disonancia.

PRINCIPIOS BÁSICOS DE CONDUCCIÓN DE VOCES, REDEDUCIDOS.

PCV1. La harmonía cuenta la evolución en una obra cualquiera, del proceso consonancia -disonancia-consonancia. La primera Establece y Plantea, la segunda Crea y Presenta los problemas, la tercera los Resuelve.

Se percibe la semejanza con el proceso dramático Planteamiento-Nudo-Desenlace, el mismo proceso psicológico con medios expresivos diferentes.

PCV2. Cada voz evoluciona manteniendo dos tipos de relaciones consigo misma (notas precedentes y siguientes) y con las demás. La primera es su distancia melódica. La segunda su distancia harmònica.

PCV3. Dentro de cada  voz, son aconsejables cambios melódicos más pequeños que su distancia a otras voces, si se quiere mantener la individualidad perceptiva de esa voz.

PCV4. Son aconsejables movimientos contrarios en las voces si se desea acentuar esa individualidad perceptiva de las voces: movimiento en igual sentido tienede a fundir varias voces en otra, más densa timbricamente..

(Viene a nuestra memoria la técnica de caza de los indios americanos para divisar un aanimal de caza en la pradera: mover la cabeza, para que el diferente ángulo con que se perciben objetos cercanos y lejanos, individualice, destaque al animal como figura sobre un fondo).

El caso más opuesto son las octavas y quintas paralelas, tradicionalmente 'prohibidas': su fusión en mayor, por tender a formar un lazo adicional: pertenencia a la misma serie harmónica.

PCV5. Una relación adicional de todas las voces es la doble relación melódica y harmónica con la tónica, si la hay. La habrá si fue sugerida con suficiente claridad al comienzo de la pieza.

PCV6. Todo cambio en una o más voces establece una nueva situación. Si el cambio harmónico es pequeño y el melódico grande se trsata de un 'cambio de posición', en sentido amplio. Si el cambio harmónico es grande y el melódico pequeño se trata de una resolución harmónica si disminuye la disonancia y una tensión si al revés.

PCV7. Una resolución harmónica sobre acordes cercanos a la referencia es una cadencia.

PCV8. Una resolución harmónica sobre acordes (más) lejanos a la referencia es una anticadencia.

PCV9. Se establece una referencia mediante una consonancia fuerte y duradera, al principio de la pieza.

DEFENSA DEL NÚMERO EN MÚSICA EN CONDICIONES ADVERSAS.

Resulta trabajoso defender una idea que nos parece evidente: la Música es Número Sonoro. Pero las tendencias musicales de las últimas décadas, dedicadas precisamente a disonver a abominar de esos números por causa del agotamiento estético que su aplicación ha producido, o por causa del agotamiento vital y espiritual del músico moderno, que como el personaje de la fábula, tira el niño junto al agua del baño, y busca tras romper su mejor juguete, otros más llamativos, exóticos, o simplemente interesantes o sorprendentes. Sea como fuere el número suena hoy a antigualla, a concepción abstracta alejada de lo musical, a especulación teórica, sea esto lo que sea, etc.

Contrariamente, a nosotros nos parece que sin ese número, reflejado en proporciones sencillas (= comprensibles en la percepción) entre cualidades-magnitudes del sonido, pricipalísimamente tono y duración, no cabe ya hablar de música, salvo por analogía. Y no es esto defender un principio, postura ética y metafísica perfectamente defendible; sino apelar a la propoia percepción, que siempre y en cualqioer parte reconocerá octava y quinta como intervalos notables usables, en música, o reconocera un ritmo basado en cuatro partes como simple, y el basado en diecisiete como complicado. Quien asegure que eésto es especulación teórica, que mida un compás de PI por 8 (3.141592 por 8), o cante con justeza una escala que progrese cada grado PI semitonos (314.1592 cents).

Todo ésto no es sólo Cultura, que también lo es; pero es sobre todo Naturaleza, que ha condicionado la Cultura, filtrando, suprimiendo aquellos intentos no del todo compatibles con ella. Poe ello, sólo por ello, se sigue haciendo música con octavas, quintas, cuartas ( más o menos retocadas por temperamentos y expresividades), y creando retornos rítmicos cada pocas unidades de un pulso regular (tempo).

