MAPATONE. Mapa de Vecindades Tonales, Modales y Harmónicas. Ayuda
Contrapunto florido
Enriquezcamos el contrapunto con funciones matemáticas simples adaptadas a la práctica musical tradicional.
Como de trata de ir de una nota en una voz a otra en la misma voz, podemos ir de varias maneras:
La primera, en línea recta, interpolando sin más.
Pero podemos emplear caminos más sinuosos, siguiendo funciones discretas (variable entera positiva) con origen y fin nulos, la cual sumada a la interpolación lineal conduce ineluctablemente de una a otra nota. El número de tramos ha de ser par para que vuelvan, si son saltos de grado, melódicos, o de cualquier paridad, si no.
Serán de tipo trino o de tipo floreo, según salten en igual sentido, o alternen.
Nos encontramos así con pequeños motivos cuya complicación depende de su longitud en tramos:
Tramos sube baja valores 1 / \ 0 1 0 -1 2 /\ \/ 0 1 0 0 -1 0 3 /\/ \/\ 0 1 0 -1 0 0 -1 0 1 0 3 /\/\ \/\/ etc La siguientes funciones cumplen esas condiciones: siendo n, número de pasos: las abscisas i extremas por lo tanto son 0 y n, las ordenadas, 0 y 0, tenemos:
y = ( i - 0) ( i - n ) = i^2 - i n ) Pero disponemos de funciones más cómodas y flexibles de variadísimas aplicaciones: nos referimos a los conjuntos de funciones periódicas, En efecto todas toman igual valor al principio que al final --de ahí su periodicidad.
En particular las funciones senoidales cumplen adecuadamente nuestro propósito. Tomando como semiperíodo el tramo a florear, cualquier frecuencia verifica esa igualdad entre principio y final. asimismo cumplirán esas condiciones cualquier suma de senoides de cualquier amplitud.
Si adicionamos por último una interpolación lineal entre las dos notas de una voz entre dos acordes sucesivos, podemos pasar de una a otra voz de multitud de maneras, todas con enlace 'suave ': la voz 'florea'. La funciones que florean a lo largo de n tramos o unidades temporales, el semiperíodo de la primera función, son:
intervalo (i) = ai sen (p´orden ´ i / n)
La frecuencia mínima es la que recorre medio período en el tramo, es decir, la que tiene un período de 2n, o una frecuencia de 1/2n:
intervalo (i) = ai´sen (p´2n ´ i / n) = sen (2pi)
La frecuencia máxima es la que varía más rápidamente en el trama, es decir, la que tiene un período de 2 tramos (sube y baja), o una frecuencia de n/2:
intervalo (i) = ai´sen (p´2 ´ i / n) = sen (2p i / n)
Por lo tanto cumple nuestras condiciones cualquier combinación lineal de ellas desde a la primera a la última:
intervalo (i) = S (ai´ sen (p´orden´i / n)
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