Intentos más o menos drásticos han desarrollado el lenguaje musical, pero no han destruído, no pueden, estas bases tan sólidas de lo sonoro. La música llamada concreta, usando ruidos sin tono, ampliaba el repertorio de timbres y figuras rítmicas: pero trompas, falutas, pianos, siguen apareciendo en las orquestas. El serialismo dodecafónico incentiva lo sistemático en la motivación musical, y rompe la preponderancia de una nota sobre las demas (atonalidad): pero su funcionamiento depende de evitar cuidadosamente toda referencia tonal o harmónica tradicional. la aparición de un acorde de Fa mayor, daría al traste con todo el conjunto tan cuidadosamente programado: y no sólo, insistimos, porque la tradición nos llama: también y sobre todo, porque la sencillez perceptiva de un acorde mayor lo destaca naturalmente como referencia. Así vemos las vanguardias como rupturas de viejos trajes gastados para confeccionarse otros más amplios: pero todos usan una y otra vez la tela, su urdimbre y sus pliegues, su adaptación al cuerpo humano.

La complicación harmónica de una obra las millones de relaciones que se establecen, no deben hacernos olvidar la sencillez de donde proceden, como una catedral no hace olvidar la sencillez del sillar o el ladrillo: o la complejidad de la figura de un arbol procede de pocas reglas de division de ramas y ángulos entre ellas: un principio simple, indefinidamente repetido da lugar a complicaciones tremendas: el deseo de lucro produce el complicado juego del comercio, las finanzas, la bolsa, viajes, culturas.

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APÉNDICES.

1. AFINACIONES y NOTACIONES BASADAS EN DIVISIONES IGUALES DE LA OCTAVA.

SEMITONO TEMPERADO

Este sistema musical, vigente ahora en todo el mundo, toma una nota (frecuencia) de referencia y construye a partir de ella dos sucesiones de frecuencias tales que su razón es el semitono temperado ( 1.059, 6%) y su diferencia en cents, 100, por definición. Aparecen pues 12 notas por octava, extendíendose la tesitura total en un rango desde unos 33 hercios hasta unos 8000; este límite lo fija la percepción de tono; por encima de esta frecuencia se percibe solo un silbido (algunos instrumentos se extienden aún más, no obstante).

Obtenemos así un rango útil de tonos de unas 8 octavas.

33- 65 - 130 - 261-520-1040-2080-4160-8320-

1 2 3 4 5 6 7 8

El sistema de notación es tradicional y utiliza los conocidos símbolos siguientes:

do re mi fa sol la si

c   d   e   f   g   a   b

en los países de influencia latina (arriba) y los de influencia anglosajona (abajo). Se nota que los primeros comienzan por una referencia do, que corresponde al tercero de los segundos, los cuales comienzan por a ( el sexto de los primeros).

¿A qué frecuencias corresponden estos nombres?. Esto ha cambiado a lo largo de la historia, generalmente subiendo poco a poco la frecuencia (más de un tono, 204 cents, en varios siglos).

Actualmente se adopta, al menos de palabra, la referencia la=440hz. lo que no obsta para que instrumentos modernos se afinen más y más altos. Tras comparar los sistemas francés, americano y de piano, elegimos el que consideramos más generalizado en nuestro ambiente, asignando 440 hz. a la octava 3; de modo que :

                    Diapason: LA 3 = 440 hercios.

las demás notas quedan inmediatamente fijadas por ese La 3. Admitiendo los valores teóricos de los intervalos, obtenemos el cuadro adjunto.

En realidad estos valores son solo aproximados: en efecto, el oido precisa intervalos mayores que los teóricos para la sensación correspondiente. Podemos pues añadir unos 5 cents por octava en las centrales y bastante más en las extremas. De modo que la separación real entre dos notas separadas por 6 o 7 octavas es al menos 100 cents mayor que la teórica (piénsese la importancia de este hecho, generalmente ignorado por los afinadores, constructores y usuarios de sintetizadores electrónicos).

COMA HÖLDER

Para representar con más precisión los matices de afinación de escalas tradicionales, no cubiertos por la nomenclatura anterior, es necesario disponer de divisiones más finas. La notación que adoptamos es la basada en la división de la octava en 53 partes iguales, iguales a la coma Hölder, como es sabido: con un error menor un par de cents quedan aproximadamente reflejados los intervalos de las escalas habituales: las mayores pitagórica y temperadas aparecen sin alteraciones, la natural de Zarlino con la tercera, sexta y séptima una coma bajas (-),etc. La escala de referencia es, con un ligero error (1.5 cent, max) la escala pitagórica o de quintas (véase esta escala en el el tema 3).

Las desviaciones con respecto esta escala de base se expresan mediante el número de comas que se suben o bajan, segun la lista que sigue:

comas    sube     baja

1             +             -

2             ++            =

5             b

Así cubriremos todas las notas; por ejemplo en los tonos:

notas: do do+ do++ reb- reb reb+ reb++ re= re- re

comas: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

quedando similharmente representadas las demás. Esta notación es similar, pero no idéntica a la usada por Danielou [10], y, por otra parte, la música turca tradicional [17],[30]. La notación del primero, muy precisa, resulta algo enrrevesada, al utilizar una escala de base de Zarlino, con tonos mayores y menores, bemoles de cuatro comas e intervalo 1/4 extraño al concepto de coma. La segunda emplea como base la escala pitagórica o de quintas, pero emplea hasta 8 tipos de sostenido y bemol, para configurar las escalas de los modos turcos. Estas notaciones aparecen en el tema 6.

Hemos preferido nuestra notación por encontrarla a la vez más sencilla e intuitiva. En la medida de la calidad de un temperamento, tema 3, se muestra la asombrosa precisión de esta división para dar cuenta de las escalas tradicionales.

ESPACIO VECTORIAL

La idea de vector es la de 'cantidad con dirección', como la fuerza mayor o menor (cantidad) que se ejerce con una orientación (empujamos hacia o contra algo). En definitiva, precisamos más de un número para determinar o conocer un vector). Otra idea importante es la de que los vectores pueden componerse o sumarse: pero en esta suma vectorial, la efectividad de la suma depende de las orientaciones y magnitudes de los sumandos: dos fuerzas iguales y opuestas se anulan mutuamente, su 'suma' es nula.

Los vectores pueden pues sumarse o componerse, y también descomponerse, es decir, encontar vectores cuya suma sea el dado, al igual que podemos decir que '5 puede obtenerse como suma de 2 y 3, o bién, de 1 y 4'. Para un vector diríamos entonces que esos vectores son sus componentes.

El espacio vectorial es pues un conjunto de elementos que pueden sumarse entre sí dando lugar a elementos del propio conjunto; incluso dado el concepto de producto como suma simplificada ( 2a=a+a), también el producto de un número por un vector será también otro vector del conjunto (cuidado que no hablamos de producto de vectores). Pensemos en fuerza doble, o triple. Además en este tipo de espacios, debe existir además un vector que sumado a otro no le modifique, un elemento neutro o trivial, el vector nulo.

Todo este preámbulo describe las condiciones para que un conjunto sea un espacio vectorial, condiciones que sumarizamos en la definición siguiente:

Un conjunto es un Espacio Vectorial cuando:

1. La suma de dos elementos culesquiera del conjunto es tambiénelemento del conjunto. (suma conmut.,trans.,distributiva)

2. El producto de cualquier elemento del conjunto por un número real es también un elemento del conjunto.(dist,con,1)

3. Hay en el conjunto un elemento que sumado con cualquiera otro resulta el mismo (no le modifica).

4. Hay en el conjunto por cada elemento, otro llamado su opuesto, el cual sumado con el resulta el neutro.

En lenguaje matemático convencional, con una aplicación simultánea al conjunto de los Enteros:

V es un espacio vectorial cuando cumple:

Estas operaciones cumplen algunas otras propiedades, las normales (conmutativa, distributiva, asociativa, etc)

En música, como en cualquier otra disciplina, encontramos multitud de espacios vectoriales: los intervalos como tamaño, que veremos en otro momento ( Espacio Melódico ) son un caso particulharmente interesante; pero también el los intervalos como n-uplas en el espacio de primos que acabamos de ver, que ampliaremos posteriormente.